2. 已知函数$ y=\dfrac{k}{x} $的图象经过点$(2,3)$,则下列说法正确的是()

A.$ y $随$ x $的增大而增大
B.当$ x＜0 $时,必有$ y＜0 $
C.函数的图象只在第一象限
D.点$(-2,-3)$不在此函数的图象上

B

已知函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象经过点 $(2,3)$，代入可得 $3=\dfrac{k}{2}$，解得 $k=6$，所以函数为 $y=\dfrac{6}{x}$。
A. $k=6＞0$，在每一象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，不是单纯增大，错误；
B. 当 $x＜0$ 时，$\dfrac{6}{x}＜0$，必有 $y＜0$，正确；
C. $k=6＞0$，函数图象在第一、三象限，错误；
D. 当 $x=-2$ 时，$y=\dfrac{6}{-2}=-3$，点 $(-2,-3)$ 在此函数图象上，错误。

3. 如图,$ A $,$ B $是函数$ y=\dfrac{k}{x} $图象上的两点,点$ C $,$ D $,$ E $,$ F $分别在坐标轴上,且与点$ A $,$ B $,$ O $构成正方形和矩形.若正方形$ OCAD $的面积为$ 6 $,则矩形$ OEBF $的面积是()

A.$ 3 $
B.$ 6 $
C.$ 9 $
D.$ 12 $

B

点 $A$ 在函数 $y = \dfrac{k}{x}$ 图象上，且正方形 $OCAD$ 的面积为 6。设点 $A$ 的坐标为 $(x, y)$，则 $x · y = k$。正方形 $OCAD$ 的面积为 6，即 $x · y = 6$，所以 $k = 6$。
点 $B$ 也在函数 $y = \dfrac{k}{x}$ 图象上，设点 $B$ 的坐标为 $(x_1, y_1)$，则 $x_1 · y_1 = k = 6$。
矩形 $OEBF$ 的面积为 $x_1 · y_1 = 6$。

4. 如图,两个反比例函数$ y=\dfrac{7}{x} $和$ y=\dfrac{3}{x} $在第一象限内的图象依次是$ C_{1} $和$ C_{2} $.设点$ P $在$ C_{1} $上,$ PC⊥ x $轴于点$ C $,交$ C_{2} $于点$ A $,$ PD⊥ y $轴于点$ D $,交$ C_{2} $于点$ B $,则四边形$ PAOB $的面积为.

4

设点$ P(a,b) $，因$ P $在$ C_1:y=\frac{7}{x} $上，故$ ab=7 $，矩形$ OCPD $面积为$ ab=7 $。
点$ A $在$ C_2:y=\frac{3}{x} $且横坐标为$ a $，则$ A(a,\frac{3}{a}) $，$ S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}× a×\frac{3}{a}=\frac{3}{2} $。
点$ B $在$ C_2:y=\frac{3}{x} $且纵坐标为$ b $，则$ B(\frac{3}{b},b) $，$ S_{\triangle OBD}=\frac{1}{2}× b×\frac{3}{b}=\frac{3}{2} $。
四边形$ PAOB $面积$ =S_{矩形OCPD}-S_{\triangle OAC}-S_{\triangle OBD}=7-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=4 $。

5. 已知点$ A(a,y_{1}) $,$ B(a + 1,y_{2}) $在反比例函数$ y=\dfrac{m^{2}+1}{x} $($ m $是常数)的图象上,且$ y_{1}＜y_{2} $,则$ a $的取值范围是.

$-1 ＜ a ＜ 0$

∵反比例函数$y=\dfrac{m^{2}+1}{x}$中，$m^2+1＞0$，∴函数图象在第一、三象限，且在各象限内$y$随$x$增大而减小。
点$A(a,y_1)$，$B(a+1,y_2)$在图象上，$\therefore y_1=\dfrac{m^2+1}{a}$，$y_2=\dfrac{m^2+1}{a+1}$。
$\because y_1＜y_2$，且$m^2+1＞0$，$\therefore \dfrac{1}{a}＜\dfrac{1}{a+1}$。
化简得$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+1}＜0$，即$\dfrac{1}{a(a+1)}＜0$，则$a(a+1)＜0$。
解得$-1＜a＜0$。

6. 如图,直线$ y=2x - 4 $交$ y $轴于点$ A $,交$ x $轴于点$ B $,交双曲线$ y=\dfrac{k}{x} $于点$ D $,$ DC⊥ x $轴于点$ C $,且$ S_{\triangle BOA}=4S_{\triangle BCD} $.则$ D $点的坐标为.

$(3,2)$

1. 求点A、B坐标：
直线$y=2x-4$，令$x=0$，得$y=-4$，则$A(0,-4)$；令$y=0$，得$x=2$，则$B(2,0)$。
2. 计算$S_{\triangle BOA}$：
$OA=4$，$OB=2$，$S_{\triangle BOA}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×4×2=4$。
3. 由$S_{\triangle BOA}=4S_{\triangle BCD}$，得$S_{\triangle BCD}=1$。
4. 设$D(m,n)$，则$C(m,0)$（$DC⊥ x$轴），$BC=|m-2|$，$DC=|n|$。
$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}× BC× DC=1$，即$\frac{1}{2}|m-2|·|n|=1$。
5. 因$D$在直线$y=2x-4$上，故$n=2m-4$。又$D$在第一象限（图知），$m＞2$，$n＞0$，则$BC=m-2$，$DC=n$，得$(m-2)n=2$。
6. 代入$n=2m-4=2(m-2)$，得$(m-2)·2(m-2)=2$，即$2(m-2)^2=2$，$(m-2)^2=1$，$m-2=1$（$m＞2$，舍负），$m=3$。
7. $n=2×3-4=2$，故$D(3,2)$。

7. 已知反比例函数$ y=\dfrac{k}{x} $的图象分别位于第二、四象限,化简:$ \dfrac{k^{2}}{k - 4}-\dfrac{16}{k - 4}+\sqrt{(k + 1)^{2}-4k} $.

5

因为反比例函数$y = \dfrac{k}{x}$的图象位于第二、四象限，所以$k ＜ 0$。
化简原式：
1. 处理分式部分：$\dfrac{k^2}{k - 4} - \dfrac{16}{k - 4} = \dfrac{k^2 - 16}{k - 4} = \dfrac{(k - 4)(k + 4)}{k - 4} = k + 4$（$k \neq 4$）。
2. 处理根式部分：$\sqrt{(k + 1)^2 - 4k} = \sqrt{k^2 + 2k + 1 - 4k} = \sqrt{k^2 - 2k + 1} = \sqrt{(k - 1)^2} = |k - 1|$。
3. 因为$k ＜ 0$，所以$k - 1 ＜ 0$，则$|k - 1| = 1 - k$。
4. 合并结果：$k + 4 + 1 - k = 5$。