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8.下列各选项所求的最简公分母错误的是（
A.$\frac{1}{3x}$与$\frac{1}{6x}$的最简公分母是$6x$
B.$\frac{1}{3a^2b^3}$与$\frac{1}{3a^2b^3c}$的最简公分母是$3a^2b^3c$
C.$\frac{1}{a(x-y)}$与$\frac{1}{b(y-x)}$的最简公分母是$ab(x-y)(y-x)$
D.$\frac{1}{m+n}$与$\frac{1}{m-n}$的最简公分母是$m^2-n^2$
C
）A.$\frac{1}{3x}$与$\frac{1}{6x}$的最简公分母是$6x$
B.$\frac{1}{3a^2b^3}$与$\frac{1}{3a^2b^3c}$的最简公分母是$3a^2b^3c$
C.$\frac{1}{a(x-y)}$与$\frac{1}{b(y-x)}$的最简公分母是$ab(x-y)(y-x)$
D.$\frac{1}{m+n}$与$\frac{1}{m-n}$的最简公分母是$m^2-n^2$
答案
8.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确最简公分母的确定规则：①取各分母系数的最小公倍数作为公分母的系数；②相同字母（或含字母的因式）取最高次幂；③不同的字母（或含字母的因式）全部纳入公分母；若两个因式互为相反数，只需取其中一个即可，无需重复相乘。接下来我们逐个验证选项，找出错误的选项即可。
【解析】
我们根据最简公分母的确定方法逐一分析选项：
A. 分母分别为$3x$和$6x$，系数最小公倍数是6，字母因式的最高次为$x$，因此最简公分母是$6x$，该选项正确，不符合题意。
B. 分母分别为$3a^2b^3$和$3a^2b^3c$，系数最小公倍数是3，相同因式取最高次$a^2$、$b^3$，再加上不同因式$c$，因此最简公分母是$3a^2b^3c$，该选项正确，不符合题意。
C. 分母分别为$a(x-y)$和$b(y-x)$，注意$y-x=-(x-y)$，二者互为相反数，因此最简公分母只需取其中一个因式，再结合不同因式$a$、$b$，可得最简公分母为$ab(x-y)$（或$ab(y-x)$），无需同时乘$(x-y)(y-x)$，该选项错误，符合题意。
D. 分母分别为$m+n$和$m-n$，二者是不同的因式，最简公分母为$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，该选项正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
最简公分母的确定，因式的符号处理
【点评】
本题考查最简公分母的判断，易错点是忽略互为相反数的因式无需同时作为公分母的组成部分，熟练掌握最简公分母的确定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确最简公分母的确定规则：①取各分母系数的最小公倍数作为公分母的系数；②相同字母（或含字母的因式）取最高次幂；③不同的字母（或含字母的因式）全部纳入公分母；若两个因式互为相反数，只需取其中一个即可，无需重复相乘。接下来我们逐个验证选项，找出错误的选项即可。
【解析】
我们根据最简公分母的确定方法逐一分析选项：
A. 分母分别为$3x$和$6x$，系数最小公倍数是6，字母因式的最高次为$x$，因此最简公分母是$6x$，该选项正确，不符合题意。
B. 分母分别为$3a^2b^3$和$3a^2b^3c$，系数最小公倍数是3，相同因式取最高次$a^2$、$b^3$，再加上不同因式$c$，因此最简公分母是$3a^2b^3c$，该选项正确，不符合题意。
C. 分母分别为$a(x-y)$和$b(y-x)$，注意$y-x=-(x-y)$，二者互为相反数，因此最简公分母只需取其中一个因式，再结合不同因式$a$、$b$，可得最简公分母为$ab(x-y)$（或$ab(y-x)$），无需同时乘$(x-y)(y-x)$，该选项错误，符合题意。
D. 分母分别为$m+n$和$m-n$，二者是不同的因式，最简公分母为$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，该选项正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
最简公分母的确定，因式的符号处理
【点评】
本题考查最简公分母的判断，易错点是忽略互为相反数的因式无需同时作为公分母的组成部分，熟练掌握最简公分母的确定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
9.通分：
(1)$\frac{x}{2(x+1)},\frac{1}{x^2 - x}$；
(2)$\frac{2y}{a - b},a + b$；
(3)$\frac{1}{a^2 - ab},\frac{1}{a^2 - $
$},\frac{1}{a^2 - 2ab + b^2}$。
(1)$\frac{x}{2(x+1)},\frac{1}{x^2 - x}$；
(2)$\frac{2y}{a - b},a + b$；
(3)$\frac{1}{a^2 - ab},\frac{1}{a^2 - $
$},\frac{1}{a^2 - 2ab + b^2}$。答案
9.解:(1)最简公分母是$2x(x+1)(x-1)$.
