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11.「2026安徽合肥四十六中期中，★☆」国际乒乓球联合会在正式比赛中，对所使用的乒乓球的质量有严格的标准，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位:g，超过标准质量的克数记为正数)。
(1)请找出3个质量误差相对较小的乒乓球，并用绝对值的知识说明。
(2)若规定与标准质量误差不超过0.1 g的为优等品，超过0.1 g但不超过0.3 g的为合格品，在这6个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由。
(1)请找出3个质量误差相对较小的乒乓球，并用绝对值的知识说明。
(2)若规定与标准质量误差不超过0.1 g的为优等品，超过0.1 g但不超过0.3 g的为合格品，在这6个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由。
答案
11.解析 (1)|-0.5|=0.5,|+0.1|=0.1,|+0.2|=0.2,|0|=0,|-0.08|=0.08,|-0.15|=0.15,综上,质量误差相对较小的3个乒乓球为四号球、五号球、二号球,其中四号球的质量正好等于标准质量,五号球的质量比标准质量少0.08 g,二号球的质量比标准质量多0.1 g.
(2)因为|-0.5|=0.5,所以一号球为不合格品,因为|+0.1|=0.1,所以二号球为优等品,因为|+0.2|=0.2,所以三号球为合格品,因为|0|=0,所以四号球为优等品,因为|-0.08|=0.08,所以五号球为优等品,因为|-0.15|=0.15,所以六号球为合格品.
(2)因为|-0.5|=0.5,所以一号球为不合格品,因为|+0.1|=0.1,所以二号球为优等品,因为|+0.2|=0.2,所以三号球为合格品,因为|0|=0,所以四号球为优等品,因为|-0.08|=0.08,所以五号球为优等品,因为|-0.15|=0.15,所以六号球为合格品.
解析
【分析】
(1)判断乒乓球质量误差的大小，本质是看其质量与标准质量的偏差大小：根据绝对值的意义，检测结果的绝对值就代表乒乓球质量和标准质量的偏差，绝对值越小，误差越小。因此只需先计算每个检测结果的绝对值，再比较大小，选出绝对值最小的3个即可。
(2)判断产品等级时，将每个检测结果的绝对值和题目规定的范围对比即可：绝对值≤0.1g为优等品，0.1g＜绝对值≤0.3g为合格品，绝对值＞0.3g为不合格品，逐一对应判断即可。
【解析】
(1)先计算各球检测结果的绝对值：
$|-0.5|=0.5$，$|+0.1|=0.1$，$|+0.2|=0.2$，$|0|=0$，$|-0.08|=0.08$，$|-0.15|=0.15$
比较绝对值大小可得：$0＜0.08＜0.1＜0.15＜0.2＜0.5$
绝对值越小说明质量误差越小，因此质量误差相对较小的3个乒乓球为四号球、五号球、二号球，其中四号球的质量正好等于标准质量，五号球的质量比标准质量少0.08g，二号球的质量比标准质量多0.1g。
(2)根据规定的等级标准逐一判断：
一号球：$|-0.5|=0.5＞0.3$，为不合格品；
二号球：$|+0.1|=0.1≤0.1$，为优等品；
三号球：$|+0.2|=0.2$，满足$0.1＜0.2≤0.3$，为合格品；
四号球：$|0|=0≤0.1$，为优等品；
五号球：$|-0.08|=0.08≤0.1$，为优等品；
六号球：$|-0.15|=0.15$，满足$0.1＜0.15≤0.3$，为合格品。
【答案】
(1)质量误差相对较小的3个乒乓球是四号球、五号球、二号球。
(2)优等品：二号球、四号球、五号球；合格品：三号球、六号球；不合格品：一号球。
【知识点】
绝对值的意义，正负数的实际应用，绝对值的计算
【点评】
本题结合体育用品质量检测的生活场景考查绝对值的应用，解题核心是理解绝对值可表示实际问题中与标准值的偏差大小，只要掌握绝对值的计算和大小比较方法就能顺利解题，能很好地锻炼学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.85
(1)判断乒乓球质量误差的大小，本质是看其质量与标准质量的偏差大小：根据绝对值的意义，检测结果的绝对值就代表乒乓球质量和标准质量的偏差，绝对值越小，误差越小。因此只需先计算每个检测结果的绝对值，再比较大小，选出绝对值最小的3个即可。
(2)判断产品等级时，将每个检测结果的绝对值和题目规定的范围对比即可：绝对值≤0.1g为优等品，0.1g＜绝对值≤0.3g为合格品，绝对值＞0.3g为不合格品，逐一对应判断即可。
【解析】
(1)先计算各球检测结果的绝对值：
$|-0.5|=0.5$，$|+0.1|=0.1$，$|+0.2|=0.2$，$|0|=0$，$|-0.08|=0.08$，$|-0.15|=0.15$
比较绝对值大小可得：$0＜0.08＜0.1＜0.15＜0.2＜0.5$
