三、解答题
11. 在平面直角坐标系中，已知点$ M(m - 2, 2m - 7) $，点$ N(n, 3) $。
(1)若点$ M $在$ x $轴上，求$ m $的值；
(2)若点$ M $到$ x $轴，$ y $轴距离相等，求$ m $的值；
(3)若$ MN // y $轴，点$ M $在点$ N $的上方且$ MN = 2 $，求$ n $的值。

11.解:(1)$\because$点$ M(m-2,2m-7) $在$ x $轴上，
$\therefore 2m-7=0$,
解得:$m=\dfrac{7}{2}$;
(2)$\because$点$ M(m-2,2m-7) $到$ x $轴,$y $轴距离相等，
$\therefore |m-2|=|2m-7|$,
即$ m-2=2m-7 $或$ m-2=7-2m $,
解得:$m=5$或$ m=3 $;
(3)$\because MN// y$,且$ MN=2 $,
$\therefore 2m-7-3=2$,$n=m-2$,
解得:$m=6$,$n=6-2=4$.

【分析】
(1) 解题思路：x轴上点的纵坐标恒为0，因此点M在x轴上时，它的纵坐标$2m-7=0$，解这个一元一次方程即可求出m的值。
(2) 解题思路：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，两者相等即可列出绝对值方程$|m-2|=|2m-7|$，去绝对值时需分两种情况讨论，分别解方程就能得到所有符合要求的m值。
(3) 解题思路：平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，因此M、N两点横坐标相等，即$n=m-2$；点M在N上方且$MN=2$，说明M的纵坐标比N的纵坐标大2，据此列方程先求出m，再代入即可算出n的值。
【解析】
解：
(1) $\because$点$ M(m-2,2m-7) $在$ x $轴上，
$\therefore 2m-7=0$,
解得:$m=\dfrac{7}{2}$;
(2) $\because$点$ M(m-2,2m-7) $到$ x $轴、$y $轴距离相等，
$\therefore |m-2|=|2m-7|$,
即$ m-2=2m-7 $或$ m-2=7-2m $,
解得:$m=5$或$ m=3 $;
(3) $\because MN// y$轴，点$ M $在点$ N $的上方且$ MN=2 $,
$\therefore$两点横坐标相等，即$n=m-2$，纵坐标差为2，即$2m-7-3=2$,
解得:$m=6$，代入得$n=6-2=4$.
【答案】
(1)$m=\dfrac{7}{2}$；(2)$m=5$或$m=3$；(3)$n=4$
【知识点】
1. 坐标轴上点的坐标特征
2. 点到坐标轴的距离
3. 平行于坐标轴的点的坐标规律
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，核心是考查不同位置点的坐标性质，解题时要注意第二问绝对值方程需分类讨论，避免漏解；第三问要明确平行于y轴的点横坐标相等，上下位置关系对应纵坐标的大小关系，避免计算时符号出错。
【难度系数】
0.7

12.新年将至，小开计划购进部分年货进行销售，若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元.
(1)求每副春联、每对窗花的进价各是多少元；
(2)小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元，春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，则最多购进多少副春联？

12.解:(1)设每副春联的进价$ x $元,每对窗花的进价$ y $元.
则$\begin{cases}40x+30y=410, \\60x+80y=720,\end{cases}$
解得:$\begin{cases}x=8, \\y=3.\end{cases}$
答:每副春联的进价8元,每对窗花的进价3元；
(2)设购进$ a $副春联，
$\therefore \begin{cases}8a+3(300-a)≤ 1\ 300, \\15a+6(300-a)≥ 2\ 250.\end{cases}$
解得:$50≤ a≤ 80$,
答:最多购进80副春联.

【分析】
（1）第一问属于二元一次方程组的实际应用，解题时先根据两种进货方案的总费用找到两个等量关系，分别设每副春联、每对窗花的进价为未知数，将等量关系转化为二元一次方程组，求解即可得到两种商品的进价。
（2）第二问属于一元一次不等式组的实际应用，首先设购进春联的数量为未知数，可表示出购进窗花的数量，再根据“总进价不超过1300元”和“总销售额不低于2250元”两个不等关系列出不等式组，求解得到未知数的取值范围，取最大值即为最多购进春联的数量。
【解析】
(1)设每副春联的进价为$x$元，每对窗花的进价为$y$元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}40x+30y=410 \\60x+80y=720\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}4x+3y=41 ①\\3x+4y=36 ②\end{cases}$
①×3得：$12x+9y=123$ ③
②×4得：$12x+16y=144$ ④
④-③得：$7y=21$，解得$y=3$
将$y=3$代入①得：$4x+9=41$，解得$x=8$
即方程组的解为$\begin{cases}x=8 \\y=3\end{cases}$
(2)设购进$a$副春联，则购进窗花的数量为$(300-a)$对。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}8a+3(300-a)≤ 1300 \\15a+6(300-a)≥ 2250\end{cases}$
解第一个不等式：
$8a+900-3a≤ 1300$
$5a≤ 400$
$a≤ 80$
解第二个不等式：
$15a+1800-6a≥ 2250$
$9a≥ 450$
$a≥ 50$
因此不等式组的解集为$50≤ a≤ 80$，$a$的最大正整数值为80。
【答案】
(1)每副春联的进价是8元，每对窗花的进价是3元；
(2)最多购进80副春联。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，正确列出方程组和不等式组求解，作答时要注意结合实际问题的意义确定最终结果。
【难度系数】
0.7

