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(1)下列说法中，正确的个数为（
①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②斜边相等的两个等腰直角三角形全等；
③有一条直角边相等的两个等腰直角三角形全等；
④一锐角和一边分别相等的两个直角三角形全等.
A.0
B.1
C.2
D.3
C
）①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②斜边相等的两个等腰直角三角形全等；
③有一条直角边相等的两个等腰直角三角形全等；
④一锐角和一边分别相等的两个直角三角形全等.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
(1) C
解析
【分析】
本题考查直角三角形全等的判定，解题思路为：首先回忆全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）及直角三角形特有的HL判定定理，再结合等腰直角三角形的性质，逐一分析4个说法是否满足全等的判定条件，统计正确说法的个数即可得到答案。分析时需特别注意“对应相等”是判定全等的前提。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 分析说法①：
有两条边分别相等的两个直角三角形，未说明边是对应边，例如：第一个直角三角形的直角边为5、12，斜边为13；第二个直角三角形的直角边为12、13，斜边为$\sqrt{313}$，两个三角形有两条边长度相等（12和13），但边不对应，因此不全等，故①错误。
2. 分析说法②：
等腰直角三角形的三个角分别为90°、45°、45°，若斜边相等，结合三个角对应相等，可通过AAS/ASA判定两个三角形全等；也可计算得等腰直角三角形的直角边=斜边÷$\sqrt{2}$，斜边相等则直角边也对应相等，通过SSS/SAS/HL都可判定全等，故②正确。
3. 分析说法③：
等腰直角三角形的两条直角边相等，若一条直角边对应相等，则两条直角边都对应相等，且夹角都是90°，可通过SAS判定全等，也可推得斜边相等，通过HL判定全等，故③正确。
4. 分析说法④：
一锐角和一边分别相等，未说明边是对应边，例如：两个直角三角形都含30°锐角，第一个三角形30°角对的直角边为3，第二个三角形60°角对的直角边为3，此时锐角相等、边长度相等，但边不对应，两个三角形不全等，故④错误。
综上，正确的说法是②③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等的判定；等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题重点考查全等判定中“对应相等”的核心要求，需要结合特殊直角三角形的性质逐一验证，易错点是忽略边、角的对应关系，误判①和④为正确说法。
【难度系数】
0.7
本题考查直角三角形全等的判定，解题思路为：首先回忆全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）及直角三角形特有的HL判定定理，再结合等腰直角三角形的性质，逐一分析4个说法是否满足全等的判定条件，统计正确说法的个数即可得到答案。分析时需特别注意“对应相等”是判定全等的前提。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 分析说法①：
有两条边分别相等的两个直角三角形，未说明边是对应边，例如：第一个直角三角形的直角边为5、12，斜边为13；第二个直角三角形的直角边为12、13，斜边为$\sqrt{313}$，两个三角形有两条边长度相等（12和13），但边不对应，因此不全等，故①错误。
2. 分析说法②：
等腰直角三角形的三个角分别为90°、45°、45°，若斜边相等，结合三个角对应相等，可通过AAS/ASA判定两个三角形全等；也可计算得等腰直角三角形的直角边=斜边÷$\sqrt{2}$，斜边相等则直角边也对应相等，通过SSS/SAS/HL都可判定全等，故②正确。
3. 分析说法③：
等腰直角三角形的两条直角边相等，若一条直角边对应相等，则两条直角边都对应相等，且夹角都是90°，可通过SAS判定全等，也可推得斜边相等，通过HL判定全等，故③正确。
4. 分析说法④：
一锐角和一边分别相等，未说明边是对应边，例如：两个直角三角形都含30°锐角，第一个三角形30°角对的直角边为3，第二个三角形60°角对的直角边为3，此时锐角相等、边长度相等，但边不对应，两个三角形不全等，故④错误。
综上，正确的说法是②③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等的判定；等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题重点考查全等判定中“对应相等”的核心要求，需要结合特殊直角三角形的性质逐一验证，易错点是忽略边、角的对应关系，误判①和④为正确说法。
【难度系数】
0.7
(2)如图，$∠ C=∠ D=90°$. 添加一个条件，使可用HL判定$\mathrm{Rt}△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ ABD$全等. 下列条件中，适合的是 (
第1(2)题
A.$AC=AD$
