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10. (★★)若$(k-2)x^{|k|-1}-3=0$是关于x的一元一次方程，则$k^2-2k+1$的值为 【 】
A.1
B.9
C.1或9
D.0
A.1
B.9
C.1或9
D.0
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的核心判定条件：一是未知数的最高次数为1，二是含未知数的项的系数不为0。我们先根据这两个条件求出k的取值，再将k代入目标代数式计算即可。
【解析】
∵$(k-2)x^{|k|-1}-3=0$是关于x的一元一次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数x的次数为1：$|k|-1=1$，解得$|k|=2$，即$k=2$或$k=-2$
2. 一次项系数不为0：$k-2≠0$，解得$k≠2$
综上可得$k=-2$
将$k=-2$代入$k^2-2k+1$计算：
$(-2)^2 - 2×(-2) +1 =4 +4 +1=9$
因此本题选B
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义，代数式求值
【点评】
本题是一元一次方程定义的典型应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不为0的隐含条件，误取k=2得到错误结果，解题时要牢记定义中的所有限制条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的核心判定条件：一是未知数的最高次数为1，二是含未知数的项的系数不为0。我们先根据这两个条件求出k的取值，再将k代入目标代数式计算即可。
【解析】
∵$(k-2)x^{|k|-1}-3=0$是关于x的一元一次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数x的次数为1：$|k|-1=1$，解得$|k|=2$，即$k=2$或$k=-2$
2. 一次项系数不为0：$k-2≠0$，解得$k≠2$
综上可得$k=-2$
将$k=-2$代入$k^2-2k+1$计算：
$(-2)^2 - 2×(-2) +1 =4 +4 +1=9$
因此本题选B
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义，代数式求值
【点评】
本题是一元一次方程定义的典型应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不为0的隐含条件，误取k=2得到错误结果，解题时要牢记定义中的所有限制条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
11. (★★★)植树节期间,甲班植树的株数比乙班的多20%,乙班植树的株数比甲班的一半多10株,若设乙班植树x株,解答下列问题:
(1)列两个不同的含x的式子表示甲班植树的株数;
(2)根据题意列出以x为未知数的方程;
(3)检验乙班、甲班植树的株数是否分别为25和35.
(1)列两个不同的含x的式子表示甲班植树的株数;
(2)根据题意列出以x为未知数的方程;
(3)检验乙班、甲班植树的株数是否分别为25和35.
答案
解：
(1) 根据甲班植树的株数比乙班多20%，可得甲班植树的株数为：$(1+20\%)x$；
根据乙班植树的株数比甲班的一半多10株，可得甲班植树的株数为：$2(x-10)$。
(2) 列方程得：$(1+20\%)x = 2(x-10)$。
(3) 把$x=25$代入方程$(1+20\%)x = 2(x-10)$：
左边$=(1+20\%)×25=30$，
右边$=2×(25-10)=30$，
左边=右边，说明乙班植树25株时，甲班植树应为30株，不等于35株。
若甲班植树35株，甲班植树株数的一半为$35÷2=17.5$，比它多10株的数为$17.5+10=27.5≠25$，不符合条件。
因此乙班、甲班植树的株数不是分别为25和35。
(1) 根据甲班植树的株数比乙班多20%，可得甲班植树的株数为：$(1+20\%)x$；
根据乙班植树的株数比甲班的一半多10株，可得甲班植树的株数为：$2(x-10)$。
(2) 列方程得：$(1+20\%)x = 2(x-10)$。
(3) 把$x=25$代入方程$(1+20\%)x = 2(x-10)$：
左边$=(1+20\%)×25=30$，
右边$=2×(25-10)=30$，
左边=右边，说明乙班植树25株时，甲班植树应为30株，不等于35株。
若甲班植树35株，甲班植树株数的一半为$35÷2=17.5$，比它多10株的数为$17.5+10=27.5≠25$，不符合条件。
因此乙班、甲班植树的株数不是分别为25和35。
解析
【分析】
解题思路如下：(1) 题目已设乙班植树x株，要表示甲班植树株数，只需从题干给出的两个不同数量关系入手即可：第一个关系是“甲班植树株数比乙班多20%”，直接用乙的数量乘对应比例就能得到甲的表达式；第二个关系是“乙班植树株数比甲班的一半多10株”，把这个关系逆向变形，就能用x表示出甲的数量。(2) 两个表达式都表示甲班植树株数，所以二者相等，即可列出方程。(3) 检验的方法是先把x=25代入方程左右两边，判断是否相等，再看对应的甲班数量是否为35，同时验证是否符合题干的两个数量关系，就能得出结论。
【解析】
