基础知识·预习
问题1 画图并用数学符号语言描述判定直角三角形全等的方法“斜边、直角边”.
问题2 判定直角三角形全等的方法有哪些？

解：
问题1
画图：绘制两个直角三角形$Rt△ ABC$、$Rt△ A'B'C'$，其中$∠ C = ∠ C' = 90°$，斜边$AB=A'B'$，一组对应直角边$AC=A'C'$。
符号语言描述：
在$Rt△ ABC$和$Rt△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\AC = A'C'\end{cases}$
$\therefore Rt△ ABC ≌ Rt△ A'B'C' \mathrm{(HL)}$
问题2
判定直角三角形全等的方法共5种：
1. 边边边（SSS）：三边对应相等的两个直角三角形全等；
2. 边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等；
3. 角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个直角三角形全等；
4. 角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个直角三角形全等；
5. 斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

【分析】
针对问题1，首先明确“斜边、直角边（HL）”是直角三角形特有的全等判定方法，解题时先绘制两个直角三角形，标注出相等的直角、对应相等的斜边和一组直角边，再按照全等判定符号语言的书写规范，先点明研究对象是直角三角形，再列对应相等的边的条件，最后推导全等结论即可。针对问题2，要明确直角三角形是特殊的三角形，一般三角形的所有全等判定方法都适用于直角三角形，再加直角三角形特有的HL判定，汇总所有方法即可。
【解析】
问题1
1. 画图：绘制两个直角三角形$Rt△ ABC$、$Rt△ A'B'C'$，其中$∠ C = ∠ C' = 90°$，斜边$AB=A'B'$，一组对应直角边$AC=A'C'$。
2. 符号语言描述：
在$Rt△ ABC$和$Rt△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\AC = A'C'\end{cases}$
$\therefore Rt△ ABC ≌ Rt△ A'B'C' \mathrm{(HL)}$
问题2
判定直角三角形全等的方法共5种：
1. 边边边（SSS）：三边对应相等的两个直角三角形全等；
2. 边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等；
3. 角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个直角三角形全等；
4. 角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个直角三角形全等；
5. 斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
【答案】
问题1
画图：绘制两个直角三角形$Rt△ ABC$、$Rt△ A'B'C'$，其中$∠ C = ∠ C' = 90°$，斜边$AB=A'B'$，一组对应直角边$AC=A'C'$。
符号语言描述：
在$Rt△ ABC$和$Rt△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\AC = A'C'\end{cases}$
$\therefore Rt△ ABC ≌ Rt△ A'B'C' \mathrm{(HL)}$
问题2
判定直角三角形全等的方法共5种：
1. 边边边（SSS）：三边对应相等的两个直角三角形全等；
2. 边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等；
3. 角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个直角三角形全等；
4. 角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个直角三角形全等；
5. 斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
【知识点】
直角三角形全等判定、HL判定定理、全等三角形判定方法
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查对直角三角形全等判定方法的掌握程度，要注意HL仅适用于直角三角形，一般三角形的全等判定方法对直角三角形同样适用，准确掌握相关符号语言的书写规范，是后续开展几何证明的重要基础。
【难度系数】
0.8

【典型例题】如图，已知$ED ⊥ AB$，$FC ⊥ AB$，垂足分别为$D$，$C$，$AC = BD$，$AE = BF$。求证：
(1)$△ AED ≌ △ BFC$；
(2)$AE // BF$。
【证明】(1)因为$AC = BD$，
所以$AC + CD = BD + CD$，即$AD = BC$。
因为$ED ⊥ AB$，$FC ⊥ AB$，
所以$∠ ADE = ∠ BCF = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$与$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$\begin{cases} AE = BF, \\ AD = BC, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ BCF(\mathrm{HL})$。
(2)由(1)知$△ AED ≌ △ BFC$，得$∠ A = ∠ B$，
所以$AE // BF$。

规律方法 1.“HL”只适用于判定两个直角三角形全等，不适用于判定一般三角形全等，因此在使用“HL”的过程中，要突出“直角三角形”这个条件。
2.判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用。

