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1.完全平方式
我们把$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式。
2.运用完全平方公式分解因式
(1)语言描述:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的，等于这两个数的的平方。
(2)公式:$a^2+2ab+b^2=$；
$a^2-2ab+b^2=$。
3.公式法
把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式。运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法。
课堂探究
探究点1 完全平方式
1.完全平方式
我们把$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式。
2.运用完全平方公式分解因式
(1)语言描述:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的，等于这两个数的的平方。
(2)公式:$a^2+2ab+b^2=$；
$a^2-2ab+b^2=$。
3.公式法
把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式。运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法。
课堂探究
探究点1 完全平方式
答案
解：
2. (1) 积的2倍；和（或差）
(2) $(a+b)^2$；$(a-b)^2$
2. (1) 积的2倍；和（或差）
(2) $(a+b)^2$；$(a-b)^2$
解析
【分析】
这道题考查运用完全平方公式分解因式的基础概念，解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方式包含两个同号的平方项，以及一个是两数乘积2倍的交叉项，对应分解结果是两数的和或者差的平方，直接结合记忆的公式内容填空即可。
【解析】
(1) 根据完全平方公式的语言描述规则：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，因此第一空填“积的2倍”，第二空填“和（或差）”。
(2) 对应完全平方分解因式的公式：
式子$a^2+2ab+b^2$是两数平方和加两数积的2倍，分解结果为$(a+b)^2$；
式子$a^2-2ab+b^2$是两数平方和减两数积的2倍，分解结果为$(a-b)^2$。
【答案】
2. (1) 积的2倍；和（或差）
(2) $(a+b)^2$；$(a-b)^2$
【知识点】
完全平方公式，公式法分解因式
【点评】
本题属于基础概念识记题，重点考查对完全平方公式结构的掌握程度，熟练记忆公式的文字表述和字母形式是解决这类问题的关键，也是后续进行复杂因式分解运算的基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查运用完全平方公式分解因式的基础概念，解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方式包含两个同号的平方项，以及一个是两数乘积2倍的交叉项，对应分解结果是两数的和或者差的平方，直接结合记忆的公式内容填空即可。
【解析】
(1) 根据完全平方公式的语言描述规则：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，因此第一空填“积的2倍”，第二空填“和（或差）”。
(2) 对应完全平方分解因式的公式：
式子$a^2+2ab+b^2$是两数平方和加两数积的2倍，分解结果为$(a+b)^2$；
式子$a^2-2ab+b^2$是两数平方和减两数积的2倍，分解结果为$(a-b)^2$。
【答案】
2. (1) 积的2倍；和（或差）
(2) $(a+b)^2$；$(a-b)^2$
【知识点】
完全平方公式，公式法分解因式
【点评】
本题属于基础概念识记题，重点考查对完全平方公式结构的掌握程度，熟练记忆公式的文字表述和字母形式是解决这类问题的关键，也是后续进行复杂因式分解运算的基础。
【难度系数】
0.9
【例1】下列式子为完全平方式的是（）.
