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1.(4分)计算$(1+y)(1-y)$的结果是 (
A.$1+y^2$
B.$-1-y^2$
C.$1-y^2$
D.$-1+y^2$
C
)A.$1+y^2$
B.$-1-y^2$
C.$1-y^2$
D.$-1+y^2$
答案
1. C
解析
【分析】
本题可通过识别式子的结构特征，选择对应的乘法公式求解。首先观察到算式是两个数的和与这两个数的差相乘的形式，完全符合平方差公式的适用条件，因此直接套用平方差公式计算即可快速得到结果。
【解析】
根据平方差公式：$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，
在算式$(1+y)(1-y)$中，$a=1$，$b=y$，将其代入公式可得：
$(1+y)(1-y)=1^2 - y^2=1-y^2$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对平方差公式结构的识别和直接应用，熟记公式特征就能快速解答。
【难度系数】
0.9
本题可通过识别式子的结构特征，选择对应的乘法公式求解。首先观察到算式是两个数的和与这两个数的差相乘的形式，完全符合平方差公式的适用条件，因此直接套用平方差公式计算即可快速得到结果。
【解析】
根据平方差公式：$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，
在算式$(1+y)(1-y)$中，$a=1$，$b=y$，将其代入公式可得：
$(1+y)(1-y)=1^2 - y^2=1-y^2$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对平方差公式结构的识别和直接应用，熟记公式特征就能快速解答。
【难度系数】
0.9
2.(4分)下列各式可以运用平方差公式计算的是（
A.$(3x-y)(3x-y)$
B.$(3x-y)(y-3x)$
C.$(3x-y)(3x+y)$
D.$(3x+y)(x-3y)$
C
）A.$(3x-y)(3x-y)$
B.$(3x-y)(y-3x)$
C.$(3x-y)(3x+y)$
D.$(3x+y)(x-3y)$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断式子能否用平方差公式计算，首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该特征即可使用平方差公式。解题时只需逐一比对每个选项的两个因式，判断是否同时存在相同项和相反项即可。
【解析】
平方差公式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，其适用特征为：两个因式均为二项式，且存在一项完全相同，另一项互为相反数。
对各选项逐一分析：
选项A：$(3x-y)(3x-y)$的两个因式两项都完全相同，符合完全平方公式的特征，不符合平方差公式，排除；
选项B：对$(3x-y)(y-3x)$变形得$-(3x-y)(3x-y)$，两项均相同，不符合平方差公式特征，排除；
选项C：$(3x-y)(3x+y)$中，相同项为$3x$，相反项为$-y$和$y$，完全符合平方差公式的特征，可选；
选项D：$(3x+y)(x-3y)$的两项既无相同项，也无互为相反数的项，不符合平方差公式特征，排除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、整式乘法判断
【点评】
本题是整式乘法公式部分的基础题型，核心考查对平方差公式结构特征的掌握，只有准确抓住“一个相同项、一个相反项”的结构特点，才能快速完成判断。
【难度系数】
0.8
要判断式子能否用平方差公式计算，首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该特征即可使用平方差公式。解题时只需逐一比对每个选项的两个因式，判断是否同时存在相同项和相反项即可。
【解析】
平方差公式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，其适用特征为：两个因式均为二项式，且存在一项完全相同，另一项互为相反数。
对各选项逐一分析：
选项A：$(3x-y)(3x-y)$的两个因式两项都完全相同，符合完全平方公式的特征，不符合平方差公式，排除；
选项B：对$(3x-y)(y-3x)$变形得$-(3x-y)(3x-y)$，两项均相同，不符合平方差公式特征，排除；
选项C：$(3x-y)(3x+y)$中，相同项为$3x$，相反项为$-y$和$y$，完全符合平方差公式的特征，可选；
选项D：$(3x+y)(x-3y)$的两项既无相同项，也无互为相反数的项，不符合平方差公式特征，排除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、整式乘法判断
【点评】
本题是整式乘法公式部分的基础题型，核心考查对平方差公式结构特征的掌握，只有准确抓住“一个相同项、一个相反项”的结构特点，才能快速完成判断。
【难度系数】
0.8
3.(4分)若$(3b+a)(\quad)=9b^2 - a^2$，则括号内应填的多项式是（
A.$-a - 3b$
B.$a + 3b$
C.$-3b + a$
D.$3b - a$
D
）A.$-a - 3b$
B.$a + 3b$
C.$-3b + a$
D.$3b - a$
答案
3. D
解析
【分析】