$\frac{x}{2(x+1)}=\frac{x^2(x-1)}{2x(x+1)(x-1)}$,
$\frac{1}{x^2-x}=\frac{2(x+1)}{2x(x+1)(x-1)}$.
(2)最简公分母是$a-b$.
$\frac{2y}{a-b}=\frac{2y}{a-b},a+b=\frac{(a+b)(a-b)}{a-b}$.
(3)最简公分母是$a(a+b)(a-b)^2$.
$\frac{1}{a^2-ab}=\frac{1}{a(a-b)}=\frac{(a-b)(a+b)}{a(a+b)(a-b)^2}$,
$\frac{1}{a^2-b^2}=\frac{1}{(a+b)(a-b)}=\frac{a(a-b)}{a(a+b)(a-b)^2}$,
$\frac{1}{a^2-2ab+b^2}=\frac{1}{(a-b)^2}=\frac{a(a+b)}{a(a+b)(a-b)^2}$.
$\frac{x}{2(x+1)}=\frac{x^2(x-1)}{2x(x+1)(x-1)}$,
$\frac{1}{x^2-x}=\frac{2(x+1)}{2x(x+1)(x-1)}$.
(2)最简公分母是$a-b$.
$\frac{2y}{a-b}=\frac{2y}{a-b},a+b=\frac{(a+b)(a-b)}{a-b}$.
(3)最简公分母是$a(a+b)(a-b)^2$.
$\frac{1}{a^2-ab}=\frac{1}{a(a-b)}=\frac{(a-b)(a+b)}{a(a+b)(a-b)^2}$,
$\frac{1}{a^2-b^2}=\frac{1}{(a+b)(a-b)}=\frac{a(a-b)}{a(a+b)(a-b)^2}$,
$\frac{1}{a^2-2ab+b^2}=\frac{1}{(a-b)^2}=\frac{a(a+b)}{a(a+b)(a-b)^2}$.
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，解题思路如下：第一步先将每个分式的分母进行因式分解，整式可看作分母为1的分式；第二步取各分母所有因式的最高次幂的乘积作为最简公分母；第三步根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘相应的整式，把分母统一化为最简公分母即可。
【解析】
(1) 先对分母因式分解：$x^2 - x = x(x-1)$，因此两个分式的最简公分母为$2x(x+1)(x-1)$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{x}{2(x+1)}$的分母缺少因式$x(x-1)$，分子分母同乘$x(x-1)$得$\frac{x· x(x-1)}{2(x+1)· x(x-1)}=\frac{x^2(x-1)}{2x(x+1)(x-1)}$；
$\frac{1}{x^2-x}$的分母缺少因式$2(x+1)$，分子分母同乘$2(x+1)$得$\frac{1· 2(x+1)}{x(x-1)· 2(x+1)}=\frac{2(x+1)}{2x(x+1)(x-1)}$。
(2) 将$a+b$看作分母为1的分式，两个式子的最简公分母为$a-b$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{2y}{a-b}$的分母已经是最简公分母，无需变形，即$\frac{2y}{a-b}$；
$a+b$的分母缺少因式$a-b$，分子分母同乘$a-b$得$\frac{(a+b)·(a-b)}{1·(a-b)}=\frac{(a+b)(a-b)}{a-b}$。
(3) 先对三个分母因式分解：$a^2 - ab = a(a-b)$，$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，因此最简公分母为$a(a+b)(a-b)^2$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{a^2-ab}$的分母缺少因式$(a+b)(a-b)$，分子分母同乘$(a+b)(a-b)$得$\frac{1· (a+b)(a-b)}{a(a-b)· (a+b)(a-b)}=\frac{(a+b)(a-b)}{a(a+b)(a-b)^2}$；
$\frac{1}{a^2-b^2}$的分母缺少因式$a(a-b)$，分子分母同乘$a(a-b)$得$\frac{1· a(a-b)}{(a+b)(a-b)· a(a-b)}=\frac{a(a-b)}{a(a+b)(a-b)^2}$；
$\frac{1}{a^2-2ab+b^2}$的分母缺少因式$a(a+b)$，分子分母同乘$a(a+b)$得$\frac{1· a(a+b)}{(a-b)^2· a(a+b)}=\frac{a(a+b)}{a(a+b)(a-b)^2}$。
【答案】
(1) 最简公分母是$2x(x+1)(x-1)$，$\frac{x}{2(x+1)}=\frac{x^2(x-1)}{2x(x+1)(x-1)}$，$\frac{1}{x^2-x}=\frac{2(x+1)}{2x(x+1)(x-1)}$；