A.$x^2+xy+y^2$
B.$x^2+2x+2$
C.$x^2-2y+y^2$
D.$y^2+2y+1$
A.$x^2+xy+y^2$
B.$x^2+2x+2$
C.$x^2-2y+y^2$
D.$y^2+2y+1$
答案
D
解析
【分析】
要判断式子是否为完全平方式，首先需明确完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式，即式子包含3项，其中两项分别是两个数（或整式）的平方（符号均为正），第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负。解题时只需将每个选项对照上述特征逐一验证即可。
【解析】
完全平方式的结构为$a^2\pm2ab+b^2$，我们逐一分析选项：
选项A：式子为$x^2+xy+y^2$，平方项为$x^2$、$y^2$，对应$a=x$、$b=y$，中间项应为$\pm2xy$，但该项中间是$xy$，不符合完全平方式特征，故A错误。
选项B：式子为$x^2+2x+2$，平方项为$x^2$，最后一项2不是某个整式的平方，不符合完全平方式特征，故B错误。
选项C：式子为$x^2-2y+y^2$，平方项为$x^2$、$y^2$，对应$a=x$、$b=y$，中间项应为$\pm2xy$，但该项中间是$-2y$，不符合完全平方式特征，故C错误。
选项D：式子为$y^2+2y+1$，平方项为$y^2$、$1^2$，对应$a=y$、$b=1$，中间项$2y=2× y×1$，符合$a^2+2ab+b^2$的结构，是完全平方式，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式的判定；完全平方公式的识别
【点评】
本题考查完全平方式的识别，牢记完全平方式“首平方、尾平方，积的两倍放中央”的口诀即可快速解题，是对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
要判断式子是否为完全平方式，首先需明确完全平方式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子是完全平方式，即式子包含3项，其中两项分别是两个数（或整式）的平方（符号均为正），第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负。解题时只需将每个选项对照上述特征逐一验证即可。
【解析】
完全平方式的结构为$a^2\pm2ab+b^2$，我们逐一分析选项：
选项A：式子为$x^2+xy+y^2$，平方项为$x^2$、$y^2$，对应$a=x$、$b=y$，中间项应为$\pm2xy$，但该项中间是$xy$，不符合完全平方式特征，故A错误。
选项B：式子为$x^2+2x+2$，平方项为$x^2$，最后一项2不是某个整式的平方，不符合完全平方式特征，故B错误。
选项C：式子为$x^2-2y+y^2$，平方项为$x^2$、$y^2$，对应$a=x$、$b=y$，中间项应为$\pm2xy$，但该项中间是$-2y$，不符合完全平方式特征，故C错误。
选项D：式子为$y^2+2y+1$，平方项为$y^2$、$1^2$，对应$a=y$、$b=1$，中间项$2y=2× y×1$，符合$a^2+2ab+b^2$的结构，是完全平方式，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式的判定；完全平方公式的识别
【点评】
本题考查完全平方式的识别，牢记完全平方式“首平方、尾平方，积的两倍放中央”的口诀即可快速解题，是对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
【变式1】下列多项式，能用公式法分解因式的有.(填序号)
①$3x^2+3y^2$；②$-x^2+y^2$；③$-x^2-y^2$；④$x^2+xy+y^2$；
⑤$x^2+2xy-y^2$；⑥$-x^2+4xy-4y^2$
①$3x^2+3y^2$；②$-x^2+y^2$；③$-x^2-y^2$；④$x^2+xy+y^2$；
⑤$x^2+2xy-y^2$；⑥$-x^2+4xy-4y^2$
答案
$\boldsymbol{②⑥}$
解析
【分析】
要解这道题，首先需要回忆因式分解常用的两个公式：平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时逐个分析每个多项式的结构，先看是否有公因式，再判断提公因式后剩余的部分是否符合上述两个公式的结构特征，符合就可以用公式法分解因式。
【解析】
我们逐个分析每个多项式：
①$3x^2+3y^2=3(x^2+y^2)$，$x^2+y^2$是平方和，不符合平方差或完全平方公式的结构，不能用公式法继续分解；
②$-x^2+y^2=y^2-x^2=(y+x)(y-x)$，符合平方差公式的结构，能用公式法分解因式；
③$-x^2-y^2=-(x^2+y^2)$，括号内是平方和，不符合公式结构，不能用公式法分解；
④$x^2+xy+y^2$，完全平方公式的中间项应为$\pm2xy$，此式中间项是$xy$，不符合完全平方公式，也不符合平方差公式，不能用公式法分解；
