13.如图,已知点D在线段AB上,$BD=\frac{1}{3}AB$.
(1)尺规作图:延长AB至点C,使D是AC的中点;
(2)在(1)的条件下,若$DC=2$,则求BD的长;
(3)在(1)的条件下,试探究线段BC,BD之间的数量关系,并说明理由.

13. (1)如图：
(2)$\because$ D 是 AC 中点,$DC=2, \therefore AD=DC=2. \because BD=\frac{1}{3}AB, \therefore AD=AB-BD=AB-\frac{1}{3}AB=\frac{2}{3}AB=2$,
$\therefore AB=3, \therefore BD=1.$
(3)$BD=BC$,理由如下：
$\because$ D 是 AC 中点,$\therefore AD=DC. \because BD=\frac{1}{3}AB, \therefore AD=AB-BD=AB-\frac{1}{3}AB=\frac{2}{3}AB, \therefore BC=CD-BD=AD-BD=\frac{2}{3}AB-\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}AB.$
$\therefore BD=BC.$

【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
(1) 尺规作图要求D是AC中点，根据中点定义可知AD=DC，因此只需以点D为圆心，AD的长度为半径画弧，与AB的延长线的交点即为所求的点C；
(2) 求BD的长，首先利用线段中点的性质，由D是AC中点、DC=2可得AD的长度；再结合BD=$\frac{1}{3}$AB，可知AD=AB-BD=$\frac{2}{3}$AB，代入AD的数值即可求出AB的长度，进而计算得到BD的长；
(3) 探究BC和BD的数量关系，可先分别用AB表示出BD和BC的长度：BD已知是$\frac{1}{3}$AB，再结合线段中点性质得CD=AD=$\frac{2}{3}$AB，因此BC=CD-BD，代入化简后即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1) 作图步骤：以点D为圆心，AD长为半径作弧，交AB的延长线于点C，点C即为所求；
(2) 解：
∵ D是AC的中点，$DC=2$，
∴ $AD=DC=2$，
又
∵ $BD=\frac{1}{3}AB$，且$AD=AB-BD$，
∴ $AD=AB-\frac{1}{3}AB=\frac{2}{3}AB=2$，
解得$AB=3$，
∴ $BD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×3=1$；
(3) 解：$BD=BC$，理由如下：
∵ D是AC的中点，
∴ $AD=DC$，
∵ $BD=\frac{1}{3}AB$，
∴ $AD=AB-BD=AB-\frac{1}{3}AB=\frac{2}{3}AB$，
又
∵ $BC=CD-BD=AD-BD$，
代入得$BC=\frac{2}{3}AB-\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}AB$，
∴ $BD=BC$。
【答案】
(1) 作图见；
(2) $BD=1$；
(3) $BD=BC$
【知识点】
线段中点的定义，尺规作图，线段的和差运算
【点评】
本题是线段运算的基础题型，综合考查了尺规作图的操作、线段中点的性质以及线段和差的计算，解题的关键是理清各线段之间的数量关系，结合已知条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.7

14.如图,点A,B都在数轴上,点A表示的数是a,点B表示的数是b.已知a是多项式$x^6 -10x^2y^3 -bx^2y +20x^2y -y^6$中五次项的系数,且该多项式中三次项的系数和为0.动点P从点A出发,向右以每秒3个单位长度的速度匀速运动,动点Q从点B出发,向右以每秒2个单位长度的速度匀速运动,点Q比点P提前1秒出发,设点P运动的时间为t秒.
(1)填空:$a = \_\_\_\_\_\_,b = \_\_\_\_\_\_$,点P表示的数是________,点Q表示的数是________;(将点P,Q表示的数用含t的代数式表示)
(2)当点P追上点Q时,点P表示的数是多少?
(3)当$PQ =10$时,t的值是多少?

14. 解:(1)$-10,20,-10+3t,22+2t$
(2)$\because$ 点 P 追上点 Q,$\therefore -10+3t =22+2t$,解得 $t = 32$,此时点 P 表示的数为$-10+3×32=86$,$\therefore$ 点 P 表示的数是 86.
(3)$PQ$ 距离为$|22+2t -(-10+3t)|=|32-t|=10$,解得 $t= 22$ 或 $t = 42$,$\therefore t$ 的值是 22 或者 42.

【分析】
首先解决第一问：先识别多项式中的五次项，提取其系数即可得到a的值；再找到所有三次项，根据三次项系数和为0列方程求出b的值；再结合动点的起点、运动方向、速度、时间推导点P、Q表示的数：点P运动时间为t秒，向右运动的路程为3t，在起点A的数值基础上加路程即为P表示的数；点Q比P早出发1秒，总运动时间为t+1秒，向右运动的路程为2(t+1)，在起点B的数值基础上加路程即为Q表示的数。
第二问：点P追上点Q时，两点在数轴上位置重合，即表示的数相等，据此列一元一次方程求解t，再代入点P的表达式即可得到对应数值。
第三问：数轴上两点的距离为两点表示数的差的绝对值，据此列含绝对值的方程，分情况解方程即可得到t的所有取值。
【解析】
(1) 多项式$x^6 -10x^2y^3 -bx^2y +20x^2y -y^6$中，五次项为$-10x^2y^3$，因此五次项系数$a=-10$；
三次项为$-bx^2y$和$20x^2y$，根据题意三次项系数和为0，列方程：$-b+20=0$，解得$b=20$；
点P从表示数$-10$的点A出发向右运动，速度为3单位/秒，运动t秒的路程为3t，因此点P表示的数为$-10+3t$；
点Q比点P提前1秒出发，总运动时间为$(t+1)$秒，从表示数20的点B出发向右运动，速度为2单位/秒，总路程为$2(t+1)$，因此点Q表示的数为$20+2(t+1)=22+2t$。
(2) 点P追上点Q时，两点表示的数相等，列方程：
$-10+3t = 22+2t$
移项计算得$t=32$
将$t=32$代入点P的表达式：$-10+3×32=86$。
(3) 数轴上PQ的距离为两点表示数的差的绝对值，因此列方程：
$|22+2t -(-10+3t)|=10$
化简得$|32-t|=10$
分两种情况求解：
①当$32-t=10$时，解得$t=22$；
②当$32-t=-10$时，解得$t=42$。
【答案】
(1) $-10$，$20$，$-10+3t$，$22+2t$
(2) $86$
(3) $22$或$42$
【知识点】
多项式的项与系数，数轴动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是多项式基础概念和数轴动点结合的综合题，核心是掌握用含参数的代数式表示数轴上动点位置的方法，理解数轴两点距离的计算规则，解绝对值方程时注意不要漏解，是代数与几何结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7