(2) 最简公分母是$a-b$，$\frac{2y}{a-b}=\frac{2y}{a-b}$，$a+b=\frac{(a+b)(a-b)}{a-b}$；
(3) 最简公分母是$a(a+b)(a-b)^2$，$\frac{1}{a^2-ab}=\frac{(a-b)(a+b)}{a(a+b)(a-b)^2}$，$\frac{1}{a^2-b^2}=\frac{a(a-b)}{a(a+b)(a-b)^2}$，$\frac{1}{a^2-2ab+b^2}=\frac{a(a+b)}{a(a+b)(a-b)^2}$。
【知识点】
分式的通分、因式分解、分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题的关键是正确对分母因式分解、准确确定最简公分母，熟练掌握通分方法是后续学习分式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.7
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，解题思路如下：第一步先将每个分式的分母进行因式分解，整式可看作分母为1的分式；第二步取各分母所有因式的最高次幂的乘积作为最简公分母；第三步根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘相应的整式，把分母统一化为最简公分母即可。
【解析】
(1) 先对分母因式分解：$x^2 - x = x(x-1)$，因此两个分式的最简公分母为$2x(x+1)(x-1)$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{x}{2(x+1)}$的分母缺少因式$x(x-1)$，分子分母同乘$x(x-1)$得$\frac{x· x(x-1)}{2(x+1)· x(x-1)}=\frac{x^2(x-1)}{2x(x+1)(x-1)}$；
$\frac{1}{x^2-x}$的分母缺少因式$2(x+1)$，分子分母同乘$2(x+1)$得$\frac{1· 2(x+1)}{x(x-1)· 2(x+1)}=\frac{2(x+1)}{2x(x+1)(x-1)}$。
(2) 将$a+b$看作分母为1的分式，两个式子的最简公分母为$a-b$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{2y}{a-b}$的分母已经是最简公分母，无需变形，即$\frac{2y}{a-b}$；
$a+b$的分母缺少因式$a-b$，分子分母同乘$a-b$得$\frac{(a+b)·(a-b)}{1·(a-b)}=\frac{(a+b)(a-b)}{a-b}$。
(3) 先对三个分母因式分解：$a^2 - ab = a(a-b)$，$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，因此最简公分母为$a(a+b)(a-b)^2$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{a^2-ab}$的分母缺少因式$(a+b)(a-b)$，分子分母同乘$(a+b)(a-b)$得$\frac{1· (a+b)(a-b)}{a(a-b)· (a+b)(a-b)}=\frac{(a+b)(a-b)}{a(a+b)(a-b)^2}$；
$\frac{1}{a^2-b^2}$的分母缺少因式$a(a-b)$，分子分母同乘$a(a-b)$得$\frac{1· a(a-b)}{(a+b)(a-b)· a(a-b)}=\frac{a(a-b)}{a(a+b)(a-b)^2}$；
$\frac{1}{a^2-2ab+b^2}$的分母缺少因式$a(a+b)$，分子分母同乘$a(a+b)$得$\frac{1· a(a+b)}{(a-b)^2· a(a+b)}=\frac{a(a+b)}{a(a+b)(a-b)^2}$。
【答案】
(1) 最简公分母是$2x(x+1)(x-1)$，$\frac{x}{2(x+1)}=\frac{x^2(x-1)}{2x(x+1)(x-1)}$，$\frac{1}{x^2-x}=\frac{2(x+1)}{2x(x+1)(x-1)}$；
(2) 最简公分母是$a-b$，$\frac{2y}{a-b}=\frac{2y}{a-b}$，$a+b=\frac{(a+b)(a-b)}{a-b}$；
(3) 最简公分母是$a(a+b)(a-b)^2$，$\frac{1}{a^2-ab}=\frac{(a-b)(a+b)}{a(a+b)(a-b)^2}$，$\frac{1}{a^2-b^2}=\frac{a(a-b)}{a(a+b)(a-b)^2}$，$\frac{1}{a^2-2ab+b^2}=\frac{a(a+b)}{a(a+b)(a-b)^2}$。
【知识点】