(1) 第一个表达式：根据“甲班植树的株数比乙班多20%”，把乙班植树株数看作单位“1”，则甲班植树株数为乙班的(1+20%)，即$\boldsymbol{(1+20\%)x}$；
第二个表达式：根据“乙班植树的株数比甲班的一半多10株”，可得乙班株数减10等于甲班株数的一半，因此甲班株数为$\boldsymbol{2(x-10)}$。
(2) 由于两个式子都表示甲班植树的株数，因此二者相等，列方程得：
$\boldsymbol{(1+20\%)x = 2(x-10)}$
(3) 检验：①把$x=25$代入方程左右两边：
左边$=(1+20\%)×25=1.2×25=30$，
右边$=2×(25-10)=2×15=30$，
左边=右边，说明$x=25$是方程的解，此时对应甲班植树株数应为30株，不是35株。
②再验证：若甲班植树35株，它的一半是$35÷2=17.5$，比一半多10株的数是$17.5+10=27.5≠25$，不符合“乙班比甲班一半多10株”的条件。
因此乙班、甲班植树的株数不是分别为25和35。
【答案】
(1) 两个表示甲班植树株数的式子为：$(1+20\%)x$，$2(x-10)$；
(2) 所列方程为：$(1+20\%)x = 2(x-10)$；
(3) 乙班、甲班植树的株数不是分别为25和35。
【知识点】
列代数式；列一元一次方程；方程的检验
【点评】
本题重点考查根据实际问题中的数量关系列代数式与方程，以及检验方程解合理性的方法，解题的核心是准确提取题干中两个独立的等量关系，检验时要注意验证解是否符合所有题设条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：(1) 题目已设乙班植树x株，要表示甲班植树株数，只需从题干给出的两个不同数量关系入手即可：第一个关系是“甲班植树株数比乙班多20%”，直接用乙的数量乘对应比例就能得到甲的表达式；第二个关系是“乙班植树株数比甲班的一半多10株”，把这个关系逆向变形，就能用x表示出甲的数量。(2) 两个表达式都表示甲班植树株数，所以二者相等，即可列出方程。(3) 检验的方法是先把x=25代入方程左右两边，判断是否相等，再看对应的甲班数量是否为35，同时验证是否符合题干的两个数量关系，就能得出结论。
【解析】
(1) 第一个表达式：根据“甲班植树的株数比乙班多20%”，把乙班植树株数看作单位“1”，则甲班植树株数为乙班的(1+20%)，即$\boldsymbol{(1+20\%)x}$；
第二个表达式：根据“乙班植树的株数比甲班的一半多10株”，可得乙班株数减10等于甲班株数的一半，因此甲班株数为$\boldsymbol{2(x-10)}$。
(2) 由于两个式子都表示甲班植树的株数，因此二者相等，列方程得：
$\boldsymbol{(1+20\%)x = 2(x-10)}$
(3) 检验：①把$x=25$代入方程左右两边：
左边$=(1+20\%)×25=1.2×25=30$，
右边$=2×(25-10)=2×15=30$，
左边=右边，说明$x=25$是方程的解，此时对应甲班植树株数应为30株，不是35株。
②再验证：若甲班植树35株，它的一半是$35÷2=17.5$，比一半多10株的数是$17.5+10=27.5≠25$，不符合“乙班比甲班一半多10株”的条件。
因此乙班、甲班植树的株数不是分别为25和35。
【答案】
(1) 两个表示甲班植树株数的式子为：$(1+20\%)x$，$2(x-10)$；
(2) 所列方程为：$(1+20\%)x = 2(x-10)$；
(3) 乙班、甲班植树的株数不是分别为25和35。
【知识点】
列代数式；列一元一次方程；方程的检验
【点评】
本题重点考查根据实际问题中的数量关系列代数式与方程，以及检验方程解合理性的方法，解题的核心是准确提取题干中两个独立的等量关系，检验时要注意验证解是否符合所有题设条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
12. (★★★)关于$x$的方程$x+\frac{2}{x}=3+\frac{2}{3}$的两个解是$x_1=3,x_2=\frac{2}{3};$
关于$x$的方程$x+\frac{2}{x}=4+\frac{2}{4}$的两个解是$x_1=4,x_2=\frac{2}{4};$
关于$x$的方程$x+\frac{2}{x}=5+\frac{2}{5}$的两个解是$x_1=5,x_2=\frac{2}{5};$
……
小王认真分析和研究了上述方程的特征，提出了如下的猜想：
关于$x$的方程$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的两个解是$x_1=c$，$x_2=\frac{2}{c}$，并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明(证明过程略).小王非常高兴，他向同学提出了如下问题：
(1)关于$x$的方程$x+\frac{2}{x}=11+\frac{2}{11}$的两个解是$x_1=$和$x_2=$；
(2)已知关于$x$的方程$x+\frac{2}{x-1}=12+\frac{2}{11}$，则该方程的两个解是多少？
关于$x$的方程$x+\frac{2}{x}=4+\frac{2}{4}$的两个解是$x_1=4,x_2=\frac{2}{4};$
关于$x$的方程$x+\frac{2}{x}=5+\frac{2}{5}$的两个解是$x_1=5,x_2=\frac{2}{5};$
……
