7. 解下列不等式.
(1) $4(x - 1) - \frac{1}{2} ＜ x$ (2) $\frac{x - 5}{2} + 1 ＞ x - 3$

【解析】：
(1) 解不等式$4(x - 1)-\frac{1}{2}\lt x$：
首先去括号，根据乘法分配律$a(b - c)=ab - ac$，可得$4x-4-\frac{1}{2}\lt x$。
然后移项，把含$x$的项移到一边，常数项移到另一边，得到$4x - x\lt4+\frac{1}{2}$。
接着合并同类项，$4x - x = 3x$，$4+\frac{1}{2}=\frac{8 + 1}{2}=\frac{9}{2}$，则不等式变为$3x\lt\frac{9}{2}$。
最后系数化为$1$，两边同时除以$3$，即$x\lt\frac{9}{2}\div3=\frac{9}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{3}{2}$。
(2) 解不等式$\frac{x - 5}{2}+1\gt x - 3$：
首先去分母，两边同时乘以$2$，得到$x - 5+2\gt2(x - 3)$。
然后去括号，$x - 5 + 2\gt2x-6$。
接着移项，$x-2x\gt-6 + 5 - 2$。
再合并同类项，$x-2x=-x$，$-6 + 5 - 2=-3$，则不等式变为$-x\gt-3$。
最后系数化为$1$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得到$x\lt3$。
【答案】：(1)$x\lt\frac{3}{2}$；(2)$x\lt3$

8. 如图,一块四边形的草地$ABCD$,其中$\angle A = 60^{\circ}$,$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$,$AB = 20m$,$CD = 10m$,求这块草地的面积.

【解析】：
本题可通过延长$AD$、$BC$交于点$E$，将四边形$ABCD$的面积转化为两个直角三角形面积之差来求解。
### 步骤一：求$\triangle ABE$的相关信息
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle B = 90^{\circ}$，则$\angle E=180^{\circ}-\angle A - \angle B=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ} = 30^{\circ}$。
因为在直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，已知$AB = 20m$，所以$AE = 2AB = 40m$。
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得$BE=\sqrt{AE^{2}-AB^{2}}=\sqrt{40^{2}-20^{2}}=\sqrt{(40 + 20)(40 - 20)}=\sqrt{60\times20}=20\sqrt{3}(m)$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（其中$a$为底，$h$为高），可得${S}_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}\times AB\times BE=\frac{1}{2}\times20\times20\sqrt{3}=200\sqrt{3}(m^{2})$。
### 步骤二：求$\triangle CDE$的相关信息
在$Rt\triangle CDE$中，$\angle E = 30^{\circ}$，$\angle D = 90^{\circ}$，$CD = 10m$，所以$CE = 2CD = 20m$。
再根据勾股定理可得$DE=\sqrt{CE^{2}-CD^{2}}=\sqrt{20^{2}-10^{2}}=\sqrt{(20 + 10)(20 - 10)}=\sqrt{30\times10}=10\sqrt{3}(m)$。
同样根据三角形面积公式，可得${S}_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}\times CD\times DE=\frac{1}{2}\times10\times10\sqrt{3}=50\sqrt{3}(m^{2})$。

### 步骤三：求四边形$ABCD$的面积
四边形$ABCD$的面积$S = S_{\triangle ABE}-S_{\triangle CDE}$，将${S}_{\triangle ABE}=200\sqrt{3}m^{2}$，${S}_{\triangle CDE}=50\sqrt{3}m^{2}$代入可得：
$S = 200\sqrt{3}-50\sqrt{3}=150\sqrt{3}(m^{2})$
【答案】：这块草地的面积是$\boldsymbol{150\sqrt{3}m^{2}}$。

9. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BD是Rt\triangle ABC$的一条角平分线,点$O$,$E$,$F分别在BD$,$BC$,$AC$上,且四边形$OECF$是正方形.
(1) 求证：点$O在\angle BAC$的平分线上.
(2) 若$AC = 5$,$BC = 12$,求$OE$的长.

【解析】：
(1) 过点$O$作$OM\perp AB$于点$M$。
因为四边形$OECF$是正方形，所以$OE = EC = CF = FO$，$OE\perp BC$，$OF\perp AC$。
因为$BD$是$\angle ABC$的平分线，$OM\perp AB$，$OE\perp BC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$OM = OE$。
又因为$OE = OF$，所以$OM = OF$。
因为$OM\perp AB$，$OF\perp AC$，根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以点$O$在$\angle BAC$的平分线上。
(2) 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 5$，$BC = 12$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}} = 13$。
设$OE=x$。
因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABO}+S_{\triangle BCO}+S_{\triangle ACO}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\times5\times12 = 30$。
$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}AB\cdot OM=\frac{1}{2}\times13x$，$S_{\triangle BCO}=\frac{1}{2}BC\cdot OE=\frac{1}{2}\times12x$，$S_{\triangle ACO}=\frac{1}{2}AC\cdot OF=\frac{1}{2}\times5x$。
则$\frac{1}{2}\times13x+\frac{1}{2}\times12x+\frac{1}{2}\times5x = 30$。
$\frac{13x + 12x+5x}{2}=30$，$\frac{30x}{2}=30$，$15x = 30$，解得$x = 2$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析，证得点$O$在$\angle BAC$的平分线上。
(2) $OE$的长为$2$。

10. 如果不等式组$\begin{cases}3x - a \geq 0, \\ 2x - b ＜ 0\end{cases}的整数解仅为1$,$2$,$3$,那么适合这个不等式组的整数$a$,$b组成的有序数对(a,b)$有______个.

$6$

11. 若关于$x$,$y的二元一次方程组\begin{cases}x - y = 2m + 1, \\ x + 3y = 3\end{cases}的解满足x + y ＞ 0$,则$m$的取值范围是______.

$m\gt - 2$

12. 把一些书分给几个学生,如果每人分$3$本,那么余$8$本；如果前面的每个学生分$5$本,那么最后一人分得的书不足$3$本. 这些书有多少本？学生有多少人？

【解析】：
设学生有$x$人，则书有$(3x + 8)$本。
前面$(x - 1)$个学生每人分$5$本，那么这$(x - 1)$个学生共分了$5(x - 1)$本，最后一人分得的书为$(3x + 8)-5(x - 1)$本。
因为最后一人分得的书不足$3$本，所以可列不等式组：
$\begin{cases}(3x + 8)-5(x - 1)\gt0\\(3x + 8)-5(x - 1)\lt3\end{cases}$
解第一个不等式$(3x + 8)-5(x - 1)\gt0$：
$3x + 8 - 5x + 5\gt0$
$-2x+13\gt0$
$-2x\gt - 13$
$x\lt6.5$
解第二个不等式$(3x + 8)-5(x - 1)\lt3$：
$3x + 8 - 5x + 5\lt3$
$3x - 5x\lt3 - 8 - 5$
$-2x\lt - 10$
$x\gt5$
所以不等式组的解集为$5\lt x\lt6.5$。
因为$x$为学生人数，只能为正整数，所以$x = 6$。
书的数量为$3x + 8 = 3\times6 + 8 = 26$（本）。
【答案】：这些书有$26$本，学生有$6$人。