分式的通分、因式分解、分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题的关键是正确对分母因式分解、准确确定最简公分母，熟练掌握通分方法是后续学习分式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.7
10.(教材 P145 习题 T12 变式)已知 $a - \frac{1}{a} = 1$，且 $\frac{2a^4 - 3a^2x + 2}{a^3 + 2a^2x - a} = -\frac{12}{13}$，求 $x$ 的值。
答案
10.6
解析
【分析】
先从已知条件$a-\frac{1}{a}=1$入手，由于a作为分母不为0，将等式变形得到$a^2=a+1$，进一步推导得到$\frac{1}{a}=a-1$、$a^3=2a+1$等降次关系；再利用分式的基本性质，将所求分式的分子分母同时除以a，用推导的降次关系把a的高次幂替换为一次式，约去公共因式a后得到仅含x的分式方程，最后解方程并检验即可得到x的值。
【解析】
1. 由$a-\frac{1}{a}=1$可知$a≠0$，等式两边同乘a得：
$a^2-1=a$，即$a^2=a+1$ ①
2. 对①两边同除以a，得$a=1+\frac{1}{a}$，即$\frac{1}{a}=a-1$ ②
3. 计算$a^3$：将①代入$a^3=a· a^2$得：
$a^3=a(a+1)=a^2+a=(a+1)+a=2a+1$ ③
4. 对分式$\frac{2a^4 - 3a^2x + 2}{a^3 + 2a^2x - a}$的分子分母同时除以a（分式值不变），化简为：
$\frac{2a^3 - 3ax + \frac{2}{a}}{a^2 + 2ax - 1}$
5. 把②③代入分子、①代入分母化简：
分子：$2(2a+1)-3ax+2(a-1)=4a+2-3ax+2a-2=6a-3ax=3a(2-x)$
分母：$(a+1)+2ax-1=a+2ax=a(1+2x)$
约去非零因式a后，原方程转化为：
$\frac{3(2-x)}{1+2x}=-\frac{12}{13}$
6. 解上述分式方程：
交叉相乘得$3×13×(2-x)=-12×(1+2x)$
$78-39x=-12-24x$
移项合并同类项得$-15x=-90$
解得$x=6$
7. 检验：将$x=6$代入$1+2x=13≠0$，是原方程的解。
【答案】
6
【知识点】
分式的基本性质，代数式降次，分式方程求解
【点评】
本题的核心是利用已知条件实现高次代数式的降次，通过分式基本性质简化复杂分式，将含两个字母的式子转化为一元方程求解，有效考查了代数式变形能力和分式方程的求解能力。
【难度系数】
0.6
先从已知条件$a-\frac{1}{a}=1$入手，由于a作为分母不为0，将等式变形得到$a^2=a+1$，进一步推导得到$\frac{1}{a}=a-1$、$a^3=2a+1$等降次关系；再利用分式的基本性质，将所求分式的分子分母同时除以a，用推导的降次关系把a的高次幂替换为一次式，约去公共因式a后得到仅含x的分式方程，最后解方程并检验即可得到x的值。
【解析】
1. 由$a-\frac{1}{a}=1$可知$a≠0$，等式两边同乘a得：
$a^2-1=a$，即$a^2=a+1$ ①
2. 对①两边同除以a，得$a=1+\frac{1}{a}$，即$\frac{1}{a}=a-1$ ②
3. 计算$a^3$：将①代入$a^3=a· a^2$得：
$a^3=a(a+1)=a^2+a=(a+1)+a=2a+1$ ③
4. 对分式$\frac{2a^4 - 3a^2x + 2}{a^3 + 2a^2x - a}$的分子分母同时除以a（分式值不变），化简为：
$\frac{2a^3 - 3ax + \frac{2}{a}}{a^2 + 2ax - 1}$
5. 把②③代入分子、①代入分母化简：
分子：$2(2a+1)-3ax+2(a-1)=4a+2-3ax+2a-2=6a-3ax=3a(2-x)$
分母：$(a+1)+2ax-1=a+2ax=a(1+2x)$
约去非零因式a后，原方程转化为：
$\frac{3(2-x)}{1+2x}=-\frac{12}{13}$
6. 解上述分式方程：
交叉相乘得$3×13×(2-x)=-12×(1+2x)$
$78-39x=-12-24x$
移项合并同类项得$-15x=-90$
解得$x=6$
7. 检验：将$x=6$代入$1+2x=13≠0$，是原方程的解。
【答案】
6
【知识点】
分式的基本性质，代数式降次，分式方程求解
【点评】
本题的核心是利用已知条件实现高次代数式的降次，通过分式基本性质简化复杂分式，将含两个字母的式子转化为一元方程求解，有效考查了代数式变形能力和分式方程的求解能力。
【难度系数】
0.6
11.【新考法·新定义】我们给出定义:若一个分式约分后是一个整式,则称这个分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.
例如，$\frac{4x^2 -8x}{x-2} = \frac{4x(x-2)}{x-2}=4x$，则称分式$\frac{4x^2 -8x}{x-2}$是“巧分式”，$4x$为它的“巧整式”.根据上述定义,解决下列问题:
