1. 二次函数 $ y = x^{2} + 2x - 3 $ 的开口方向、顶点坐标分别是( )

A.开口向上,顶点坐标为 $ (-1, -4) $
B.开口向下,顶点坐标为 $ (1, 4) $
C.开口向上,顶点坐标为 $ (1, 4) $
D.开口向下,顶点坐标为 $ (-1, -4) $

A

对于二次函数$y = x^{2} + 2x - 3$，其中$a = 1$，$b = 2$，$c=-3$。
因为$a=1＞0$，所以抛物线开口向上。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$。
将$x = -1$代入函数得：$y=(-1)^{2}+2×(-1)-3=1 - 2 - 3=-4$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
答案：A

2. 关于二次函数 $ y = 2x^{2} + 4x - 1 $,下列说法正确的是( )

A.图象与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0, 1) $
B.图象的对称轴在 $ y $ 轴的右侧
C.当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而减小
D.$ y $ 的最小值为 $ -3 $

D

A. 当$x=0$时，$y=2×0^{2}+4×0 - 1=-1$，交点坐标为$(0,-1)$，A错误；
B. 对称轴为$x=-\frac{4}{2×2}=-1$，在$y$轴左侧，B错误；
C. 抛物线开口向上，对称轴为$x=-1$，当$x＜-1$时，$y$随$x$增大而减小；当$-1＜x＜0$时，$y$随$x$增大而增大，C错误；
D. $y=2(x^{2}+2x)-1=2(x+1)^{2}-3$，最小值为$-3$，D正确。
答案：D

3. 抛物线的函数解析式为 $ y = 3(x - 2)^{2} + 1 $,若将 $ x $ 轴向上平移 2 个单位长度,将 $ y $ 轴向左平移 3 个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为( )

A.$ y = 3(x + 1)^{2} + 3 $
B.$ y = 3(x - 5)^{2} + 3 $
C.$ y = 3(x - 5)^{2} - 1 $
D.$ y = 3(x + 1)^{2} - 1 $

C

设原坐标系中点$(x,y)$在新坐标系中对应点为$(x',y')$。
$x$轴向上平移2个单位，$y$轴向左平移3个单位，可得：
$x = x' + 3$，$y = y' - 2$。
原抛物线解析式$y = 3(x - 2)^2 + 1$，代入得：
$y' - 2 = 3((x' + 3) - 2)^2 + 1$
化简：
$y' - 2 = 3(x' + 1)^2 + 1$
$y' = 3(x' + 1)^2 + 3$
新坐标系中函数解析式为$y = 3(x + 1)^2 + 3$
A

4. 把二次函数 $ y = x^{2} - 2x - 1 $ 配方成 $ y = a(x + m)^{2} + n $ 的形式是( )

A.$ y = (x - 1)^{2} $
B.$ y = (x - 1)^{2} - 2 $
C.$ y = (x + 1)^{2} + 1 $
D.$ y = (x + 1)^{2} - 2 $

B

$y=x^{2}-2x-1$
$=x^{2}-2x+1-1-1$
$=(x-1)^{2}-2$
结论：B

5. 如图,抛物线与 $ x $ 轴的一个交点为 $ A(1, 0) $,对称轴是直线 $ x = -1 $,则该抛物线与 $ x $ 轴的另一交点坐标是( )

A.$ (-3, 0) $
B.$ (-2, 0) $
C.$ (0, -3) $
D.$ (0, -2) $

A

解：设抛物线与$x$轴的另一交点坐标为$(x,0)$。
因为抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，对称轴是直线$x=-1$，其中一个交点为$A(1,0)$，所以$\frac{1+x}{2}=-1$。
解得$x=-3$。
故该抛物线与$x$轴的另一交点坐标是$(-3,0)$。
答案：A

6. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象是抛物线,自变量 $ x $ 与函数 $ y $ 的部分对应值如下表：
| $ x $ | …$$ | $ -3 $ | $ -2 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | …$$ |
| $ y $ | …$$ | $ 4 $ | $ 0 $ | $ -2 $ | $ -2 $ | $ 0 $ | $ 4 $ | …$$ |

下列说法错误的是( )

A.抛物线的开口向上
B.抛物线的对称轴是直线 $ x = -\frac{1}{2} $
C.抛物线与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0, -2) $
D.二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的最小值为 $ -2 $