⑤$x^2+2xy-y^2$，完全平方公式的两个平方项符号相同，此式中$x^2$和$-y^2$符号相反，不符合公式结构，不能用公式法分解；
⑥$-x^2+4xy-4y^2=-(x^2-4xy+4y^2)=-(x-2y)^2$，符合完全平方公式的结构，能用公式法分解因式。
【答案】
$\boldsymbol{②⑥}$
【知识点】
平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题重点考查因式分解中公式法的应用，解题核心是准确掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，尤其要注意公式中各项的符号、项数以及中间项的系数特点，避免因对公式结构不熟悉导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先需要回忆因式分解常用的两个公式：平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时逐个分析每个多项式的结构，先看是否有公因式，再判断提公因式后剩余的部分是否符合上述两个公式的结构特征，符合就可以用公式法分解因式。
【解析】
我们逐个分析每个多项式：
①$3x^2+3y^2=3(x^2+y^2)$，$x^2+y^2$是平方和，不符合平方差或完全平方公式的结构，不能用公式法继续分解；
②$-x^2+y^2=y^2-x^2=(y+x)(y-x)$，符合平方差公式的结构，能用公式法分解因式；
③$-x^2-y^2=-(x^2+y^2)$，括号内是平方和，不符合公式结构，不能用公式法分解；
④$x^2+xy+y^2$，完全平方公式的中间项应为$\pm2xy$，此式中间项是$xy$，不符合完全平方公式，也不符合平方差公式，不能用公式法分解；
⑤$x^2+2xy-y^2$，完全平方公式的两个平方项符号相同，此式中$x^2$和$-y^2$符号相反，不符合公式结构，不能用公式法分解；
⑥$-x^2+4xy-4y^2=-(x^2-4xy+4y^2)=-(x-2y)^2$，符合完全平方公式的结构，能用公式法分解因式。
【答案】
$\boldsymbol{②⑥}$
【知识点】
平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题重点考查因式分解中公式法的应用，解题核心是准确掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，尤其要注意公式中各项的符号、项数以及中间项的系数特点，避免因对公式结构不熟悉导致判断错误。
【难度系数】
0.7
【例2】分解因式：
(1) $a^2 -14ab + 49b^2$；
(2) $2mn - m^2 - n^2$。
(1) $a^2 -14ab + 49b^2$；
(2) $2mn - m^2 - n^2$。
答案
解：
(1) 原式$=a^2 - 2· a· 7b + (7b)^2$
$=(a-7b)^2$
(2) 原式$=-(m^2 - 2mn + n^2)$
$=-(m-n)^2$
(1) 原式$=a^2 - 2· a· 7b + (7b)^2$
$=(a-7b)^2$
(2) 原式$=-(m^2 - 2mn + n^2)$
$=-(m-n)^2$
解析
【分析】
分解因式时先观察多项式特征，优先判断是否有公因式，再看是否符合乘法公式的结构特征。用完全平方公式因式分解的多项式需满足3个条件：①是三项式；②有两项是两个数（或整式）的平方，且符号相同；③第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负。
第(1)题：多项式为三项式，首项是$a$的平方，末项$49b^2$是$7b$的平方，中间项$-14ab$恰好是$a$与$7b$乘积的2倍且符号为负，符合差的完全平方公式结构，可直接套用公式分解。
第(2)题：调整多项式顺序后为$-m^2+2mn-n^2$，平方项系数为负，先提取公因式$-1$，变形为$-(m^2-2mn+n^2)$，括号内的三项符合差的完全平方公式结构，再套用公式分解即可。
【解析】
(1) 原式$=a^2 - 2· a· 7b + (7b)^2$
$=(a-7b)^2$
(2) 原式$=-(m^2 - 2mn + n^2)$
$=-(m-n)^2$
【答案】
(1) $(a-7b)^2$；(2) $-(m-n)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解，提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，遇到首项系数为负的多项式时，可先提取负号再判断是否符合公式形式，注意因式分解结果要化简到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