(1)下列分式是“巧分式”的是________(填序号).
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$;②$\frac{2x+5}{x+3}$;③$\frac{x^2 - y^2}{x+y}$.
(2)若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+3}$($m$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,求$m$的值.
(3)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$.
①求整式$A$;
②分式$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”吗?
例如，$\frac{4x^2 -8x}{x-2} = \frac{4x(x-2)}{x-2}=4x$，则称分式$\frac{4x^2 -8x}{x-2}$是“巧分式”，$4x$为它的“巧整式”.根据上述定义,解决下列问题:
(1)下列分式是“巧分式”的是________(填序号).
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$;②$\frac{2x+5}{x+3}$;③$\frac{x^2 - y^2}{x+y}$.
(2)若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+3}$($m$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,求$m$的值.
(3)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$.
①求整式$A$;
②分式$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是“巧分式”吗?
答案
11.解:(1)①③
(2)$\because$分式$\frac{x^2-4x+m}{x+3}$($m$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,
$\therefore (x+3)(x-7)=x^2-4x+m$,
$\therefore x^2-4x-21=x^2-4x+m$,$\therefore m=-21$.
(3)①$\because$分式$\frac{-2x^3+2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,
$\therefore A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}=\frac{2x(1-x^2)}{1-x}=\frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)=2x^2+2x$.
②$\because \frac{2x^3+4x^2+2x}{2x^2+2x}=\frac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)}=\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$,且$x+1$是整式,
$\therefore \frac{2x^3+4x^2+2x}{A}$是“巧分式”.
(2)$\because$分式$\frac{x^2-4x+m}{x+3}$($m$为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,
$\therefore (x+3)(x-7)=x^2-4x+m$,
$\therefore x^2-4x-21=x^2-4x+m$,$\therefore m=-21$.
(3)①$\because$分式$\frac{-2x^3+2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,
$\therefore A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}=\frac{2x(1-x^2)}{1-x}=\frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)=2x^2+2x$.
②$\because \frac{2x^3+4x^2+2x}{2x^2+2x}=\frac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)}=\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$,且$x+1$是整式,
$\therefore \frac{2x^3+4x^2+2x}{A}$是“巧分式”.