绝对值越小说明质量误差越小，因此质量误差相对较小的3个乒乓球为四号球、五号球、二号球，其中四号球的质量正好等于标准质量，五号球的质量比标准质量少0.08g，二号球的质量比标准质量多0.1g。
(2)根据规定的等级标准逐一判断：
一号球：$|-0.5|=0.5＞0.3$，为不合格品；
二号球：$|+0.1|=0.1≤0.1$，为优等品；
三号球：$|+0.2|=0.2$，满足$0.1＜0.2≤0.3$，为合格品；
四号球：$|0|=0≤0.1$，为优等品；
五号球：$|-0.08|=0.08≤0.1$，为优等品；
六号球：$|-0.15|=0.15$，满足$0.1＜0.15≤0.3$，为合格品。
【答案】
(1)质量误差相对较小的3个乒乓球是四号球、五号球、二号球。
(2)优等品：二号球、四号球、五号球；合格品：三号球、六号球；不合格品：一号球。
【知识点】
绝对值的意义，正负数的实际应用，绝对值的计算
【点评】
本题结合体育用品质量检测的生活场景考查绝对值的应用，解题核心是理解绝对值可表示实际问题中与标准值的偏差大小，只要掌握绝对值的计算和大小比较方法就能顺利解题，能很好地锻炼学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.85
12.「★☆」观察比较：$|0|=|0|,|1|=|1|,|1|=|-1|,|2|=|2|,|2|=|-2|,······,|n|=|n|,|n|=|-n|.$
(1)如果$|a|=|4|$,求$a$的值.
(2)$a,b$表示任意有理数,如果$|a|=|b|$,那么$a$与$b$有什么关系？
(1)如果$|a|=|4|$,求$a$的值.
(2)$a,b$表示任意有理数,如果$|a|=|b|$,那么$a$与$b$有什么关系？
答案
12.解析 (1)根据题意得,相等或互为相反数的两个数的绝对值相等,所以|a|=|4|=|-4|,所以a的值为4或-4.
(2)根据题意得,相等或互为相反数的两个数的绝对值相等,因为|a|=|b|,所以a与b相等或互为相反数.
(2)根据题意得,相等或互为相反数的两个数的绝对值相等,因为|a|=|b|,所以a与b相等或互为相反数.
解析
【分析】
本题可结合题干给出的几组绝对值相等的示例，先总结出“相等或互为相反数的两个数的绝对值相等”这一规律，再利用规律解题：
(1) 先确定|4|对应的绝对值数值，再找出所有绝对值等于该数值的数，即可得到a的取值；
(2) 将第一问的特殊情况推广到任意有理数a、b，即可归纳出二者的关系。
【解析】
(1) 根据题干呈现的规律可知：相等或互为相反数的两个数的绝对值相等。
因为|4|=4，绝对值等于4的数有4和-4，即$\left|4\right|=\left|-4\right|$，所以若$\left|a\right|=\left|4\right|$，则a的值为4或-4。
(2) 同样依据“相等或互为相反数的两个数的绝对值相等”的规律，当$\left|a\right|=\left|b\right|$时，说明a和b的绝对值相同，因此a与b相等，或者互为相反数。
【答案】
(1) $a$的值为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{-4}$；
(2) $a$与$b$相等或互为相反数。
【知识点】
绝对值的性质、相反数的概念
【点评】
本题是绝对值模块的基础考查题，解题的核心是通过观察归纳得出绝对值相等的两个数的对应关系，牢记该规律可以快速解决同类绝对值等式的相关问题。
【难度系数】
0.9
本题可结合题干给出的几组绝对值相等的示例，先总结出“相等或互为相反数的两个数的绝对值相等”这一规律，再利用规律解题：
(1) 先确定|4|对应的绝对值数值，再找出所有绝对值等于该数值的数，即可得到a的取值；
(2) 将第一问的特殊情况推广到任意有理数a、b，即可归纳出二者的关系。
【解析】
(1) 根据题干呈现的规律可知：相等或互为相反数的两个数的绝对值相等。
因为|4|=4，绝对值等于4的数有4和-4，即$\left|4\right|=\left|-4\right|$，所以若$\left|a\right|=\left|4\right|$，则a的值为4或-4。
(2) 同样依据“相等或互为相反数的两个数的绝对值相等”的规律，当$\left|a\right|=\left|b\right|$时，说明a和b的绝对值相同，因此a与b相等，或者互为相反数。
【答案】
(1) $a$的值为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{-4}$；
(2) $a$与$b$相等或互为相反数。
【知识点】
绝对值的性质、相反数的概念
【点评】
本题是绝对值模块的基础考查题，解题的核心是通过观察归纳得出绝对值相等的两个数的对应关系，牢记该规律可以快速解决同类绝对值等式的相关问题。
【难度系数】
0.9
13. 核心素养 推理能力 数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，如$|a-b|$表示数轴上$a,b$对应的两点之间的距离.