首先观察等式右侧$9b^2 - a^2$，属于两个平方项作差的形式，可联想到平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差，即$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。接下来先把右侧变形为平方差的标准形式：$9b^2=(3b)^2$，因此$9b^2 -a^2=(3b)^2 -a^2$，对应平方差公式的右侧，可知公式里的$x=3b$，$y=a$，对应的两个因式就是$(3b+a)$和$(3b-a)$，已知等式左侧已给出$(3b+a)$，即可推出括号内应填的多项式。
【解析】
根据平方差公式：$\boldsymbol{(x+y)(x-y)=x^2 - y^2}$，
将等式右侧的多项式变形：$9b^2 - a^2 = (3b)^2 - a^2$，
逆用平方差公式可得：$(3b)^2 - a^2 = (3b + a)(3b - a)$，
因此括号内应填的多项式为$3b - a$。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的逆用，解题关键是熟记平方差公式的结构特征，准确识别公式中对应的两个项，属于基础题型，掌握公式结构即可快速作答。
【难度系数】
0.8
首先观察等式右侧$9b^2 - a^2$，属于两个平方项作差的形式，可联想到平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差，即$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。接下来先把右侧变形为平方差的标准形式：$9b^2=(3b)^2$，因此$9b^2 -a^2=(3b)^2 -a^2$，对应平方差公式的右侧，可知公式里的$x=3b$，$y=a$，对应的两个因式就是$(3b+a)$和$(3b-a)$，已知等式左侧已给出$(3b+a)$，即可推出括号内应填的多项式。
【解析】
根据平方差公式：$\boldsymbol{(x+y)(x-y)=x^2 - y^2}$，
将等式右侧的多项式变形：$9b^2 - a^2 = (3b)^2 - a^2$，
逆用平方差公式可得：$(3b)^2 - a^2 = (3b + a)(3b - a)$，
因此括号内应填的多项式为$3b - a$。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的逆用，解题关键是熟记平方差公式的结构特征，准确识别公式中对应的两个项，属于基础题型，掌握公式结构即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4.(4分) 生产生活情境 为了美化城市，经统一规划，将一块正方形草坪的南北方向增加5 m，东西方向减少5 m，则改造后得到的长方形草坪的面积与原正方形草坪的面积相比，结果是（
A.保持不变
B.增加了10 m²
C.增加了25 m²
D.减少了25 m²
D
）A.保持不变
B.增加了10 m²
C.增加了25 m²
D.减少了25 m²
答案
4. D
解析
【分析】
要比较改造前后草坪的面积大小，可先设原正方形草坪的边长为未知数，分别表示出原正方形面积与改造后长方形的面积，再通过作差法结合平方差公式计算两者的差值，即可判断面积的变化情况。
【解析】
设原正方形草坪的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则原正方形草坪的面积为$ x^2 \, \mathrm{m}^2 $。
改造后长方形草坪的长为$ (x+5) \, \mathrm{m} $，宽为$ (x-5) \, \mathrm{m} $，根据长方形面积公式，改造后面积为：
$ (x+5)(x-5) $
根据平方差公式展开得：$ (x+5)(x-5) = x^2 - 25 \, \mathrm{m}^2 $
用原正方形面积减去改造后长方形面积：$ x^2 - (x^2 -25) = 25 \, \mathrm{m}^2 $
说明改造后长方形草坪的面积比原正方形草坪面积减少了$ 25 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式 2. 面积计算 3. 列代数式
【点评】
本题结合生活实际情境，考查平方差公式的实际应用，解题的关键是准确设出未知量，正确表示出改造前后的面积再作差计算，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
要比较改造前后草坪的面积大小，可先设原正方形草坪的边长为未知数，分别表示出原正方形面积与改造后长方形的面积，再通过作差法结合平方差公式计算两者的差值，即可判断面积的变化情况。
【解析】
设原正方形草坪的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则原正方形草坪的面积为$ x^2 \, \mathrm{m}^2 $。
改造后长方形草坪的长为$ (x+5) \, \mathrm{m} $，宽为$ (x-5) \, \mathrm{m} $，根据长方形面积公式，改造后面积为：
$ (x+5)(x-5) $
根据平方差公式展开得：$ (x+5)(x-5) = x^2 - 25 \, \mathrm{m}^2 $
用原正方形面积减去改造后长方形面积：$ x^2 - (x^2 -25) = 25 \, \mathrm{m}^2 $
说明改造后长方形草坪的面积比原正方形草坪面积减少了$ 25 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式 2. 面积计算 3. 列代数式
【点评】
本题结合生活实际情境，考查平方差公式的实际应用，解题的关键是准确设出未知量，正确表示出改造前后的面积再作差计算，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
5.(4分)(教材P112“思考”变式)下列图形的变形能验证的乘法公式是
