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基础知识·预习
问题1 一辆快递货车上有$ m $个标准包裹箱，现在卸下$ a $个标准包裹箱，又装上$ b $个标准包裹箱，此时快递货车上有多少个标准包裹箱？
问题2 在足球比赛中，射门点离球门越近，射门角度一定越大吗？为什么？
问题3 圆柱体产品单层排列时，长方体包装箱的长、宽、高分别和圆柱体产品的哪些数据有关？
问题1 一辆快递货车上有$ m $个标准包裹箱，现在卸下$ a $个标准包裹箱，又装上$ b $个标准包裹箱，此时快递货车上有多少个标准包裹箱？
问题2 在足球比赛中，射门点离球门越近，射门角度一定越大吗？为什么？
问题3 圆柱体产品单层排列时，长方体包装箱的长、宽、高分别和圆柱体产品的哪些数据有关？
答案
解：
问题1：
货车上原有m个标准包裹箱，卸下a个后剩余$(m-a)$个，再装上b个后，总包裹数为$(m-a+b)$个。
答：此时快递货车上有$(m-a+b)$个标准包裹箱。
问题2：
不一定。
理由：若射门点位于球门所在的直线上，无论该点距离球门多近，对应的射门角度都为0，远小于不在该直线上、距离球门更远的射门点的射门角度，因此射门点离球门越近，射门角度不一定越大。
问题3：
长方体包装箱的高与圆柱体产品的高相等；
长方体包装箱的长等于沿包装箱长度方向排列的圆柱体的总个数乘以圆柱体的底面直径；
长方体包装箱的宽等于沿包装箱宽度方向排列的圆柱体的总个数乘以圆柱体的底面直径。
问题1：
货车上原有m个标准包裹箱，卸下a个后剩余$(m-a)$个，再装上b个后，总包裹数为$(m-a+b)$个。
答：此时快递货车上有$(m-a+b)$个标准包裹箱。
问题2：
不一定。
理由：若射门点位于球门所在的直线上，无论该点距离球门多近，对应的射门角度都为0，远小于不在该直线上、距离球门更远的射门点的射门角度，因此射门点离球门越近，射门角度不一定越大。
问题3：
长方体包装箱的高与圆柱体产品的高相等；
长方体包装箱的长等于沿包装箱长度方向排列的圆柱体的总个数乘以圆柱体的底面直径；
长方体包装箱的宽等于沿包装箱宽度方向排列的圆柱体的总个数乘以圆柱体的底面直径。
解析
【分析】
1. 问题1为数量变化的整式应用类问题，按照“原有数量-卸下的数量+新装的数量”的数量变化逻辑，直接代入字母列式即可得到结果。
2. 问题2需先明确射门角度的定义：射门点与球门两个门柱端点连线形成的夹角。判断“射门点越近角度越大”是否成立，只需找出反例即可：当射门点在球门所在直线上时，无论距离多近，射门角度均为0，小于不在该直线上更远点的射门角度，因此该结论不成立。
3. 问题3为立体图形匹配问题，单层排列圆柱体时，包装箱高度无需堆叠圆柱体，因此与圆柱体的高相等；长、宽分别对应对应方向上排列的圆柱体总占用长度，单个圆柱体底面占用的水平长度等于底面直径，因此长、宽分别为对应方向排列的圆柱个数乘底面直径。
【解析】
问题1
货车上原有$m$个标准包裹箱，卸下$a$个后剩余的数量为原有数量减去卸下的数量，即$(m-a)$个；再装上$b$个后，总数量为剩余数量加上新装上的数量，即$(m-a+b)$个。
问题2
结论：不一定。
理由：射门角度指的是射门点与球门两个门柱的连线形成的夹角。若射门点位于球门所在的直线上，无论该点距离球门多近，两条连线重合，对应的射门角度都为0，远小于不在该直线上、距离球门更远的射门点的射门角度，因此射门点离球门越近，射门角度不一定越大。
问题3
因为是圆柱体产品单层排列，因此：
1. 长方体包装箱的高与圆柱体产品的高相等；
2. 长方体包装箱的长等于沿包装箱长度方向排列的圆柱体的总个数乘以圆柱体的底面直径；
3. 长方体包装箱的宽等于沿包装箱宽度方向排列的圆柱体的总个数乘以圆柱体的底面直径。
【答案】
问题1：此时快递货车上有$\boxed{(m-a+b)}$个标准包裹箱；
问题2：不一定，若射门点位于球门所在的直线上，无论该点距离球门多近，对应的射门角度都为0，远小于不在该直线上、距离球门更远的射门点的射门角度，因此射门点离球门越近，射门角度不一定越大；
问题3：长方体包装箱的高与圆柱体产品的高相等；长方体包装箱的长等于沿包装箱长度方向排列的圆柱体的总个数乘以圆柱体的底面直径；长方体包装箱的宽等于沿包装箱宽度方向排列的圆柱体的总个数乘以圆柱体的底面直径。
【知识点】