小王认真分析和研究了上述方程的特征，提出了如下的猜想：
关于$x$的方程$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的两个解是$x_1=c$，$x_2=\frac{2}{c}$，并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明(证明过程略).小王非常高兴，他向同学提出了如下问题：
(1)关于$x$的方程$x+\frac{2}{x}=11+\frac{2}{11}$的两个解是$x_1=$和$x_2=$；
(2)已知关于$x$的方程$x+\frac{2}{x-1}=12+\frac{2}{11}$，则该方程的两个解是多少？
答案
解：
(1) $x_1=11$，$x_2=\frac{2}{11}$
(2) 对方程$x+\frac{2}{x-1}=12+\frac{2}{11}$变形，两边同时减1，得
$x-1+\frac{2}{x-1}=11+\frac{2}{11}$
根据题中给出的猜想，可得
$x-1=11$ 或 $x-1=\frac{2}{11}$
分别解得：
$x_1=12$，$x_2=\frac{13}{11}$
答：该方程的两个解是$x_1=12$，$x_2=\frac{13}{11}$。
(1) $x_1=11$，$x_2=\frac{2}{11}$
(2) 对方程$x+\frac{2}{x-1}=12+\frac{2}{11}$变形，两边同时减1，得
$x-1+\frac{2}{x-1}=11+\frac{2}{11}$
根据题中给出的猜想，可得
$x-1=11$ 或 $x-1=\frac{2}{11}$
分别解得：
$x_1=12$，$x_2=\frac{13}{11}$
答：该方程的两个解是$x_1=12$，$x_2=\frac{13}{11}$。
解析
【分析】
（1）根据题目给出的猜想规律：关于$x$的方程$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的两个解为$x_1=c$，$x_2=\frac{2}{c}$，直接对应$c=11$即可写出两个解；
（2）当前方程不是猜想中的标准形式，需要先变形：把方程左边的$x$拆为$(x-1)+1$，方程两边同时减1，就能将左边转化为“整体+2除以该整体”的标准形式，再把$x-1$看作整体套用猜想结论，最后解关于$x$的一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
(1) 根据题中猜想，方程$x+\frac{2}{x}=11+\frac{2}{11}$中$c=11$，因此两个解为$x_1=11$，$x_2=\frac{2}{11}$；
(2) 对$x+\frac{2}{x-1}=12+\frac{2}{11}$变形：
方程两边同时减1，得：
$x-1+\frac{2}{x-1}=11+\frac{2}{11}$
把$x-1$看作整体，根据猜想结论可得：
$x-1=11$ 或 $x-1=\frac{2}{11}$
分别解这两个一元一次方程：
当$x-1=11$时，$x=11+1=12$；
当$x-1=\frac{2}{11}$时，$x=\frac{2}{11}+1=\frac{13}{11}$。
【答案】
(1) $11$，$\frac{2}{11}$；
(2) $x_1=12$，$x_2=\frac{13}{11}$
【知识点】
规律探究应用，整体代入法，分式方程求解
【点评】
本题属于规律应用类题型，既考查学生从示例中归纳规律的能力，也考查转化思想的应用，解题关键是将变形后的方程转化为符合已知规律的结构，通过整体代换简化计算。
【难度系数】
0.6
（1）根据题目给出的猜想规律：关于$x$的方程$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的两个解为$x_1=c$，$x_2=\frac{2}{c}$，直接对应$c=11$即可写出两个解；
（2）当前方程不是猜想中的标准形式，需要先变形：把方程左边的$x$拆为$(x-1)+1$，方程两边同时减1，就能将左边转化为“整体+2除以该整体”的标准形式，再把$x-1$看作整体套用猜想结论，最后解关于$x$的一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
(1) 根据题中猜想，方程$x+\frac{2}{x}=11+\frac{2}{11}$中$c=11$，因此两个解为$x_1=11$，$x_2=\frac{2}{11}$；
(2) 对$x+\frac{2}{x-1}=12+\frac{2}{11}$变形：
方程两边同时减1，得：
$x-1+\frac{2}{x-1}=11+\frac{2}{11}$
把$x-1$看作整体，根据猜想结论可得：
$x-1=11$ 或 $x-1=\frac{2}{11}$
分别解这两个一元一次方程：
当$x-1=11$时，$x=11+1=12$；
当$x-1=\frac{2}{11}$时，$x=\frac{2}{11}+1=\frac{13}{11}$。
【答案】
(1) $11$，$\frac{2}{11}$；
(2) $x_1=12$，$x_2=\frac{13}{11}$
【知识点】
规律探究应用，整体代入法，分式方程求解
【点评】
本题属于规律应用类题型，既考查学生从示例中归纳规律的能力，也考查转化思想的应用，解题关键是将变形后的方程转化为符合已知规律的结构，通过整体代换简化计算。
【难度系数】
0.6
