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12. 如图,正方形$ABCD$的四个顶点都在$\odot O$上,$M$为$\overset{\frown}{AD}$的中点,连接$BM$、$CM$.求证:$BM=CM$.
答案
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（在同圆中，相等的弦所对的弧相等）。
∵M为$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$。
∴BM=CM（在同圆中，等弧所对的弦相等）。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（在同圆中，相等的弦所对的弧相等）。
∵M为$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$。
∴BM=CM（在同圆中，等弧所对的弦相等）。
13. 如图,以$□ ABCD$的顶点$A$为圆心,$AB$长为半径作$\odot A$,分别交$BC$、$AD$于点$E$、$F$,交$BA$的延长线于点$G$.
(1) 求证:$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$;
(2) 连接$EG$,若$\overset{\frown}{EG}$所对的圆心角为$140°$,求$∠ GAF$的度数.
(1) 求证:$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$;
(2) 连接$EG$,若$\overset{\frown}{EG}$所对的圆心角为$140°$,求$∠ GAF$的度数.
答案
13. (1) 证明略 (2) $∠ GAF=70^{\circ }$
14. 如图,$AB$、$AC$是$\odot O$的弦,$AB=AC$,$OD$、$OE$是$\odot O$的半径,且$AB// OD$,$AC// OE$.求证:$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CE}$.
答案
14. 证明略
15. [新探究]小明在完成作业“如图1,$∠ AOB=90°$,$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,弦$AB$分别交$OC$、$OD$于点$E$、$F$,求证:$AE=BF=CD$”的基础上,做了如下尝试,把“$∠ AOB=90°$”改为“$∠ AOB=120°$”,其他不变,并作出如图2所示的图形,证明成功后,大胆猜想“若$∠ AOB=n°$,$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,弦$AB$分别交$OC$、$OD$于点$E$、$F$,$AE=BF=CD$这个结论依然成立”.请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程.
答案
证明：
1. 当∠AOB=120°时，证明AE=BF=CD
连接AC、BD。
∵ C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}×120°=40°$，$AC=CD=BD$（同圆中，等弧对等弦）。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=120°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵ $OA=OC$，
∴ 在$△ OAC$中，$∠ OAC=∠ OCA=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴ $∠ CAB=∠ OAC-∠ OAB=70°-30°=40°$。
∵ $∠ AEC$是$△ AOE$的外角，
∴ $∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$，
∴ $∠ AEC=∠ OCA$，
∴ $AE=AC$。
同理可证：$BF=BD$。
又∵ $AC=CD=BD$，
∴ $AE=BF=CD$。
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2. 当∠AOB=n°时，证明AE=BF=CD
连接AC、BD。
∵ C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{n°}{3}$，$AC=CD=BD$（同圆中，等弧对等弦）。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=n°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-n°}{2}=90°-\frac{n°}{2}$。
∵ $OA=OC$，
∴ 在$△ OAC$中，$∠ OAC=∠ OCA=\frac{180°-\frac{n°}{3}}{2}=90°-\frac{n°}{6}$，
∴ $∠ CAB=∠ OAC-∠ OAB=(90°-\frac{n°}{6})-(90°-\frac{n°}{2})=\frac{n°}{3}$。
∵ $∠ AEC$是$△ AOE$的外角，
∴ $∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=(90°-\frac{n°}{2})+\frac{n°}{3}=90°-\frac{n°}{6}$，
∴ $∠ AEC=∠ OCA$，
∴ $AE=AC$。
同理可证：$BF=BD$。
又∵ $AC=CD=BD$，
∴ $AE=BF=CD$。
1. 当∠AOB=120°时，证明AE=BF=CD
连接AC、BD。
∵ C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}×120°=40°$，$AC=CD=BD$（同圆中，等弧对等弦）。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=120°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵ $OA=OC$，
∴ 在$△ OAC$中，$∠ OAC=∠ OCA=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴ $∠ CAB=∠ OAC-∠ OAB=70°-30°=40°$。
∵ $∠ AEC$是$△ AOE$的外角，
∴ $∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$，
∴ $∠ AEC=∠ OCA$，
∴ $AE=AC$。
同理可证：$BF=BD$。
又∵ $AC=CD=BD$，
∴ $AE=BF=CD$。
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2. 当∠AOB=n°时，证明AE=BF=CD
连接AC、BD。
∵ C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{n°}{3}$，$AC=CD=BD$（同圆中，等弧对等弦）。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=n°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-n°}{2}=90°-\frac{n°}{2}$。
∵ $OA=OC$，
∴ 在$△ OAC$中，$∠ OAC=∠ OCA=\frac{180°-\frac{n°}{3}}{2}=90°-\frac{n°}{6}$，
∴ $∠ CAB=∠ OAC-∠ OAB=(90°-\frac{n°}{6})-(90°-\frac{n°}{2})=\frac{n°}{3}$。
∵ $∠ AEC$是$△ AOE$的外角，
∴ $∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=(90°-\frac{n°}{2})+\frac{n°}{3}=90°-\frac{n°}{6}$，
∴ $∠ AEC=∠ OCA$，
∴ $AE=AC$。
同理可证：$BF=BD$。
又∵ $AC=CD=BD$，
∴ $AE=BF=CD$。