13. 如图1，直线AB、CD与直线GH交于点M、N，∠GMB=∠CNH。

(1)求证:AB//CD；
(2)如图2，点E在直线AB、CD之间，在直线HG右侧，连接ME、NE，作EF//AB，∠MEF+∠END=90°，求证:ME⊥NE；
(3)如图3，在(2)的条件下，MK平分∠AME，NK平分∠END，过点K作KP⊥NK，求∠MKP的大小。

13.（1）证 明: $\because ∠ CNH = ∠ MND, ∠ GMB=∠ CNH$,
$\therefore ∠ GMB=∠ MND$,
$\therefore AB// CD$;
(2)证明: $\because EF// AB,AB// CD$,
$\therefore EF// AB// CD$,
$\therefore ∠ END=∠ NEF$,
又$\because ∠ MEF+∠ END=90°$,
$\therefore ∠ MEF+∠ NEF=90°$,
$\therefore ∠ MEN=90°$,
$\therefore ME⊥ NE$;
(3)解:由条件可知: $∠ AME=2∠ AMK =2∠ EMK,∠ END=2∠ KNE=2∠ DNK$,
又$\because AB// EF// CD$,
$\therefore ∠ AME + ∠ MEF = 180°$,$∠ DNE=∠ FEN$,
$\therefore ∠ MEF = 180° - 2∠ EMK$,$∠ FEN =2∠ KNE$,
又由(2)可知,$∠ MEN = ∠ MEF + ∠ NEF=90°$,
$\therefore 180°-2∠ EMK+2∠ KNE=90°$,
$\therefore ∠ EMK-∠ KNE=45°$,
在$△ NKJ$中,$∠ KNJ + ∠ KJN + ∠ NKJ=180°$,
在$△ MEJ$中,$∠ EMJ+∠ EJM+90°=180°$,
又$\because ∠ KJN=∠ EJM$,
$\therefore ∠ KNE+∠ NKJ=∠ EMK+90°$,
$\therefore ∠ NKJ=135°$,
又$\because KP⊥ NK$,
$\therefore ∠ NKP=90°$,
$\therefore ∠ NKJ+∠ MKP+90°=360°$,
$\therefore ∠ MKP=135°$.

【分析】
(1)要证明AB//CD，可通过判定同位角相等实现。已知∠GMB=∠CNH，结合对顶角相等的性质，可将∠CNH转化为它的对顶角∠MND，进而得到同位角∠GMB=∠MND，即可推出两直线平行。
(2)要证ME⊥NE，只需证明∠MEN=90°。已知EF//AB，结合(1)中AB//CD的结论，可得三条直线互相平行，根据平行线内错角相等的性质，得∠END=∠NEF，代入已知∠MEF+∠END=90°，即可推出∠MEN=90°，得证垂直。
(3)首先根据角平分线的定义，将∠AME、∠END分别表示为对应半角的2倍，再结合平行线的性质，用含∠EMK、∠KNE的式子表示∠MEF和∠FEN，结合(2)中∠MEN=90°的结论，推导得到∠EMK与∠KNE的数量关系。再通过三角形内角和与对顶角相等的性质，求出∠NKJ的度数，最后结合KP⊥NK的条件，利用周角为360°计算出∠MKP的大小。
【解析】
(1)证明: $\because ∠ CNH = ∠ MND, ∠ GMB=∠ CNH$,
$\therefore ∠ GMB=∠ MND$,
$\therefore AB// CD$;
(2)证明: $\because EF// AB,AB// CD$,
$\therefore EF// AB// CD$,
$\therefore ∠ END=∠ NEF$,
又$\because ∠ MEF+∠ END=90°$,
$\therefore ∠ MEF+∠ NEF=90°$,
$\therefore ∠ MEN=90°$,
$\therefore ME⊥ NE$;
(3)解:由条件可知: $∠ AME=2∠ AMK =2∠ EMK,∠ END=2∠ KNE=2∠ DNK$,
又$\because AB// EF// CD$,
$\therefore ∠ AME + ∠ MEF = 180°$,$∠ DNE=∠ FEN$,
$\therefore ∠ MEF = 180° - 2∠ EMK$,$∠ FEN =2∠ KNE$,
又由(2)可知,$∠ MEN = ∠ MEF + ∠ NEF=90°$,
$\therefore 180°-2∠ EMK+2∠ KNE=90°$,
$\therefore ∠ EMK-∠ KNE=45°$,
在$△ NKJ$中,$∠ KNJ + ∠ KJN + ∠ NKJ=180°$,
在$△ MEJ$中,$∠ EMJ+∠ EJM+90°=180°$,
又$\because ∠ KJN=∠ EJM$,
$\therefore ∠ KNE+∠ NKJ=∠ EMK+90°$,
$\therefore ∠ NKJ=135°$,
又$\because KP⊥ NK$,
$\therefore ∠ NKP=90°$,
$\therefore ∠ NKJ+∠ MKP+90°=360°$,
$\therefore ∠ MKP=135°$.
【答案】
(1)AB//CD得证；(2)ME⊥NE得证；(3)$∠MKP=135°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题是平行线与角的综合应用题，三个小问层层递进，既考查了基础的几何判定定理，也考查了角的转化与逻辑推理能力，解题的关键是熟练运用平行线的性质找到角之间的等量关系。
【难度系数】
0.6