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
.答案
5. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
解析
【分析】
解题时利用割补前后图形总面积不变的特点，分别计算变形前后两个图形的面积，再令两个面积相等，即可得到对应的乘法公式。首先确定左侧长方形的长和宽，用长乘宽得到左图面积；再分析右侧图形是大正方形挖去小正方形，计算出右图面积，最后建立面积相等的等式即可推导出公式。
【解析】
1. 计算左侧长方形的面积：
左侧长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，根据长方形面积公式可得：
$S_{\mathrm{左}}=(a+b)(a-b)$
2. 计算右侧图形的面积：
右侧图形是边长为$a$的大正方形减去边长为$b$的小正方形，根据正方形面积公式可得：
$S_{\mathrm{右}}=a^2 - b^2$
3. 图形仅进行剪拼操作，前后总面积不变，因此$S_{\mathrm{左}}=S_{\mathrm{右}}$，即：
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
因此该图形变形验证的是平方差公式。
【答案】
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 割补法求面积
【点评】
本题借助几何图形的割补变形直观验证了代数公式，体现了数形结合的数学思想，是平方差公式几何意义的典型考查题型。
【难度系数】
0.8
解题时利用割补前后图形总面积不变的特点，分别计算变形前后两个图形的面积，再令两个面积相等，即可得到对应的乘法公式。首先确定左侧长方形的长和宽，用长乘宽得到左图面积；再分析右侧图形是大正方形挖去小正方形，计算出右图面积，最后建立面积相等的等式即可推导出公式。
【解析】
1. 计算左侧长方形的面积：
左侧长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，根据长方形面积公式可得：
$S_{\mathrm{左}}=(a+b)(a-b)$
2. 计算右侧图形的面积：
右侧图形是边长为$a$的大正方形减去边长为$b$的小正方形，根据正方形面积公式可得：
$S_{\mathrm{右}}=a^2 - b^2$
3. 图形仅进行剪拼操作，前后总面积不变，因此$S_{\mathrm{左}}=S_{\mathrm{右}}$，即：
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
因此该图形变形验证的是平方差公式。
【答案】
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 割补法求面积
【点评】
本题借助几何图形的割补变形直观验证了代数公式，体现了数形结合的数学思想，是平方差公式几何意义的典型考查题型。
【难度系数】
0.8
6.(4分)若$a^2 - b^2 = 4$，则$(a + b)^2(a - b)^2$的值是
16
。答案
6. 16
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，发现是两个整式平方的乘积，可先逆用积的乘方公式，将原式变形为两个整式乘积的平方；再根据平方差公式，可知乘积部分正好对应已知条件给出的$a^2 - b^2$，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
首先逆用积的乘方公式$x^2y^2=(xy)^2$，对所求式变形：
$(a + b)^2(a - b)^2 = [(a + b)(a - b)]^2$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，代入上式可得：
原式$=(a^2 - b^2)^2$
已知$a^2 - b^2 = 4$，代入得：
原式$=4^2=16$
【答案】
16
【知识点】
1. 平方差公式
2. 积的乘方的逆用
【点评】
本题考查整式乘法公式的灵活运用，解题的核心是通过观察代数式的结构特征，合理逆用运算公式建立所求式与已知条件的关联，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的结构，发现是两个整式平方的乘积，可先逆用积的乘方公式，将原式变形为两个整式乘积的平方；再根据平方差公式，可知乘积部分正好对应已知条件给出的$a^2 - b^2$，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
首先逆用积的乘方公式$x^2y^2=(xy)^2$，对所求式变形：
$(a + b)^2(a - b)^2 = [(a + b)(a - b)]^2$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，代入上式可得：
原式$=(a^2 - b^2)^2$
已知$a^2 - b^2 = 4$，代入得：
原式$=4^2=16$
【答案】
16
【知识点】
1. 平方差公式
2. 积的乘方的逆用
【点评】
本题考查整式乘法公式的灵活运用，解题的核心是通过观察代数式的结构特征，合理逆用运算公式建立所求式与已知条件的关联，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.8
7. (20分)运用平方差公式计算：
(1) $(x^2 + 2)(x^2 - 2)$;
(2) $(-3a - \frac{1}{2}b)(3a - \frac{1}{2}b)$;
(3) $(-2b -5)(5 -2b)$;
(4) $(x -3y)(x +3y)(x^2 +9y^2)$.