B.$AB=AB$
C.$∠ ABC=∠ ABD$
D.$∠ BAC=∠ BAD$
A
)第1(2)题
A.$AC=AD$
B.$AB=AB$
C.$∠ ABC=∠ ABD$
D.$∠ BAC=∠ BAD$
答案
(2) A
解析
【分析】
首先明确HL判定定理的内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。解题时先确定两个直角三角形的公共边：AB是$Rt△ ABC$和$Rt△ ABD$的公共斜边，因此斜边已经天然相等，要使用HL判定全等，只需要再添加一组直角边对应相等的条件即可。同时要注意区分HL与其他全等判定方法的差异，HL必须是斜边+直角边的边的条件，角相等的条件不属于HL的判定依据。
【解析】
HL判定定理的适用要求：仅用于直角三角形全等判定，需满足斜边对应相等，且一条直角边对应相等。
在$Rt△ ABC$和$Rt△ ABD$中，斜边AB为公共边，即$AB=AB$，因此仅需补充一组直角边相等即可用HL判定全等：
选项A：$AC=AD$，是一组直角边相等，结合公共斜边$AB=AB$，可通过HL判定两三角形全等，符合要求；
选项B：$AB=AB$是已知的公共边，仅该条件无法判定全等，不符合要求；
选项C：$∠ ABC=∠ ABD$，结合$∠ C=∠ D=90°$、$AB=AB$，是通过AAS判定全等，不属于HL判定，不符合要求；
选项D：$∠ BAC=∠ BAD$，结合$∠ C=∠ D=90°$、$AB=AB$，是通过AAS判定全等，不属于HL判定，不符合要求。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
1. HL全等判定
2. 直角三角形全等判定
【点评】
本题重点考查HL判定定理的适用条件，解题时需注意HL仅适用于直角三角形，且必须同时满足斜边、一条直角边对应相等两个条件，要注意和其他全等判定方法做好区分，避免混淆判定依据。
【难度系数】
0.8
首先明确HL判定定理的内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。解题时先确定两个直角三角形的公共边：AB是$Rt△ ABC$和$Rt△ ABD$的公共斜边，因此斜边已经天然相等，要使用HL判定全等，只需要再添加一组直角边对应相等的条件即可。同时要注意区分HL与其他全等判定方法的差异，HL必须是斜边+直角边的边的条件，角相等的条件不属于HL的判定依据。
【解析】
HL判定定理的适用要求：仅用于直角三角形全等判定，需满足斜边对应相等，且一条直角边对应相等。
在$Rt△ ABC$和$Rt△ ABD$中，斜边AB为公共边，即$AB=AB$，因此仅需补充一组直角边相等即可用HL判定全等：
选项A：$AC=AD$，是一组直角边相等，结合公共斜边$AB=AB$，可通过HL判定两三角形全等，符合要求；
选项B：$AB=AB$是已知的公共边，仅该条件无法判定全等，不符合要求；
选项C：$∠ ABC=∠ ABD$，结合$∠ C=∠ D=90°$、$AB=AB$，是通过AAS判定全等，不属于HL判定，不符合要求；
选项D：$∠ BAC=∠ BAD$，结合$∠ C=∠ D=90°$、$AB=AB$，是通过AAS判定全等，不属于HL判定，不符合要求。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
1. HL全等判定
2. 直角三角形全等判定
【点评】
本题重点考查HL判定定理的适用条件，解题时需注意HL仅适用于直角三角形，且必须同时满足斜边、一条直角边对应相等两个条件，要注意和其他全等判定方法做好区分，避免混淆判定依据。
【难度系数】
0.8
(3)如图，$DE ⊥ AB$于点E，$DF ⊥ AC$于点F，$AE=AF$. 下列结论中，成立的是（
A.$DE=DF$
B.$BD=CD$
C.$∠ B=∠ C$
D.$AB=AC$
A
）A.$DE=DF$
B.$BD=CD$
C.$∠ B=∠ C$
D.$AB=AC$
答案
(3) A
解析
【分析】
首先观察已知条件：DE、DF分别垂直AB、AC，可得△AED和△AFD都是直角三角形，两个三角形有公共斜边AD，且已知直角边AE=AF，可先通过直角三角形全等的判定定理证明两个三角形全等，再结合全等的性质判断各选项是否成立。其余选项需要AD是BC的中线或△ABC是等腰三角形的条件，现有已知无法推导，可逐一排除。
【解析】
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠AED=∠AFD=90°，即△AED和△AFD均为直角三角形。
在Rt△AED和Rt△AFD中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD \quad (\mathrm{公共边})\\AE=AF \quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴ Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
根据全等三角形对应边相等，可得DE=DF，故A选项成立。
