反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象特征和性质如下：
（1）反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线。
（2）当$k＞0$时，双曲线的两支分别位于象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而；
（3）当$k＜0$时，双曲线的两支分别位于象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而。

(2) 第一、第三 减小
(3) 第二、第四 增大

【分析】
解题时结合反比例函数中常数k的符号推导x、y的符号关系，即可判断图象所在象限，再通过取值比较或性质记忆判断增减性：①首先明确反比例函数中x、y均不为0，k的符号决定x和y是同号还是异号，同号对应一、三象限，异号对应二、四象限；②判断增减性时，可通过代入同一象限内的具体x值计算y值，比较变化趋势，也可直接对应性质结论填写。
【解析】
（2）当$k＞0$时，$x$与$y$的乘积为正，即$x$、$y$同号：$x＞0$时$y＞0$，对应第一象限；$x＜0$时$y＜0$，对应第三象限，因此双曲线两支分别位于第一、第三象限。
在同一象限内取$x_1＜x_2$，则$y_1=\frac{k}{x_1}$，$y_2=\frac{k}{x_2}$，作差得$y_1-y_2=\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}$，因$k＞0$、同象限内$x_1x_2＞0$、$x_2-x_1＞0$，故$y_1-y_2＞0$，即$y_1＞y_2$，因此在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
（3）当$k＜0$时，$x$与$y$的乘积为负，即$x$、$y$异号：$x＞0$时$y＜0$，对应第四象限；$x＜0$时$y＞0$，对应第二象限，因此双曲线两支分别位于第二、第四象限。
同理作差比较，$k＜0$时$y_1-y_2＜0$，即$y_1＜y_2$，因此在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(2) 第一、第三；减小
(3) 第二、第四；增大
【知识点】
反比例函数象限分布；反比例函数增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考察题，核心是掌握常数k的符号与图象位置、函数增减性的对应关系，该知识点是反比例函数相关题型的基础，需要熟练记忆、准确区分。
【难度系数】
0.9

例2 已知反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象位于第一、第三象限，则点$(k, -3)$位于（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 因为反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象位于第一、第三象限，所以$k-1＞0$。所以$k＞1$。所以点$(k, -3)$位于第四象限。
答案 D

D

【分析】
解题时可分两步思考：第一步，回忆反比例函数的图象性质：对于反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a$为常数且$a≠0$），图象位于第一、第三象限的条件是$a＞0$，据此可列出关于$k$的不等式，求出$k$的取值范围；第二步，回忆平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征：第一象限$(+,+)$、第二象限$(-,+)$、第三象限$(-,-)$、第四象限$(+,-)$，结合$k$的范围判断点的横、纵坐标的符号，即可确定点所在的象限。
【解析】
已知反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象位于第一、第三象限，根据反比例函数的性质可得比例系数大于0，即：
$k-1＞0$
解得$k＞1$
因此点$(k,-3)$的横坐标$k＞1$为正数，纵坐标$-3$为负数，符合第四象限内点的坐标（正，负）的特征，所以该点位于第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，主要考查反比例函数的基本性质和平面直角坐标系中点的坐标规律，熟练记忆相关知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.85