9.在$△ ABC$中，$D$为边$AC$上一点，$P$为边$AB$上一点，$AB=12$，$AC=8$，$AD=6$，当$AP$的长度为________时，$△ ADP$和$△ ABC$相似。

9. 4或9

10. 如图，在矩形ABCO中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝2，AB＝5，把△ABC沿着AC对折得到△AB'C，AB'交y轴于点D，则点B'的坐标为。

10. $(\dfrac{42}{29},\dfrac{105}{29})$

11.如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$上的点，$DC$交$BE$于点$F$，且$AD=\frac{1}{3}AB$，$AE=\frac{1}{2}EC$。
求证：(1)$△ DEF ∽ △ CBF$；
(2)$DF · BF = EF · CF$。

证明:(1)$\because AE=\dfrac{1}{2}EC,\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{3}。$
又$\because AD=\dfrac{1}{3}AB,$
$\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{3}。\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}。$
又$\because ∠ A=∠ A,$
$\therefore △ ADE∽ △ ABC。$
$\therefore ∠ ADE=∠ ABC。$
$\therefore DE// BC。$
$\therefore ∠ EDF=∠ FCB,∠ DEF=∠ FBC。$
$\therefore △ DEF∽ △ CBF。$
(2)$\because$由(1)知$△ DEF∽ △ CBF,$
$\therefore \dfrac{DF}{CF}=\dfrac{EF}{BF}。$
$\therefore DF· BF=EF· CF。$

12. 在$△ ABC$中，$AB=2\sqrt{5}$，$AC=4\sqrt{5}$，$BC=6$。
(1) 如图①，$M$为$AB$的中点，在线段$AC$上取点$N$，使$△ AMN$与$△ ABC$相似，求线段$MN$的长。
(2) 图②是由100个边长为1的小正方形组成的$10×10$正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点上的三角形为格点三角形。
① 请你在所给的网格中画出格点$△ A_1B_1C_1$，使得$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$全等；(画出一个即可，不需证明)
② 试直接写出在所给的网格中与$△ ABC$相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个。(不需证明)

12. (1) 当$△ AMN∽△ ACB$时，有$\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{BC}$。
∵$M$为$AB$的中点，$AB=2\sqrt{5}$，
∴$AM=\sqrt{5}$。
∵$BC=6,AC=4\sqrt{5},\therefore MN=\frac{3}{2}$。
当$△ AMN∽△ ABC$时，
有$\frac{MN}{BC}=\frac{MA}{BA}=\frac{1}{2},\therefore MN=\frac{1}{2}BC=3$。
∴线段$MN$的长为$\frac{3}{2}$或3。
(2) ① 如图①。(答案不唯一)
② 8个，如图②。(答案不唯一)