1.(2025·大连中山区期中)定义:多项式$A$化简后的项数记作$M(A)$.例如多项式$A=x^2+2x$,则$M(A)=2$.多项式$A,B,C$满足$C=A· (B+1)$.如果$M(A)≤ M(C)≤ M(A)+1$,那么称$B$是$A$的“好多项式”;如果$M(A)=M(C)$,那么称$B$是$A$的“极好多项式”.
(1)若$A=x-1,B=x^2+x+2$均是关于$x$的多项式,则$B$是不是$A$的“好多项式”?请判断并说明理由.
(2)若$A=x^2+x-m,B=x^2+2x-1$均是关于$x$的多项式,且$B$是$A$的“极好多项式”,求$m$的值.

1.解:(1)B 是 A 的“好多项式”.理由如下：
∵C=A · (B+1)=(x-1)(x²+x+2+1)=(x-1)(x²+x+3)=x³+x²+3x-x²-x-3=x³+2x-3,
∴M(C)=3.
∵M(A)=2,
∴M(A)+1=3,
∴M(C)=M(A)+1.
∵M(A)≤M(C)≤M(A)+1,
∴B 是 A 的“好多项式”.
(2)m=2

【分析】
（1）要判断B是否为A的“好多项式”，首先需按照定义计算$C=A·(B+1)$，化简后统计C的项数$M(C)$，再结合A的项数$M(A)$，验证是否满足$M(A)≤M(C)≤M(A)+1$即可。
（2）已知B是A的“极好多项式”，根据定义可知$M(A)=M(C)$。首先计算$B+1$，再展开C的表达式并合并同类项，先确定$M(A)$的数值，再根据C的项数等于$M(A)$的要求，找到系数为0的项列方程求解m，注意验证解是否符合项数要求。
【解析】
(1) B是A的“好多项式”，理由如下：
先计算$B+1$：$B+1=x^2+x+2+1=x^2+x+3$
再计算$C=A·(B+1)=(x-1)(x^2+x+3)$
展开合并同类项得：
$C=x^3+x^2+3x - x^2 - x - 3 = x^3 + 2x - 3$
因此C化简后有3项，即$M(C)=3$
已知$A=x-1$有2项，即$M(A)=2$，则$M(A)+1=3$
满足$M(A)≤M(C)≤M(A)+1$，故B是A的“好多项式”。
(2) 先计算$B+1$：$B+1=x^2+2x-1+1=x^2+2x$
再计算$C=A·(B+1)=(x^2+x - m)(x^2+2x)$，展开合并同类项：
$\begin{aligned}C&=x^4 + 2x^3 + x^3 + 2x^2 - m x^2 - 2m x \\&=x^4 + 3x^3 + (2 - m)x^2 - 2m x\end{aligned}$
因为B是A的“极好多项式”，所以$M(A)=M(C)$。
多项式$A=x^2+x - m$：当$m≠0$时$M(A)=3$，当$m=0$时$M(A)=2$。
①若$m=0$，则$C=x^4+3x^3+2x^2$，$M(C)=3$，此时$M(A)=2≠M(C)$，不符合要求；
②若$m≠0$，要使$M(C)=M(A)=3$，则C中需有1项系数为0，因为$x^4$、$3x^3$系数不为0，因此只有$2-m=0$或$-2m=0$两种可能。
$-2m=0$即$m=0$，不符合$m≠0$的前提；当$2-m=0$时，解得$m=2$，此时$C=x^4+3x^3 - 4x$，$M(C)=3$，和$M(A)=3$相等，符合要求。
综上，$m=2$。
【答案】
(1) B是A的“好多项式”，理由见解析；(2) $\boldsymbol{m=2}$
【知识点】
新定义运算，整式的乘法，多项式的项数
【点评】
本题以新定义为背景考查整式乘法的应用，解题核心是准确理解新定义的含义，正确完成多项式展开和同类项合并，再根据项数的约束条件求解，需要注意对参数的不同取值对应项数变化的验证。
【难度系数】
0.6