(1) $(x^2 + 2)(x^2 - 2)$;
(2) $(-3a - \frac{1}{2}b)(3a - \frac{1}{2}b)$;
(3) $(-2b -5)(5 -2b)$;
(4) $(x -3y)(x +3y)(x^2 +9y^2)$.
答案
7. 解：(1)原式=$(x^2)^2-2^2=x^4-4$.(2)原式=$(\frac{1}{2}b+3a)(\frac{1}{2}b-3a)=\frac{1}{4}b^2-9a^2$.(3)原式=$(-2b)^2-5^2=4b^2-25$.(4)原式=$(x^2-9y^2)(x^2+9y^2)=x^4-81y^4$.
解析
【分析】
解这组题的核心是掌握平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，可表示为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。解题思路如下：第一步先观察每个式子的结构，确认符合平方差公式特征后，找到式子中相同的项作为公式里的$a$，互为相反数的项作为公式里的$b$；第二步将$a$、$b$代入平方差公式展开；第三步按照幂的运算规则化简结果，遇到多次符合平方差结构的式子，可逐步应用公式计算。
【解析】
(1) 式子中相同项为$x^2$，互为相反数的项为$+2$和$-2$，代入平方差公式得：
原式=$(x^2)^2-2^2=x^4-4$
(2) 调整式子顺序后可得$(-\frac{1}{2}b-3a)(-\frac{1}{2}b+3a)$，相同项为$-\frac{1}{2}b$，互为相反数的项为$-3a$和$+3a$，代入公式得：
原式=$(\frac{1}{2}b+3a)(\frac{1}{2}b-3a)=\frac{1}{4}b^2-9a^2$
(3) 式子中相同项为$-2b$，互为相反数的项为$-5$和$+5$，代入平方差公式得：
原式=$(-2b)^2-5^2=4b^2-25$
(4) 先对前两个括号应用平方差公式，得到的结果仍符合平方差结构，再次应用公式计算：
原式=$(x^2-9y^2)(x^2+9y^2)=x^4-81y^4$
【答案】
(1)$x^4-4$；(2)$\frac{1}{4}b^2-9a^2$；(3)$4b^2-25$；(4)$x^4-81y^4$
【知识点】
1.平方差公式 2.整式乘法 3.幂的运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题关键是准确区分公式中的相同项和相反项，需注意运算过程中的符号问题，多次使用公式时要按顺序逐步计算，避免跳步出现计算错误。
【难度系数】
0.75
解这组题的核心是掌握平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，可表示为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。解题思路如下：第一步先观察每个式子的结构，确认符合平方差公式特征后，找到式子中相同的项作为公式里的$a$，互为相反数的项作为公式里的$b$；第二步将$a$、$b$代入平方差公式展开；第三步按照幂的运算规则化简结果，遇到多次符合平方差结构的式子，可逐步应用公式计算。
【解析】
(1) 式子中相同项为$x^2$，互为相反数的项为$+2$和$-2$，代入平方差公式得：
原式=$(x^2)^2-2^2=x^4-4$
(2) 调整式子顺序后可得$(-\frac{1}{2}b-3a)(-\frac{1}{2}b+3a)$，相同项为$-\frac{1}{2}b$，互为相反数的项为$-3a$和$+3a$，代入公式得：
原式=$(\frac{1}{2}b+3a)(\frac{1}{2}b-3a)=\frac{1}{4}b^2-9a^2$
(3) 式子中相同项为$-2b$，互为相反数的项为$-5$和$+5$，代入平方差公式得：
原式=$(-2b)^2-5^2=4b^2-25$
(4) 先对前两个括号应用平方差公式，得到的结果仍符合平方差结构，再次应用公式计算：