整式的实际应用、角的概念与应用、立体图形匹配
【点评】
本题均为生活场景中的数学问题，侧重考查将实际问题转化为数学模型的能力，引导学生学会用数学思维分析解决生活中的常见问题，注重知识的实用性和迁移性。
【难度系数】
0.7
1. 问题1为数量变化的整式应用类问题，按照“原有数量-卸下的数量+新装的数量”的数量变化逻辑，直接代入字母列式即可得到结果。
2. 问题2需先明确射门角度的定义：射门点与球门两个门柱端点连线形成的夹角。判断“射门点越近角度越大”是否成立，只需找出反例即可：当射门点在球门所在直线上时，无论距离多近，射门角度均为0，小于不在该直线上更远点的射门角度，因此该结论不成立。
3. 问题3为立体图形匹配问题，单层排列圆柱体时，包装箱高度无需堆叠圆柱体，因此与圆柱体的高相等；长、宽分别对应对应方向上排列的圆柱体总占用长度，单个圆柱体底面占用的水平长度等于底面直径，因此长、宽分别为对应方向排列的圆柱个数乘底面直径。
【解析】
问题1
货车上原有$m$个标准包裹箱，卸下$a$个后剩余的数量为原有数量减去卸下的数量，即$(m-a)$个；再装上$b$个后，总数量为剩余数量加上新装上的数量，即$(m-a+b)$个。
问题2
结论：不一定。
理由：射门角度指的是射门点与球门两个门柱的连线形成的夹角。若射门点位于球门所在的直线上，无论该点距离球门多近，两条连线重合，对应的射门角度都为0，远小于不在该直线上、距离球门更远的射门点的射门角度，因此射门点离球门越近，射门角度不一定越大。
问题3
因为是圆柱体产品单层排列，因此：
1. 长方体包装箱的高与圆柱体产品的高相等；
2. 长方体包装箱的长等于沿包装箱长度方向排列的圆柱体的总个数乘以圆柱体的底面直径；
3. 长方体包装箱的宽等于沿包装箱宽度方向排列的圆柱体的总个数乘以圆柱体的底面直径。
【答案】
问题1：此时快递货车上有$\boxed{(m-a+b)}$个标准包裹箱；
问题2：不一定，若射门点位于球门所在的直线上，无论该点距离球门多近，对应的射门角度都为0，远小于不在该直线上、距离球门更远的射门点的射门角度，因此射门点离球门越近，射门角度不一定越大；
问题3：长方体包装箱的高与圆柱体产品的高相等；长方体包装箱的长等于沿包装箱长度方向排列的圆柱体的总个数乘以圆柱体的底面直径；长方体包装箱的宽等于沿包装箱宽度方向排列的圆柱体的总个数乘以圆柱体的底面直径。
【知识点】
整式的实际应用、角的概念与应用、立体图形匹配
【点评】
本题均为生活场景中的数学问题，侧重考查将实际问题转化为数学模型的能力，引导学生学会用数学思维分析解决生活中的常见问题，注重知识的实用性和迁移性。
【难度系数】
0.7
【典型例题1】一辆快递货车穿行在A城、B城之间，中间有若干个集散点.在货车从A城驶往B城的过程中，每停靠一个集散点，要卸下前面各集散点发给该集散点的标准包裹箱各1个，同时又要装上该集散点发往以后各集散点的标准包裹箱各1个.若A城、B城之间有10个集散点（包括A城、B城），快递货车最多可装14个标准包裹箱，这辆货车能完成这次快递任务吗？
【解】将8个集散点按顺序分别记为第1个集散点、第2个集散点、第3个集散点……第8个集散点.
设离开第$ x(1≤ x≤ 8) $个集散点时，快递货车上的标准包裹箱的个数为$ y $.
根据题意，得$ y = x(8 - x) $.
整理，得$ y = -(x - 4)^2 + 16 $.
∴当$ x = 4 $时，$ y $取最大值，最大值为16.
∵$ 16＞14 $，
∴这辆快递货车不能完成这次快递任务.
规律方法 解决这类问题的一般步骤：
(1)将$ n $个集散点按顺序编号为1,2,3,…,$ n $.
(2)离开第$ k(1≤ k≤ n) $个集散点时货车上的包裹数量$ a_k = k(n - k) $.
(3)如果$ n $是偶数，那么当$ k = \frac{n}{2} $时，$ a $取最大值，为$ \frac{n^2}{4} $；如果$ n $是奇数，那么当$ k = \frac{n - 1}{2} $或$ k = \frac{n + 1}{2} $时，$ a $取最大值，为$ \frac{n^2 - 1}{4} $.
(4)将货车需要装载的包裹数量最大值与该货车的装载容量进行比较，得出结果.
【解】将8个集散点按顺序分别记为第1个集散点、第2个集散点、第3个集散点……第8个集散点.
