1 [中]计算$(-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3})+(-\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4}-\dfrac{3}{4})+(\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5})+\dots+(\dfrac{1}{55}+\dfrac{2}{55}+\dots+\dfrac{54}{55})$的值为()

A.$54$
B.$27$
C.$\dfrac{27}{2}$
D.$0$

【解析】原式 $= -\frac{1}{2}+1-\frac{3}{2}+2-\frac{5}{2}+3-\dots-\frac{53}{2}+27 = (-\frac{1}{2}+1) + (-\frac{3}{2}+2) + \dots + (-\frac{53}{2}+27) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{2} = \frac{1}{2}×27 = \frac{27}{2}$.

2[2026重庆沙坪坝区期中,较难]对于$1+2+4+7$,先将其中任意两个加号变为减号,再在相邻的两个数间添加括号(不存在添加双重括号的情况,可添加两个括号),然后计算出结果,称为一种“双减添括操作”.例如:$(1-2)-4+7=2$是一种“双减添括操作”,2是其运算结果;$(1-2)-(4+7)=-12$是一种“双减添括操作”,-12是其运算结果.给出下列说法:①至少存在一种“双减添括操作”的运算结果是10;②不存在任何“双减添括操作”的运算结果是-10;③所有“双减添括操作”共有6种不同的运算结果.其中正确的个数是 ()

A.0
B.1
C.2
D.3

【解析】根据题意通过分类讨论的方法,将所有“双减添括操作”列出,并求出结果.
(1) 当前两个加号变成减号时,1-2-4+7,有四种加括号的方式: $(1-2)-4+7=2$, $1-(2-4)+7=10$, $1-2-(4+7)=-12$, $(1-2)-(4+7)=-12$, 结果是2或10或-12;
(2) 当第一个和第三个加号变成减号时,1-2+4-7,有四种加括号的方式: $(1-2)+4-7=-4$, $1-(2+4)-7=-12$, $1-2+(4-7)=-4$, $(1-2)+(4-7)=-4$, 结果是-4或-12;
(3) 当后两个加号变成减号时,1+2-4-7,有四种加括号的方式: $(1+2)-4-7=-8$, $1+(2-4)-7=-8$, $1+2-(4-7)=6$, $(1+2)-(4-7)=6$, 结果是-8或6.
综上可知,“双减添括操作”共有12种,运算结果为2,10,-12,-4,-8,6共6种,由此可判断出①②③均正确. 故选 D.

3[2026山东聊城期中,中]观察图形 = -10， = 4， = 1，找规律，根据规律计算.

【解析】由题意可知, $-5+(-2)-3=-5-2-3=-10$, $-6+6-(-4)=-6+6+4=4$, $-7+(-10)-(-18)=-7-10+18=1$, 发现规律为$=a+b-c$, 则$=11+(-12)-7=11-12-7=-8$, 故答案为-8.

4[较难]“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，如图(1)所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将$-1,2,-2,-4,5,-5,6,8$填入如图(2)所示“幻方”中，部分数据已填入，则图中$a+b+c-d$的值为。

【解析】由题意可得 $b+c-1=2+c+d=a+c+2-1$, 所以 $b=d+3$, $a=d+1$, 所以 $b＞a＞d$. 由题图可知 $a,b,c,d$ 的值从 $-2,-4,5,-5,6,8$ 中取得, 由于 $8＞6＞5＞-2＞-4＞-5$, 且 $8-5=3$, $-2-(-5)=3$, 所以分两种情况:
① $b=8$, $d=5$, $a=6$, 这时, $c$ 的值从 $-2,-4,-5$ 中取得, 当 $c=-2$ 和 $-5$ 时, 计算验证, 都不符合题意, 当 $c=-4$ 时, 计算验证, 符合题意, 所以 $a=6$, $b=8$, $c=-4$, $d=5$, 则 $a+b+c-d=6+8-4-5=5$.
② $b=-2$, $d=-5$, $a=-4$, 这时, $c$ 的值从 $5,6,8$ 中取得, 当 $c=5$ 或 $8$ 时, 计算验证, 都不符合题意, 当 $c=6$ 时, 计算验证, 符合题意, 所以 $a=-4$, $b=-2$, $c=6$, $d=-5$, 则 $a+b+c-d=-4-2+6-(-5)=5$.
综上, $a+b+c-d$ 的值为 5. 故答案为 5.

5[2025江苏泰州质检,中]已知$|a|=1$,$|b|=2$,$|c|=3$,且$a＞b＞c$,求$a-b+c$的值.
刷素养 走向重高

【解】因为 $|a|=1$, $|b|=2$, $|c|=3$, 所以 $a=\pm1$, $b=\pm2$, $c=\pm3$. 因为 $a＞b＞c$, 所以 $a=1$, $b=-2$, $c=-3$ 或 $a=-1$, $b=-2$, $c=-3$, 所以 $a-b+c=1-(-2)+(-3)=1+2-3=0$ 或 $a-b+c=-1-(-2)+(-3)=-1+2-3=-2$.

6 思想方法 数形结合 [2025河南新乡质检,较难]数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系,揭示了数与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基础.若点P,Q在数轴上分别表示有理数p,q,则P,Q两点之间的距离可表示为PQ=|p−q|.请你利用数形结合的思想回答下列问题:
(1)数轴上表示2和−1的两点之间的距离为.
(2)数轴上表示x和−1的两点之间的距离为.
(3)如图,数轴上从左到右的三个点A,B,C所对应的数分别为a,b,c,其中AB=2024,BC=1000.
①若以点B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算a+b+c的值;
②若O为原点,且OB=18,求a+b−c的值.

(1) $|2-(-1)|=|2+1|=|3|=3$, 所以数轴上表示2和-1的两点之间的距离为3. 故答案为3.
(2) 由题意得,数轴上表示 $x$ 和 $-1$ 的两点之间的距离为 $|x-(-1)|=|x+1|$. 故答案为 $|x+1|$.
(3) ① 因为 $AB=2024$, $BC=1000$, 点 $B$ 为原点, 所以点 $A$ 对应的数为 $a=0-2024=-2024$, 点 $C$ 对应的数为 $c=0+1000=1000$, $b=0$, 所以 $a+b+c=-2024+0+1000=-1024$.
② 当原点在点 $B$ 左侧时, 因为 $OB=18$, 所以点 $B$ 表示的数为 $b=0+18=18$, 所以点 $A$ 表示的数为 $a=18-2024=-2006$, 点 $C$ 表示的数为 $c=18+1000=1018$, 所以 $a+b-c=-2006+18-1018=-3006$; 当原点在点 $B$ 右侧时, 因为 $OB=18$, 所以点 $B$ 表示的数为 $b=0-18=-18$, 所以点 $A$ 表示的数为 $a=-18-2024=-2042$, 点 $C$ 表示的数为 $c=-18+1000=982$, 所以 $a+b-c=-2042-18-982=-3042$. 综上所述, $a+b-c$ 的值为 $-3006$ 或 $-3042$.