证明：
(1) ∵ $AC = BD$，
∴ $AC + CD = BD + CD$，即 $AD = BC$。
∵ $ED ⊥ AB$，$FC ⊥ AB$，
∴ $∠ADE = ∠BCF = 90°$，
∴ $△ ADE$和$△ BCF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$与$\mathrm{Rt}△ BCF$中，
$\begin{cases} AE = BF, \\ AD = BC, \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ BCF(\mathrm{HL})$，即$△ AED ≌ △ BFC$。
(2) 由(1)知$△ AED ≌ △ BFC$，
∴ $∠A = ∠B$，
∴ $AE // BF$（内错角相等，两直线平行）。

【分析】
(1) 要证明$△ AED ≌ △ BFC$，首先由$ED⊥AB$、$FC⊥AB$可知两个三角形都是直角三角形，可考虑用HL定理判定全等。HL定理需要斜边和一条直角边对应相等：已知斜边$AE=BF$，再根据已知$AC=BD$，等式两边同时加公共线段$CD$可得$AD=BC$，满足HL的判定条件，即可证得全等。
(2) 要证明$AE// BF$，可通过内错角相等推导平行：由(1)的全等结论可得对应角$∠ A=∠ B$，二者是$AE$、$BF$被$AB$所截形成的内错角，内错角相等即可推出两直线平行。
【解析】
证明：
(1) $\because AC = BD$，
$\therefore AC + CD = BD + CD$，即 $AD = BC$。
$\because ED ⊥ AB$，$FC ⊥ AB$，
$\therefore ∠ADE = ∠BCF = 90°$，
$\therefore △ ADE$和$△ BCF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$与$\mathrm{Rt}△ BCF$中，
$\begin{cases} AE = BF, \\ AD = BC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ BCF(\mathrm{HL})$，即$△ AED ≌ △ BFC$。
(2) 由(1)知$△ AED ≌ △ BFC$，
$\therefore ∠A = ∠B$，
$\therefore AE // BF$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 平行线的判定
【点评】
本题是三角形全等与平行线判定的基础综合题，需注意HL定理仅适用于直角三角形，使用前要先明确三角形为直角三角形；解题时要熟练运用线段和差推导相等边、全等对应角相等推导相等角的方法，结合平行线判定定理完成证明。
【难度系数】
0.8

如图，已知 $AB ⊥ BD$，$CD ⊥ BD$，若用“HL”判定 $Rt△ ABD$ 和 $Rt△ CDB$ 全等，则需要添加的条件是 （）


A.$AD=CB$
B.$∠ A=∠ C$
C.$BD=DB$
D.$AB=CD$

【解析】在$\mathrm{Rt}△ABD$和$\mathrm{Rt}△CDB$中，已有公共直角边$BD$，故需要再添加斜边相等的条件，即$AD=CB$。

【分析】
解题首先要明确题干要求：用“HL”判定两个直角三角形全等，需先回忆HL判定定理的内容：HL仅适用于直角三角形的全等判定，满足“斜边对应相等+一条直角边对应相等”即可判定全等。首先梳理已知条件：由AB⊥BD，CD⊥BD可得△ABD和△CDB均为直角三角形，且二者有公共直角边BD=DB，已经满足HL的一个条件（一组直角边相等），因此还需要补充斜边对应相等的条件。△ABD的斜边是AD，△CDB的斜边是CB，因此需添加AD=CB，对应选项A。需注意：若添加AB=CD，属于两组直角边相等，用的是SAS判定，不符合题干要求的HL判定规则；添加角相等属于AAS判定，公共边是已有条件，均不符合要求。
【解析】
已知AB⊥BD，CD⊥BD，因此$∠ ABD = ∠ CDB = 90°$，$△ ABD$和$△ CDB$都是直角三角形。
两个三角形有公共边$BD=DB$，是一组相等的直角边。
根据“HL”判定规则，还需要添加斜边相等的条件，即$△ ABD$的斜边$AD$与$△ CDB$的斜边$CB$相等：$AD=CB$。
此时在$\mathrm{Rt}△ABD$和$\mathrm{Rt}△CDB$中：
$\begin{cases}AD=CB \\BD=DB\end{cases}$
因此$\mathrm{Rt}△ABD ≌ \mathrm{Rt}△CDB\mathrm{(HL)}$，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
HL判定定理，全等三角形判定，直角三角形性质
【点评】
本题考查HL判定定理的应用，解题时需要注意HL仅适用于直角三角形，且必须是斜边加直角边的组合，要区分HL与其他全等判定方法的适用条件，同时要严格按照题干指定的判定方法选择对应添加条件，避免混淆判定规则导致错选。
【难度系数】
0.7