设离开第$ x(1≤ x≤ 8) $个集散点时，快递货车上的标准包裹箱的个数为$ y $.
根据题意，得$ y = x(8 - x) $.
整理，得$ y = -(x - 4)^2 + 16 $.
∴当$ x = 4 $时，$ y $取最大值，最大值为16.
∵$ 16＞14 $，
∴这辆快递货车不能完成这次快递任务.
规律方法 解决这类问题的一般步骤：
(1)将$ n $个集散点按顺序编号为1,2,3,…,$ n $.
(2)离开第$ k(1≤ k≤ n) $个集散点时货车上的包裹数量$ a_k = k(n - k) $.
(3)如果$ n $是偶数，那么当$ k = \frac{n}{2} $时，$ a $取最大值，为$ \frac{n^2}{4} $；如果$ n $是奇数，那么当$ k = \frac{n - 1}{2} $或$ k = \frac{n + 1}{2} $时，$ a $取最大值，为$ \frac{n^2 - 1}{4} $.
(4)将货车需要装载的包裹数量最大值与该货车的装载容量进行比较，得出结果.
答案
解：将10个集散点按顺序分别记为第1个集散点、第2个集散点、第3个集散点……第10个集散点。
设离开第$ x(1≤ x≤ 10) $个集散点时，快递货车上的标准包裹箱的个数为$ y $。
根据题意，得$ y = x(10 - x) $。
整理，得$ y = -(x - 5)^2 + 25 $。
∴当$ x = 5 $时，$ y $取最大值，最大值为25。
∵$ 25＞14 $，
∴这辆快递货车不能完成这次快递任务。
答：这辆货车不能完成这次快递任务。
设离开第$ x(1≤ x≤ 10) $个集散点时，快递货车上的标准包裹箱的个数为$ y $。
根据题意，得$ y = x(10 - x) $。
整理，得$ y = -(x - 5)^2 + 25 $。
∴当$ x = 5 $时，$ y $取最大值，最大值为25。
∵$ 25＞14 $，
∴这辆快递货车不能完成这次快递任务。
答：这辆货车不能完成这次快递任务。
解析
【分析】
解题时首先要明确数量关系：总共有10个集散点，设离开第x个集散点时车上包裹数为y，此时已经过的x个集散点，每个都要给剩余的(10-x)个集散点各发1个包裹，因此总包裹数可表示为y=x(10-x)；接下来利用配方法将该二次函数转化为顶点式，即可求出包裹数的最大值；最后将最大值与货车的最大装载量14比较，若最大值大于14，说明货车无法承载最大运输量，不能完成任务，反之则可以完成。
【解析】
将10个集散点按顺序分别记为第1个集散点、第2个集散点、第3个集散点……第10个集散点。
设离开第$ x(1≤ x≤ 10) $个集散点时，快递货车上的标准包裹箱的个数为$ y $。
根据题意，得$ y = x(10 - x) $。
整理，得$ y = -(x - 5)^2 + 25 $。
∵二次项系数为-1＜0，函数图象开口向下，
∴当$ x = 5 $时，$ y $取最大值，最大值为25。
∵$ 25＞14 $，
∴这辆快递货车不能完成这次快递任务。
【答案】
这辆货车不能完成这次快递任务。
【知识点】
二次函数应用、二次函数最值、配方法
【点评】
本题结合快递运输的生活场景，考查了数学建模能力和二次函数相关知识的实际运用能力，解题的核心是正确梳理包裹数与停靠集散点序号的数量关系，列出准确的函数解析式。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确数量关系：总共有10个集散点，设离开第x个集散点时车上包裹数为y，此时已经过的x个集散点，每个都要给剩余的(10-x)个集散点各发1个包裹，因此总包裹数可表示为y=x(10-x)；接下来利用配方法将该二次函数转化为顶点式，即可求出包裹数的最大值；最后将最大值与货车的最大装载量14比较，若最大值大于14，说明货车无法承载最大运输量，不能完成任务，反之则可以完成。
【解析】
将10个集散点按顺序分别记为第1个集散点、第2个集散点、第3个集散点……第10个集散点。
设离开第$ x(1≤ x≤ 10) $个集散点时，快递货车上的标准包裹箱的个数为$ y $。
根据题意，得$ y = x(10 - x) $。
整理，得$ y = -(x - 5)^2 + 25 $。
∵二次项系数为-1＜0，函数图象开口向下，
∴当$ x = 5 $时，$ y $取最大值，最大值为25。
∵$ 25＞14 $，
∴这辆快递货车不能完成这次快递任务。
【答案】
这辆货车不能完成这次快递任务。
【知识点】
二次函数应用、二次函数最值、配方法
【点评】
本题结合快递运输的生活场景，考查了数学建模能力和二次函数相关知识的实际运用能力，解题的核心是正确梳理包裹数与停靠集散点序号的数量关系，列出准确的函数解析式。
【难度系数】
0.6