解答下列问题:
(1)当$a=$
(2)当$a$取何值时,$|a-1|+3$有最小值? 这个最小值是多少?
(3)$|a-3|+|7-a|$的最小值是多少?
解答下列问题:
(1)当$a=$
6
时,$|a-6|$有最小值,最小值为0
.(2)当$a$取何值时,$|a-1|+3$有最小值? 这个最小值是多少?
(3)$|a-3|+|7-a|$的最小值是多少?
答案
13.解析 (1)6;0.
详解:因为|a-6|表示a,6对应的两点之间的距离,当a,6对应的两点重合时,距离最小,为0,所以|a-6|的最小值为0,此时a=6.
(2)同(1)得,当a=1时,|a-1|有最小值,为0,所以当a=1时,|a-1|+3有最小值,为0+3=3.
(3)因为|a-3|+|7-a|表示数轴上a对应的点到3对应的点之间的距离与a对应的点到7对应的点之间的距离之和,所以当a在3和7之间(包括3和7)时,距离和最小,为7-3=4,所以|a-3|+|7-a|的最小值为4.
详解:因为|a-6|表示a,6对应的两点之间的距离,当a,6对应的两点重合时,距离最小,为0,所以|a-6|的最小值为0,此时a=6.
(2)同(1)得,当a=1时,|a-1|有最小值,为0,所以当a=1时,|a-1|+3有最小值,为0+3=3.
(3)因为|a-3|+|7-a|表示数轴上a对应的点到3对应的点之间的距离与a对应的点到7对应的点之间的距离之和,所以当a在3和7之间(包括3和7)时,距离和最小,为7-3=4,所以|a-3|+|7-a|的最小值为4.
解析
【分析】
解题时我们可结合绝对值的几何意义分析：①单个绝对值$\vert a-b\vert$表示数轴上$a$对应点到$b$对应点的距离，两点重合时距离最小，最小值为0；②带常数的绝对值式，可先求绝对值部分的最小值，再加常数即可得整个式子的最小值；③两个绝对值相加的形式，表示$a$到两个定点的距离和，当$a$落在两个定点之间（含端点）时，距离和最小，最小值就是两个定点之间的距离。
【解析】
(1) $\vert a-6\vert$表示数轴上$a$对应的点与6对应的点之间的距离，当两个点重合时距离最小，即$a=6$时，$\vert a-6\vert$的最小值为0。
(2) $\vert a-1\vert$表示数轴上$a$对应的点与1对应的点之间的距离，当$a=1$时，$\vert a-1\vert$取得最小值0，此时$\vert a-1\vert+3$的最小值为$0+3=3$。
(3) $\vert a-3\vert+\vert7-a\vert$可转化为$\vert a-3\vert+\vert a-7\vert$，表示数轴上$a$对应的点到3对应点的距离、到7对应点的距离之和。当$a$对应的点在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，等于3和7两点之间的距离，即$7-3=4$。
【答案】
(1) $6$；$0$
(2) 当$a=1$时，$\vert a-1\vert+3$有最小值，最小值是$3$
(3) 最小值是$4$
【知识点】
1. 绝对值的几何意义
2. 绝对值的非负性
【点评】
本题结合数轴距离考查绝对值的性质，将代数形式的绝对值转化为直观的数轴距离是解题核心，能有效锻炼数形结合的推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时我们可结合绝对值的几何意义分析：①单个绝对值$\vert a-b\vert$表示数轴上$a$对应点到$b$对应点的距离，两点重合时距离最小，最小值为0；②带常数的绝对值式，可先求绝对值部分的最小值，再加常数即可得整个式子的最小值；③两个绝对值相加的形式，表示$a$到两个定点的距离和，当$a$落在两个定点之间（含端点）时，距离和最小，最小值就是两个定点之间的距离。
【解析】
(1) $\vert a-6\vert$表示数轴上$a$对应的点与6对应的点之间的距离，当两个点重合时距离最小，即$a=6$时，$\vert a-6\vert$的最小值为0。