解析
【分析】
解题首先要紧扣“巧分式”的核心定义：约分后结果为整式的分式，将问题转化为分式约分、整式乘除、因式分解的常规问题求解即可。
(1) 判断每个分式约分后是否为整式：①分子分母有公因式$(x-1)(x+2)$，约去后得整式，符合定义；②分子无法被分母整除，约分后仍为分式，不符合；③分子用平方差公式因式分解后，可约去公因式$x+y$得到整式，符合定义。
(2) 根据巧分式定义，分子=分母×巧整式，将分母和巧整式相乘展开后，对比分子的多项式系数即可求$m$。
(3) ①由巧整式是分子除以$A$的结果，可得$A=$分子÷巧整式，对分子因式分解后约去公因式$1-x$即可求出$A$；②将求得的$A$代入分式，因式分解分子后约分，判断结果是否为整式即可。
【解析】
(1) 对三个分式逐一判断：
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}=2x-3$，结果为整式，是“巧分式”；
②$\frac{2x+5}{x+3}$无法约分为整式，不是“巧分式”；
③$\frac{x^2 - y^2}{x+y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y}=x-y$，结果为整式，是“巧分式”。
故填①③。
(2) $\because$分式$\frac{x^2-4x+m}{x+3}$是“巧分式”，“巧整式”为$x-7$，
$\therefore (x+3)(x-7)=x^2-4x+m$，
展开左边得：$x^2-4x-21=x^2-4x+m$，
$\therefore m=-21$。
(3) ①$\because$分式$\frac{-2x^3+2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$，
$\therefore A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}$，
对分子因式分解：$-2x^3+2x=2x(1-x^2)=2x(1-x)(1+x)$，
$\therefore A=\frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)=2x^2+2x$。
②将$A=2x^2+2x$代入分式得：
$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{2x^2+2x}=\frac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)}=\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$，
$x+1$是整式，因此该分式是“巧分式”。
【答案】
(1)①③；(2)$m=-21$；(3)①$A=2x^2+2x$；②是“巧分式”
【知识点】
分式的约分，因式分解，新定义运算
【点评】
本题以新定义为载体，考查分式运算和整式运算的综合应用，解题关键是准确理解新定义，将陌生问题转化为熟悉的因式分解、分式约分问题求解，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题首先要紧扣“巧分式”的核心定义：约分后结果为整式的分式，将问题转化为分式约分、整式乘除、因式分解的常规问题求解即可。
(1) 判断每个分式约分后是否为整式：①分子分母有公因式$(x-1)(x+2)$，约去后得整式，符合定义；②分子无法被分母整除，约分后仍为分式，不符合；③分子用平方差公式因式分解后，可约去公因式$x+y$得到整式，符合定义。
(2) 根据巧分式定义，分子=分母×巧整式，将分母和巧整式相乘展开后，对比分子的多项式系数即可求$m$。
(3) ①由巧整式是分子除以$A$的结果，可得$A=$分子÷巧整式，对分子因式分解后约去公因式$1-x$即可求出$A$；②将求得的$A$代入分式，因式分解分子后约分，判断结果是否为整式即可。
【解析】
(1) 对三个分式逐一判断：
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}=2x-3$，结果为整式，是“巧分式”；
②$\frac{2x+5}{x+3}$无法约分为整式，不是“巧分式”；
③$\frac{x^2 - y^2}{x+y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y}=x-y$，结果为整式，是“巧分式”。
故填①③。
(2) $\because$分式$\frac{x^2-4x+m}{x+3}$是“巧分式”，“巧整式”为$x-7$，
$\therefore (x+3)(x-7)=x^2-4x+m$，
展开左边得：$x^2-4x-21=x^2-4x+m$，
$\therefore m=-21$。
(3) ①$\because$分式$\frac{-2x^3+2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$，
$\therefore A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}$，
对分子因式分解：$-2x^3+2x=2x(1-x^2)=2x(1-x)(1+x)$，
$\therefore A=\frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)=2x^2+2x$。
②将$A=2x^2+2x$代入分式得：
$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{2x^2+2x}=\frac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)}=\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$，
$x+1$是整式，因此该分式是“巧分式”。
【答案】
(1)①③；(2)$m=-21$；(3)①$A=2x^2+2x$；②是“巧分式”
【知识点】
分式的约分，因式分解，新定义运算
【点评】
本题以新定义为载体，考查分式运算和整式运算的综合应用，解题关键是准确理解新定义，将陌生问题转化为熟悉的因式分解、分式约分问题求解，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