2.定义:对于一组关于$x$的多项式$x+a,x+b,x+c,x+d$($a,b,c,d$是有理数),当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数$p$(不含字母$x$)时,称这样的四个多项式是一组黄金多项式,有理数$p$的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子.例如,对于多项式$x+1,x+2,x+3,x+4$,因为$(x+1)(x+4)-(x+2)(x+3)=(x^2+5x+4)-(x^2+5x+6)=-2$,所以多项式$x+1,x+2,x+3,x+4$是一组黄金多项式,其黄金因子为$|-2|=2$.
(1)小贤发现多项式$x+2,x+4,x+7,x+9$是一组黄金多项式,列式为$(x+2)(x+9)-(x+4)(x+7)$,请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子;
(2)若多项式$x+2,x-3,x+6,x+n$($n$是有理数)是一组黄金多项式,求$n$的值;
(3)若多项式$x+m$($m$为有理数),$x-2,x+1,x+2$是一组黄金多项式,且黄金因子为4,请直接写出$m$的值.

2.(1)这组黄金多项式的黄金因子是10
(2)n 的值为-7 或 11 或 1
(3)m 的值为-3

【分析】
本题是结合整式乘法的新定义题型，解题核心是先明确“黄金多项式”“黄金因子”的定义：四个关于x的一次多项式，两两分组相乘后，两组乘积的差不含x项（即x²、x的系数均为0），差的绝对值就是黄金因子。
(1) 直接按照给定的分组算式，利用多项式乘多项式法则展开、合并同类项，求出差后取绝对值即可；
(2) 四个多项式没有指定分组方式，需列出所有可能的两两分组情况，对每组分别展开化简，令x的一次项系数为0，即可求出对应的n值；
(3) 根据黄金因子为4可知两组乘积的差的绝对值为4，先合理分组展开，令x的一次项系数为0，再结合差的绝对值为4求出m即可。
【解析】
(1) 计算给定的算式：
$\begin{aligned}(x+2)(x+9)-(x+4)(x+7)&=(x^2+11x+18)-(x^2+11x+28)\\&=x^2+11x+18-x^2-11x-28\\&=-10\end{aligned}$
黄金因子为$|-10|=10$。
(2) 四个多项式共有3种两两分组的情况，分别计算：
情况1：分组为$(x+2)(x-3)$和$(x+6)(x+n)$，令两者的差为常数：
$\begin{aligned}(x+2)(x-3)-(x+6)(x+n)&=(x^2-x-6)-(x^2+(n+6)x+6n)\\&=(-n-7)x+(-6-6n)\end{aligned}$
令x的系数为0：$-n-7=0$，解得$n=-7$，此时差为常数，符合要求；
情况2：分组为$(x+2)(x+6)$和$(x-3)(x+n)$，令两者的差为常数：
$\begin{aligned}(x+2)(x+6)-(x-3)(x+n)&=(x^2+8x+12)-(x^2+(n-3)x-3n)\\&=(11-n)x+(12+3n)\end{aligned}$
令x的系数为0：$11-n=0$，解得$n=11$，此时差为常数，符合要求；
情况3：分组为$(x+2)(x+n)$和$(x-3)(x+6)$，令两者的差为常数：
$\begin{aligned}(x+2)(x+n)-(x-3)(x+6)&=(x^2+(n+2)x+2n)-(x^2+3x-18)\\&=(n-1)x+(2n+18)\end{aligned}$
令x的系数为0：$n-1=0$，解得$n=1$，此时差为常数，符合要求；
综上，n的值为-7或11或1。
(3) 分组为$(x+m)(x+2)$和$(x-2)(x+1)$，计算两者的差：
$\begin{aligned}(x+m)(x+2)-(x-2)(x+1)&=(x^2+(m+2)x+2m)-(x^2-x-2)\\&=(m+3)x+(2m+2)\end{aligned}$
首先令x的系数为0：$m+3=0$，解得$m=-3$，此时差为$2×(-3)+2=-4$，绝对值为4，符合黄金因子为4的要求，故$m=-3$。
【答案】
(1) 10；(2) $n=-7$或$11$或$1$；(3) $m=-3$
【知识点】
多项式乘多项式，新定义运算，整式化简
【点评】
本题以新定义为载体考查整式的运算，解题的关键是准确理解新定义的核心要求：两组乘积的差不含x项，即x的二次项、一次项系数均为0，解题时要注意考虑所有可能的分组情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6