(2) $\vert a-1\vert$表示数轴上$a$对应的点与1对应的点之间的距离，当$a=1$时，$\vert a-1\vert$取得最小值0，此时$\vert a-1\vert+3$的最小值为$0+3=3$。
(3) $\vert a-3\vert+\vert7-a\vert$可转化为$\vert a-3\vert+\vert a-7\vert$，表示数轴上$a$对应的点到3对应点的距离、到7对应点的距离之和。当$a$对应的点在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，等于3和7两点之间的距离，即$7-3=4$。
【答案】
(1) $6$；$0$
(2) 当$a=1$时，$\vert a-1\vert+3$有最小值，最小值是$3$
(3) 最小值是$4$
【知识点】
1. 绝对值的几何意义
2. 绝对值的非负性
【点评】
本题结合数轴距离考查绝对值的性质，将代数形式的绝对值转化为直观的数轴距离是解题核心，能有效锻炼数形结合的推理能力。
【难度系数】
0.7
1.下列式子中,一定是正数的是 (
A.$+m$
B.$-m$
C.$|m|$
D.$|m|+1$
D
)A.$+m$
B.$-m$
C.$|m|$
D.$|m|+1$
答案
1.D +m和-m可能是负数、零或正数,|m|可能是零或正数,|m|+1一定是正数.故选D.
解析
【分析】
要判断哪个式子一定是正数，首先明确正数是大于0的数，由于字母m可以表示任意有理数，我们需要结合绝对值的性质，逐个分析每个选项的取值范围，排除可能为0或负数的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确：正数是指大于0的数，字母m可以取任意有理数，对各选项逐一分析：
A. $+m$就是$m$本身，当$m≤0$时，$+m$不是正数，不符合要求；
B. 当$m≥0$时，$-m≤0$，不是正数，不符合要求；
C. 根据绝对值的性质，任意数的绝对值都是非负数，即$|m|≥0$，当$m=0$时，$|m|=0$，0不是正数，不符合要求；
D. 由$|m|≥0$可得，$|m|+1≥0+1=1＞0$，无论$m$取何值，该式都大于0，一定是正数，符合要求。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
正数的定义；绝对值的非负性；字母表示数
【点评】
本题是基础概念应用题，解题时需注意0既不是正数也不是负数，分析含字母的代数式的取值时要考虑字母的所有可能取值，结合绝对值的非负性即可快速判断。
【难度系数】
0.85
要判断哪个式子一定是正数，首先明确正数是大于0的数，由于字母m可以表示任意有理数，我们需要结合绝对值的性质，逐个分析每个选项的取值范围，排除可能为0或负数的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确：正数是指大于0的数，字母m可以取任意有理数，对各选项逐一分析：
A. $+m$就是$m$本身，当$m≤0$时，$+m$不是正数，不符合要求；
B. 当$m≥0$时，$-m≤0$，不是正数，不符合要求；
C. 根据绝对值的性质，任意数的绝对值都是非负数，即$|m|≥0$，当$m=0$时，$|m|=0$，0不是正数，不符合要求；
D. 由$|m|≥0$可得，$|m|+1≥0+1=1＞0$，无论$m$取何值，该式都大于0，一定是正数，符合要求。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
正数的定义；绝对值的非负性；字母表示数
【点评】
本题是基础概念应用题，解题时需注意0既不是正数也不是负数，分析含字母的代数式的取值时要考虑字母的所有可能取值，结合绝对值的非负性即可快速判断。
【难度系数】
0.85
2.「2026安徽安庆太湖期中」若$|a-3|$与$|b-5|$互为相反数，则$a$与$b$的和为
8
。答案
2.答案 8
解析 因为|a-3|与|b-5|互为相反数,所以|a-3|+|b-5|=0,又因为|a-3|≥0,|b-5|≥0,所以a-3=0,b-5=0,所以a=3,b=5,所以a与b的和为3+5=8.