原式=$(x^2-9y^2)(x^2+9y^2)=x^4-81y^4$
【答案】
(1)$x^4-4$；(2)$\frac{1}{4}b^2-9a^2$；(3)$4b^2-25$；(4)$x^4-81y^4$
【知识点】
1.平方差公式 2.整式乘法 3.幂的运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题关键是准确区分公式中的相同项和相反项，需注意运算过程中的符号问题，多次使用公式时要按顺序逐步计算，避免跳步出现计算错误。
【难度系数】
0.75
8.(10分)简便计算:
(1)$40\frac{2}{3} × 39\frac{1}{3}$;
(2)$59.8 × 60.2$.
(1)$40\frac{2}{3} × 39\frac{1}{3}$;
(2)$59.8 × 60.2$.
答案
8. 解：(1)原式=$(40+\frac{2}{3})×(40-\frac{2}{3})=40^2-(\frac{2}{3})^2=1\ 599\frac{5}{9}$.(2)原式=$(60-0.2)×(60+0.2)=60^2-0.2^2=3\ 599.96$.
解析
【分析】
这两道简便计算题可利用平方差公式简化运算。解题时先观察两个相乘因数的特征：两个因数的平均数为整数，可分别写成“同一个整数加一个较小数”和“同一个整数减同一个较小数”的形式，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，代入公式计算即可，无需直接计算复杂的乘法，大幅降低运算量。
【解析】
(1) 先将带分数拆分为整十数加减分数的形式：
原式$=(40+\frac{2}{3})×(40-\frac{2}{3})$
代入平方差公式计算：
$=40^2 - (\frac{2}{3})^2$
$=1600 - \frac{4}{9}$
$=1599\frac{5}{9}$
(2) 将小数拆分为整十数加减小数的形式：
原式$=(60 - 0.2)×(60 + 0.2)$
代入平方差公式计算：
$=60^2 - 0.2^2$
$=3600 - 0.04$
$=3599.96$
【答案】
(1)$1599\frac{5}{9}$；(2)$3599.96$
【知识点】
平方差公式；简便计算
【点评】
本题考查平方差公式在有理数运算中的应用，解题核心是准确识别两个因数的结构特征，将其转化为平方差公式的标准形式后再计算，能有效提升计算效率，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
这两道简便计算题可利用平方差公式简化运算。解题时先观察两个相乘因数的特征：两个因数的平均数为整数，可分别写成“同一个整数加一个较小数”和“同一个整数减同一个较小数”的形式，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，代入公式计算即可，无需直接计算复杂的乘法，大幅降低运算量。
【解析】
(1) 先将带分数拆分为整十数加减分数的形式：
原式$=(40+\frac{2}{3})×(40-\frac{2}{3})$
代入平方差公式计算：
$=40^2 - (\frac{2}{3})^2$
$=1600 - \frac{4}{9}$
$=1599\frac{5}{9}$
(2) 将小数拆分为整十数加减小数的形式：
原式$=(60 - 0.2)×(60 + 0.2)$
代入平方差公式计算：
$=60^2 - 0.2^2$
$=3600 - 0.04$
$=3599.96$
【答案】
(1)$1599\frac{5}{9}$；(2)$3599.96$
【知识点】
平方差公式；简便计算
【点评】
本题考查平方差公式在有理数运算中的应用，解题核心是准确识别两个因数的结构特征，将其转化为平方差公式的标准形式后再计算，能有效提升计算效率，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