分解因式时先观察多项式特征，优先判断是否有公因式，再看是否符合乘法公式的结构特征。用完全平方公式因式分解的多项式需满足3个条件：①是三项式；②有两项是两个数（或整式）的平方，且符号相同；③第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负。
第(1)题：多项式为三项式，首项是$a$的平方，末项$49b^2$是$7b$的平方，中间项$-14ab$恰好是$a$与$7b$乘积的2倍且符号为负，符合差的完全平方公式结构，可直接套用公式分解。
第(2)题：调整多项式顺序后为$-m^2+2mn-n^2$，平方项系数为负，先提取公因式$-1$，变形为$-(m^2-2mn+n^2)$，括号内的三项符合差的完全平方公式结构，再套用公式分解即可。
【解析】
(1) 原式$=a^2 - 2· a· 7b + (7b)^2$
$=(a-7b)^2$
(2) 原式$=-(m^2 - 2mn + n^2)$
$=-(m-n)^2$
【答案】
(1) $(a-7b)^2$；(2) $-(m-n)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解，提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，遇到首项系数为负的多项式时，可先提取负号再判断是否符合公式形式，注意因式分解结果要化简到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
【变式2】分解因式：
(1)$4x^2+y^2-4xy$；
(2)$4a^2-12ab+9b^2$。
(1)$4x^2+y^2-4xy$；
(2)$4a^2-12ab+9b^2$。
答案
解：
(1) 原式$=4x^2 - 4xy + y^2$
$=(2x)^2 - 2· 2x· y + y^2$
$=(2x - y)^2$
(2) 原式$=(2a)^2 - 2· 2a· 3b + (3b)^2$
$=(2a - 3b)^2$
(1) 原式$=4x^2 - 4xy + y^2$
$=(2x)^2 - 2· 2x· y + y^2$
$=(2x - y)^2$
(2) 原式$=(2a)^2 - 2· 2a· 3b + (3b)^2$
$=(2a - 3b)^2$
解析
【分析】
这两道都是三项式的因式分解题，优先考虑用完全平方公式求解。解题思路如下：①先观察多项式的结构，判断是否符合完全平方公式的特征：有两个同号的平方项，还有一个是两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负）；②将平方项改写成某个整式的平方形式，确定公式中对应的a、b；③验证中间项是否为2ab，最后代入完全平方公式完成因式分解即可。
【解析】
(1) 先调整原式各项顺序，整理为标准的完全平方式结构：
原式$=4x^2 - 4xy + y^2$
$=(2x)^2 - 2· 2x· y + y^2$
根据完全平方差公式可得：
$=(2x - y)^2$
(2) 观察原式各项的结构，将平方项改写为整式平方形式：
原式$=(2a)^2 - 2· 2a· 3b + (3b)^2$
根据完全平方差公式可得：
$=(2a - 3b)^2$
【答案】
(1) $(2x-y)^2$；(2) $(2a-3b)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 因式分解
【点评】
本题是利用完全平方公式分解因式的基础题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确识别公式中对应的a和b，即可快速完成因式分解。
【难度系数】
0.9
这两道都是三项式的因式分解题，优先考虑用完全平方公式求解。解题思路如下：①先观察多项式的结构，判断是否符合完全平方公式的特征：有两个同号的平方项，还有一个是两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负）；②将平方项改写成某个整式的平方形式，确定公式中对应的a、b；③验证中间项是否为2ab，最后代入完全平方公式完成因式分解即可。
【解析】
(1) 先调整原式各项顺序，整理为标准的完全平方式结构：
原式$=4x^2 - 4xy + y^2$
$=(2x)^2 - 2· 2x· y + y^2$
根据完全平方差公式可得：
$=(2x - y)^2$
(2) 观察原式各项的结构，将平方项改写为整式平方形式：
原式$=(2a)^2 - 2· 2a· 3b + (3b)^2$
根据完全平方差公式可得：
$=(2a - 3b)^2$
【答案】
(1) $(2x-y)^2$；(2) $(2a-3b)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 因式分解
【点评】
本题是利用完全平方公式分解因式的基础题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确识别公式中对应的a和b，即可快速完成因式分解。
【难度系数】
0.9
1. 已知$9x^2 + mxy + 16y^2$能运用完全平方公式分解因式，则m的值为（）.