解析 因为|a-3|与|b-5|互为相反数,所以|a-3|+|b-5|=0,又因为|a-3|≥0,|b-5|≥0,所以a-3=0,b-5=0,所以a=3,b=5,所以a与b的和为3+5=8.
解析
【分析】
解题时首先根据互为相反数的性质，可得两个绝对值的和为0；再结合绝对值的非负性（任意数的绝对值都是大于等于0的数），可知只有两个绝对值分别为0时，它们的和才能等于0；据此求出a、b的具体数值，最后计算a与b的和即可。
【解析】
因为$|a-3|$与$|b-5|$互为相反数，所以$|a-3|+|b-5|=0$。
又因为绝对值具有非负性，即$|a-3|≥0$，$|b-5|≥0$，
所以只有$a-3=0$且$b-5=0$时，上述等式成立，
解得$a=3$，$b=5$，
因此$a$与$b$的和为$3+5=8$。
【答案】
8
【知识点】
相反数的性质，绝对值的非负性
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用题型，核心要掌握“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”这一规律，熟练运用该结论可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据互为相反数的性质，可得两个绝对值的和为0；再结合绝对值的非负性（任意数的绝对值都是大于等于0的数），可知只有两个绝对值分别为0时，它们的和才能等于0；据此求出a、b的具体数值，最后计算a与b的和即可。
【解析】
因为$|a-3|$与$|b-5|$互为相反数，所以$|a-3|+|b-5|=0$。
又因为绝对值具有非负性，即$|a-3|≥0$，$|b-5|≥0$，
所以只有$a-3=0$且$b-5=0$时，上述等式成立，
解得$a=3$，$b=5$，
因此$a$与$b$的和为$3+5=8$。
【答案】
8
【知识点】
相反数的性质，绝对值的非负性
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用题型，核心要掌握“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”这一规律，熟练运用该结论可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.8
3.「2026安徽淮南期末」当x为何值时，式子2025−|x+2024|存在最大值？最大值为多少？
答案
3.解析 因为|x+2 024|≥0,所以当|x+2 024|取最小值0,即x+2 024=0时,2 025-|x+2 024|有最大值,为2 025,此时x=-2 024.
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值的基本性质：任意数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。观察待求最值的式子2025−|x+2024|，其中被减数2025是固定值，根据减法的运算规律：被减数不变时，减数越小，所得的差越大。因此要让式子取得最大值，只需要让减数|x+2024|取到最小值，再根据绝对值取最小值的条件求出对应的x的值，最后代入计算最大值即可。
【解析】
解：根据绝对值的非负性可得：|x+2024|≥0
要使2025−|x+2024|取得最大值，需让减数|x+2024|取得最小值
∵|x+2024|的最小值为0
∴当|x+2024|=0时，式子取得最大值
此时x+2024=0，解得x=-2024
代入式子得最大值为2025−0=2025
【答案】
当x=-2024时，式子2025−|x+2024|存在最大值，最大值为2025。
【知识点】
绝对值的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用题型，解题的关键是结合减法运算逻辑，将式子的最值问题转化为求绝对值的最小值问题，熟练掌握绝对值的非负性即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆绝对值的基本性质：任意数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。观察待求最值的式子2025−|x+2024|，其中被减数2025是固定值，根据减法的运算规律：被减数不变时，减数越小，所得的差越大。因此要让式子取得最大值，只需要让减数|x+2024|取到最小值，再根据绝对值取最小值的条件求出对应的x的值，最后代入计算最大值即可。
【解析】
解：根据绝对值的非负性可得：|x+2024|≥0
要使2025−|x+2024|取得最大值，需让减数|x+2024|取得最小值
∵|x+2024|的最小值为0
∴当|x+2024|=0时，式子取得最大值
此时x+2024=0，解得x=-2024
代入式子得最大值为2025−0=2025
【答案】
当x=-2024时，式子2025−|x+2024|存在最大值，最大值为2025。
【知识点】
绝对值的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用题型，解题的关键是结合减法运算逻辑，将式子的最值问题转化为求绝对值的最小值问题，熟练掌握绝对值的非负性即可快速解题。
【难度系数】
0.8