D

解：设二次函数为$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$。
由表知，当$x=-2$时，$y=0$；$x=1$时，$y=0$；$x=0$时，$y=-2$。
代入得：$\begin{cases}4a - 2b + c = 0 \\a + b + c = 0 \\c = -2\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=1 \\b=1 \\c=-2\end{cases}$，函数为$y=x^2 + x - 2$。
A. $a=1＞0$，开口向上，正确。
B. 对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$，正确。
C. 与$y$轴交点$(0,-2)$，正确。
D. 最小值$y=\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{4×1×(-2)-1^2}{4×1}=-\frac{9}{4}\neq -2$，错误。
D

7. 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 如图所示,则使函数值 $ y ＜ 0 $ 的 $ x $ 的取值范围是( )

A.$ x ＜ -1 $
B.$ x ＞ 3 $
C.$ -1 ＜ x ＜ 3 $
D.$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $

C

解：由图可知，抛物线与$x$轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$，且抛物线开口向上。
当$y ＜ 0$时，$x$的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 3$。
C

8. 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 如下页图所示,若 $ M = 4a + 2b + c $,$ N = a - b + c $,$ P = 4a + 2b $,则( )

A.$ M ＞ 0 $,$ N ＞ 0 $,$ P ＞ 0 $
B.$ M ＞ 0 $,$ N ＜ 0 $,$ P ＞ 0 $
C.$ M ＜ 0 $,$ N ＞ 0 $,$ P ＞ 0 $
D.$ M ＜ 0 $,$ N ＞ 0 $,$ P ＜ 0 $

D

解：由抛物线图像可知：
当$x=2$时，$y=4a + 2b + c ＜ 0$，即$M ＜ 0$；
当$x=-1$时，$y=a - b + c ＞ 0$，即$N ＞ 0$；
抛物线对称轴为$x=1$，即$-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$，则$P=4a + 2b=4a + 2×(-2a)=0$，但结合图像开口向上$a＞0$，且抛物线与$x$轴交点在$x=2$右侧，当$x=2$时$y＜0$，可知$4a + 2b + c ＜ 0$，又$c＜0$，故$4a + 2b ＞ 0$不成立，实际$P=4a + 2b=0$不符合，重新分析：对称轴$x=1$，$b=-2a$，$P=4a + 2b=0$，但图像显示当$x=2$时$y=4a + 2b + c = c ＜ 0$，所以$P=0$，但选项中无$P=0$，结合图像开口向上$a＞0$，对称轴$x=1$，当$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，$x=2$在对称轴右侧且$y＜0$，故$4a + 2b + c ＜ 0$，$c＜0$，则$4a + 2b ＞ 0$错误，应为$P=4a + 2b ＜ 0$（因$c＜0$且$4a + 2b + c ＜ 0$，所以$4a + 2b ＜ -c ＜ 0$）。
综上，$M ＜ 0$，$N ＞ 0$，$P ＜ 0$。
答案：D

9. 已知抛物线 $ y = x^{2} + ax + b $ 与 $ x $ 轴两个交点间的距离为 2,将此抛物线向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,得到一条新抛物线,则新抛物线与 $ x $ 轴两个交点间的距离是( )

A.4
B.5
C.8
D.$ 4\sqrt{3} $

A

设抛物线 $ y = x^2 + ax + b $ 与 $ x $ 轴交点的横坐标为 $ x_1 $、$ x_2 $，则 $ x_1 + x_2 = -a $，$ x_1x_2 = b $。
两交点间距离 $ |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{a^2 - 4b} = 2 $，即 $ a^2 - 4b = 4 $。
原抛物线向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位后，新抛物线解析式为 $ y = (x - 2)^2 + a(x - 2) + b - 3 $，化简得 $ y = x^2 + (a - 4)x + (4 - 2a + b - 3) = x^2 + (a - 4)x + (b - 2a + 1) $。
设新抛物线与 $ x $ 轴交点横坐标为 $ x_3 $、$ x_4 $，则 $ x_3 + x_4 = 4 - a $，$ x_3x_4 = b - 2a + 1 $。
新抛物线两交点距离 $ |x_3 - x_4| = \sqrt{(x_3 + x_4)^2 - 4x_3x_4} = \sqrt{(4 - a)^2 - 4(b - 2a + 1)} = \sqrt{16 - 8a + a^2 - 4b + 8a - 4} = \sqrt{a^2 - 4b + 12} $。
因为 $ a^2 - 4b = 4 $，所以 $ |x_3 - x_4| = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 $。
A