A.12
B.$\pm12$
C.24
D.$\pm24$
A.12
B.$\pm12$
C.24
D.$\pm24$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆完全平方公式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子可以分解为$(a\pm b)^2$，其中两个平方项同号，中间项是两个底数乘积的2倍，符号可正可负。解题时先将题目中给出的式子的两个平方项对应写成$a^2$和$b^2$的形式，再根据中间项的表达式求出m的取值，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
首先写出完全平方公式的两种形式：
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
将题中式子的平方项变形：
$9x^2=(3x)^2$，$16y^2=(4y)^2$
因此若$9x^2 + mxy + 16y^2$是完全平方式，则对应$a=3x$，$b=4y$，中间项$mxy=\pm2·3x·4y$
计算得：$\pm2·3x·4y=\pm24xy$
因此$mxy=\pm24xy$，即$m=\pm24$
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题考查对完全平方公式结构的掌握，属于常考基础题型，解题的关键是牢记完全平方公式有“和”与“差”两种形式，避免因漏记负号情况导致错解，同时要准确对应完全平方式中两个平方项的底数，计算中间项系数时不要出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要回忆完全平方公式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子可以分解为$(a\pm b)^2$，其中两个平方项同号，中间项是两个底数乘积的2倍，符号可正可负。解题时先将题目中给出的式子的两个平方项对应写成$a^2$和$b^2$的形式，再根据中间项的表达式求出m的取值，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
首先写出完全平方公式的两种形式：
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
将题中式子的平方项变形：
$9x^2=(3x)^2$，$16y^2=(4y)^2$
因此若$9x^2 + mxy + 16y^2$是完全平方式，则对应$a=3x$，$b=4y$，中间项$mxy=\pm2·3x·4y$
计算得：$\pm2·3x·4y=\pm24xy$
因此$mxy=\pm24xy$，即$m=\pm24$
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题考查对完全平方公式结构的掌握，属于常考基础题型，解题的关键是牢记完全平方公式有“和”与“差”两种形式，避免因漏记负号情况导致错解，同时要准确对应完全平方式中两个平方项的底数，计算中间项系数时不要出错。
【难度系数】
0.7
2.若$x^2+ax+16=(x-4)^2$,则$a$的值为（）.
A.-8
B.-4
C.8
D.4
A.-8
B.-4
C.8
D.4
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方差公式的结构，等式右侧是完全平方式，我们可以先将其展开为标准的二次三项式形式；再根据两个多项式相等时，对应同类项的系数相等的原则，对比左右两边一次项的系数，即可求出a的值，计算时要注意完全平方公式展开后的符号问题。
【解析】
首先根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将等式右边的$(x-4)^2$展开：
$(x-4)^2 = x^2 - 2× x×4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$
已知$x^2+ax+16=(x-4)^2$，代入展开结果可得：
$x^2+ax+16 = x^2 - 8x + 16$
两个多项式相等，则对应同类项的系数相等，因此一次项系数满足：$a = -8$
【答案】
A
【知识点】
1.完全平方公式 2.多项式相等的条件
【点评】
这道题是对完全平方公式基础应用的考查，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，注意公式中各项的符号，避免因符号记错导致失分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆完全平方差公式的结构，等式右侧是完全平方式，我们可以先将其展开为标准的二次三项式形式；再根据两个多项式相等时，对应同类项的系数相等的原则，对比左右两边一次项的系数，即可求出a的值，计算时要注意完全平方公式展开后的符号问题。
【解析】
首先根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将等式右边的$(x-4)^2$展开：
$(x-4)^2 = x^2 - 2× x×4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$
已知$x^2+ax+16=(x-4)^2$，代入展开结果可得：
$x^2+ax+16 = x^2 - 8x + 16$
两个多项式相等，则对应同类项的系数相等，因此一次项系数满足：$a = -8$
【答案】
A
【知识点】
1.完全平方公式 2.多项式相等的条件
【点评】
这道题是对完全平方公式基础应用的考查，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，注意公式中各项的符号，避免因符号记错导致失分。
【难度系数】
0.9
3. 分解因式：$x^2 -14x +49 =$ .
