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13. 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)$y = x^{2}-3x - 4$；
(2)$y = 2x^{2}+4x$；
(3)$y = -3x^{2}+6x - 7$。
(1)$y = x^{2}-3x - 4$；
(2)$y = 2x^{2}+4x$；
(3)$y = -3x^{2}+6x - 7$。
答案
(1) $ y = x^{2}-3x - 4=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4} $，开口方向向上，对称轴为直线 $ x=\frac{3}{2} $，顶点坐标为 $ \left(\frac{3}{2},-\frac{25}{4}\right) $。
(2) $ y = 2x^{2}+4x = 2(x^{2}+2x)=2(x + 1)^{2}-2 $，开口方向向上，对称轴为直线 $ x = -1 $，顶点坐标为 $ (-1,-2) $。
(3) $ y = -3x^{2}+6x - 7=-3(x^{2}-2x)-7=-3(x - 1)^{2}-4 $，开口方向向下，对称轴为直线 $ x = 1 $，顶点坐标为 $ (1,-4) $。
(2) $ y = 2x^{2}+4x = 2(x^{2}+2x)=2(x + 1)^{2}-2 $，开口方向向上，对称轴为直线 $ x = -1 $，顶点坐标为 $ (-1,-2) $。
(3) $ y = -3x^{2}+6x - 7=-3(x^{2}-2x)-7=-3(x - 1)^{2}-4 $，开口方向向下，对称轴为直线 $ x = 1 $，顶点坐标为 $ (1,-4) $。
14. 根据已知条件确定二次函数的表达式。
(1)图象的顶点为$(2,3)$,且经过点$(3,6)$；
(2)对称轴为直线$x = 3$,最小值为$-2$,且过点$(0,1)$。
(1)图象的顶点为$(2,3)$,且经过点$(3,6)$；
(2)对称轴为直线$x = 3$,最小值为$-2$,且过点$(0,1)$。
答案
(1) $ \because $ 图象的顶点为 $ (2,3) $，且经过点 $ (3,6) $，$ \therefore $ 设二次函数的表达式为 $ y = a(x - 2)^{2}+3 $，再把点 $ (3,6) $ 代入，可得 $ a(3 - 2)^{2}+3 = 6 $，解得 $ a = 3 $，$ \therefore $ 二次函数的表达式为 $ y = 3(x - 2)^{2}+3 $。
(2) 设二次函数的表达式为 $ y = a(x - 3)^{2}-2 $，把点 $ (0,1) $ 代入得 $ 9a - 2 = 1 $，解得 $ a=\frac{1}{3} $，$ \therefore $ 二次函数的表达式为 $ y=\frac{1}{3}(x - 3)^{2}-2 $。
(2) 设二次函数的表达式为 $ y = a(x - 3)^{2}-2 $，把点 $ (0,1) $ 代入得 $ 9a - 2 = 1 $，解得 $ a=\frac{1}{3} $，$ \therefore $ 二次函数的表达式为 $ y=\frac{1}{3}(x - 3)^{2}-2 $。
15. 如图,抛物线$y = ax^{2}-5ax + 4a与x轴相交于点A$,$B$,且过点$C(5,4)$。
(1)求$a的值和该抛物线顶点P$的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后的抛物线的表达式。
(1)求$a的值和该抛物线顶点P$的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后的抛物线的表达式。
答案
(1) 把点 $ C(5,4) $ 代入抛物线 $ y = ax^{2}-5ax + 4a $，得 $ 25a - 25a + 4a = 4 $，解得 $ a = 1 $。$ \therefore $ 该抛物线的表达式为 $ y = x^{2}-5x + 4 $。$ \because y = x^{2}-5x + 4=\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4} $，$ \therefore $ 顶点 $ P $ 的坐标为 $ \left(\frac{5}{2},-\frac{9}{4}\right) $。
(2) 答案不唯一，如：先向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位，得到的抛物线的表达式为 $ y=\left(x-\frac{5}{2}+3\right)^{2}-\frac{9}{4}+4=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4} $，即 $ y = x^{2}+x + 2 $。
(2) 答案不唯一，如：先向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位，得到的抛物线的表达式为 $ y=\left(x-\frac{5}{2}+3\right)^{2}-\frac{9}{4}+4=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4} $，即 $ y = x^{2}+x + 2 $。
16. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y = -x^{2}+ax + b交x轴于A(1,0)$,$B(3,0)$两点,点$P$是抛物线上在第一象限内的一点,直线$BP与y轴相交于点C$。
(1)求抛物线$y = -x^{2}+ax + b$的表达式；
(2)当点$P是线段BC$的中点时,求点$P$的坐标。
(1)求抛物线$y = -x^{2}+ax + b$的表达式；
(2)当点$P是线段BC$的中点时,求点$P$的坐标。
答案
(1) 将点 $ A,B $ 的坐标代入抛物线 $ y = -x^{2}+ax + b $ 可得，$ \begin{cases}0=-1^{2}+a + b,\\0=-3^{2}+3a + b,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}a = 4,\\b = -3,\end{cases} $ $ \therefore $ 抛物线的表达式为 $ y = -x^{2}+4x - 3 $。
(2) $ \because $ 点 $ C $ 在 $ y $ 轴上，$ \therefore $ 点 $ C $ 的横坐标 $ x = 0 $。$ \because $ 点 $ P $ 是线段 $ BC $ 的中点，$ \therefore $ 点 $ P $ 的横坐标 $ x_{P}=\frac{3}{2} $。$ \because $ 点 $ P $ 在抛物线 $ y = -x^{2}+4x - 3 $ 上，$ \therefore y_{P}=\frac{3}{4} $，$ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ \left(\frac{3}{2},\frac{3}{4}\right) $。
(2) $ \because $ 点 $ C $ 在 $ y $ 轴上，$ \therefore $ 点 $ C $ 的横坐标 $ x = 0 $。$ \because $ 点 $ P $ 是线段 $ BC $ 的中点，$ \therefore $ 点 $ P $ 的横坐标 $ x_{P}=\frac{3}{2} $。$ \because $ 点 $ P $ 在抛物线 $ y = -x^{2}+4x - 3 $ 上，$ \therefore y_{P}=\frac{3}{4} $，$ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ \left(\frac{3}{2},\frac{3}{4}\right) $。