答案
$\boldsymbol{(x-7)^2}$
解析
【分析】
拿到这个三项式，首先观察式子结构：式子包含两个平方项$x^2$和$49=7^2$，两个平方项均为正，中间项是$-14x$，刚好等于$-2× x×7$，完全符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构特征，因此可以直接套用完全平方公式完成因式分解。
【解析】
解：$x^2 -14x +49$
$=x^2 - 2· x·7 +7^2$
$=(x-7)^2$
【答案】
$\boldsymbol{(x-7)^2}$
【知识点】
完全平方公式、因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构特征的识别与应用，熟记“首平方、尾平方，积的2倍在中央”的公式特征即可快速求解。
【难度系数】
0.9
拿到这个三项式，首先观察式子结构：式子包含两个平方项$x^2$和$49=7^2$，两个平方项均为正，中间项是$-14x$，刚好等于$-2× x×7$，完全符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构特征，因此可以直接套用完全平方公式完成因式分解。
【解析】
解：$x^2 -14x +49$
$=x^2 - 2· x·7 +7^2$
$=(x-7)^2$
【答案】
$\boldsymbol{(x-7)^2}$
【知识点】
完全平方公式、因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构特征的识别与应用，熟记“首平方、尾平方，积的2倍在中央”的公式特征即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 分解因式:$9a^2 -6ab +b^2 = \_\_\_\_\_\_$
答案
解：
$9a^2 -6ab +b^2$
$=(3a)^2 - 2· 3a· b + b^2$
$=(3a - b)^2$
$9a^2 -6ab +b^2$
$=(3a)^2 - 2· 3a· b + b^2$
$=(3a - b)^2$
解析
【分析】
首先观察待分解的多项式，它共有三项，优先考虑用完全平方公式分解因式。第一步先识别两个平方项：$9a^2=(3a)^2$，$b^2$是b的平方；第二步验证中间项：$-6ab=-2×3a× b$，正好符合完全平方差公式“首平方、尾平方，首尾乘积的2倍在中央”的结构特征，因此可以直接套用完全平方差公式完成因式分解。
【解析】
$9a^2 -6ab +b^2$
$=(3a)^2 - 2· 3a· b + b^2$
$=(3a - b)^2$
【答案】
$(3a-b)^2$
【知识点】
完全平方公式，公式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础常规题，核心考查对完全平方公式结构的掌握，只要能准确匹配公式中的对应项、注意中间项的符号就能正确解答。
【难度系数】
0.85
首先观察待分解的多项式，它共有三项，优先考虑用完全平方公式分解因式。第一步先识别两个平方项：$9a^2=(3a)^2$，$b^2$是b的平方；第二步验证中间项：$-6ab=-2×3a× b$，正好符合完全平方差公式“首平方、尾平方，首尾乘积的2倍在中央”的结构特征，因此可以直接套用完全平方差公式完成因式分解。
【解析】
$9a^2 -6ab +b^2$
$=(3a)^2 - 2· 3a· b + b^2$
$=(3a - b)^2$
【答案】
$(3a-b)^2$
【知识点】
完全平方公式，公式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础常规题，核心考查对完全平方公式结构的掌握，只要能准确匹配公式中的对应项、注意中间项的符号就能正确解答。
【难度系数】
0.85
5. 分解因式:
(1) $m^2 - 10m + 25$;
(2) $4a^2 + 12ab + 9b^2$;
(3) $-x^2 + 6xy - 9y^2$;
(4) $(2x - y)^2 + 4(2x - y) + 4$.
(1) $m^2 - 10m + 25$;
(2) $4a^2 + 12ab + 9b^2$;
(3) $-x^2 + 6xy - 9y^2$;
(4) $(2x - y)^2 + 4(2x - y) + 4$.
答案
解：
(1) 原式$=m^2 - 2· m· 5 + 5^2$
$=(m-5)^2$
(2) 原式$=(2a)^2 + 2· 2a· 3b + (3b)^2$
$=(2a+3b)^2$
(3) 原式$=-(x^2 - 6xy + 9y^2)$
$=-(x^2 - 2· x· 3y + (3y)^2)$
$=-(x-3y)^2$
(4) 原式$=(2x-y)^2 + 2· (2x-y)· 2 + 2^2$
$=[(2x-y)+2]^2$
$=(2x - y + 2)^2$
(1) 原式$=m^2 - 2· m· 5 + 5^2$
$=(m-5)^2$
(2) 原式$=(2a)^2 + 2· 2a· 3b + (3b)^2$
$=(2a+3b)^2$
(3) 原式$=-(x^2 - 6xy + 9y^2)$
$=-(x^2 - 2· x· 3y + (3y)^2)$
$=-(x-3y)^2$
(4) 原式$=(2x-y)^2 + 2· (2x-y)· 2 + 2^2$
$=[(2x-y)+2]^2$
$=(2x - y + 2)^2$
解析
【分析】
本题考查运用完全平方公式分解因式，解题前先明确完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即式子需满足两个特征：①有两个同号的平方项；②有一个是两底数乘积2倍的交叉项。各小问解题思路如下：
(1) 直接观察式子，确定平方项为$m^2$和$5^2$，交叉项为$-2× m×5$，符合差的完全平方结构，直接套用公式即可；
(2) 先将平方项变形为$(2a)^2$和$(3b)^2$，交叉项为$+2×2a×3b$，符合和的完全平方结构，套用公式即可；
(3) 式子首项为负，先提取公因式$-1$，将括号内的式子转化为符合完全平方的结构，再套用公式；
(4) 将$(2x-y)$看作一个整体当作公式中的$a$，确定另一平方项为$2^2$，交叉项为$+2×(2x-y)×2$，套用公式后化简即可。
【解析】
(1) 原式$=m^2 - 2· m· 5 + 5^2$
$=(m-5)^2$
(2) 原式$=(2a)^2 + 2· 2a· 3b + (3b)^2$
$=(2a+3b)^2$
(3) 原式$=-(x^2 - 6xy + 9y^2)$
$=-(x^2 - 2· x· 3y + (3y)^2)$
$=-(x-3y)^2$
(4) 原式$=(2x-y)^2 + 2· (2x-y)· 2 + 2^2$
$=[(2x-y)+2]^2$
$=(2x - y + 2)^2$
【答案】
(1) $(m-5)^2$；(2) $(2a+3b)^2$；(3) $-(x-3y)^2$；(4) $(2x-y+2)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解，提公因式法，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时要注意先观察式子特征，首项为负先提负号，遇到相同多项式可作为整体处理，熟练掌握公式即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
本题考查运用完全平方公式分解因式，解题前先明确完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，即式子需满足两个特征：①有两个同号的平方项；②有一个是两底数乘积2倍的交叉项。各小问解题思路如下：
(1) 直接观察式子，确定平方项为$m^2$和$5^2$，交叉项为$-2× m×5$，符合差的完全平方结构，直接套用公式即可；
(2) 先将平方项变形为$(2a)^2$和$(3b)^2$，交叉项为$+2×2a×3b$，符合和的完全平方结构，套用公式即可；
(3) 式子首项为负，先提取公因式$-1$，将括号内的式子转化为符合完全平方的结构，再套用公式；
(4) 将$(2x-y)$看作一个整体当作公式中的$a$，确定另一平方项为$2^2$，交叉项为$+2×(2x-y)×2$，套用公式后化简即可。
【解析】
(1) 原式$=m^2 - 2· m· 5 + 5^2$
$=(m-5)^2$
(2) 原式$=(2a)^2 + 2· 2a· 3b + (3b)^2$
$=(2a+3b)^2$
(3) 原式$=-(x^2 - 6xy + 9y^2)$
$=-(x^2 - 2· x· 3y + (3y)^2)$
$=-(x-3y)^2$
(4) 原式$=(2x-y)^2 + 2· (2x-y)· 2 + 2^2$
$=[(2x-y)+2]^2$
$=(2x - y + 2)^2$
【答案】
(1) $(m-5)^2$；(2) $(2a+3b)^2$；(3) $-(x-3y)^2$；(4) $(2x-y+2)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解，提公因式法，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时要注意先观察式子特征，首项为负先提负号，遇到相同多项式可作为整体处理，熟练掌握公式即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