现有已知条件无法证明AB=AC，也无法证明AD是BC的中线，因此无法推出BD=CD、∠B=∠C、AB=AC，故B、C、D选项不成立。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题解题核心是利用HL判定直角三角形全等，再结合全等性质得到对应边相等，注意不要额外添加题目未给出的条件推导其余结论，避免错选。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件：DE、DF分别垂直AB、AC，可得△AED和△AFD都是直角三角形，两个三角形有公共斜边AD，且已知直角边AE=AF，可先通过直角三角形全等的判定定理证明两个三角形全等，再结合全等的性质判断各选项是否成立。其余选项需要AD是BC的中线或△ABC是等腰三角形的条件，现有已知无法推导，可逐一排除。
【解析】
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠AED=∠AFD=90°，即△AED和△AFD均为直角三角形。
在Rt△AED和Rt△AFD中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD \quad (\mathrm{公共边})\\AE=AF \quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴ Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
根据全等三角形对应边相等，可得DE=DF，故A选项成立。
现有已知条件无法证明AB=AC，也无法证明AD是BC的中线，因此无法推出BD=CD、∠B=∠C、AB=AC，故B、C、D选项不成立。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题解题核心是利用HL判定直角三角形全等，再结合全等性质得到对应边相等，注意不要额外添加题目未给出的条件推导其余结论，避免错选。
【难度系数】
0.8
(4)如图，$CE⊥ AB$，$DF⊥ AB$，垂足分别为E，F，$AF=BE$，$AC=BD$。下列结论中，不一定正确的是（
A.$AC// BD$
B.$∠ C+∠ B=90°$
C.$∠ A=∠ D$
D.$Rt△ ACE≌ Rt△ BDF$
C
）A.$AC// BD$
B.$∠ C+∠ B=90°$
C.$∠ A=∠ D$
D.$Rt△ ACE≌ Rt△ BDF$
答案
(4) C
解析
【分析】
首先观察已知条件，CE和DF都垂直于AB，可得△ACE和△BDF都是直角三角形；由AF=BE，两边同时减去公共部分EF，可推出AE=BF，结合已知AC=BD，可先用HL定理证明两个直角三角形全等，再根据全等三角形的性质、平行线的判定定理、直角三角形两锐角互余的性质逐一判断四个选项是否正确，最终选出不一定正确的选项。
【解析】
解：
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEC=∠BFD=90°，
∵AF=BE，
∴AF - EF = BE - EF，即AE=BF，
在Rt△ACE和Rt△BDF中，
$\{\begin{array}{l}AC=BD\\ AE=BF\end{array} $
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），故D选项正确，不符合题意；
由全等可得∠A=∠B，∠C=∠D，
∵∠A=∠B，
∴AC//BD（内错角相等，两直线平行），故A选项正确，不符合题意；
在Rt△ACE中，∠A+∠C=90°，
又
∵∠A=∠B，
∴∠C+∠B=90°，故B选项正确，不符合题意；
由全等性质可知∠A=∠B，∠C=∠D，无法推出∠A=∠D，故C选项不一定正确，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的判定与性质的综合应用，解题时先通过线段的和差关系得到全等所需的等边，证明三角形全等是后续判断各选项的核心，易错点是容易混淆全等三角形的对应角。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，CE和DF都垂直于AB，可得△ACE和△BDF都是直角三角形；由AF=BE，两边同时减去公共部分EF，可推出AE=BF，结合已知AC=BD，可先用HL定理证明两个直角三角形全等，再根据全等三角形的性质、平行线的判定定理、直角三角形两锐角互余的性质逐一判断四个选项是否正确，最终选出不一定正确的选项。
【解析】
解：
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEC=∠BFD=90°，
∵AF=BE，
∴AF - EF = BE - EF，即AE=BF，
在Rt△ACE和Rt△BDF中，
$\{\begin{array}{l}AC=BD\\ AE=BF\end{array} $
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），故D选项正确，不符合题意；
由全等可得∠A=∠B，∠C=∠D，
∵∠A=∠B，
∴AC//BD（内错角相等，两直线平行），故A选项正确，不符合题意；
在Rt△ACE中，∠A+∠C=90°，
又
∵∠A=∠B，
∴∠C+∠B=90°，故B选项正确，不符合题意；
由全等性质可知∠A=∠B，∠C=∠D，无法推出∠A=∠D，故C选项不一定正确，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的判定与性质的综合应用，解题时先通过线段的和差关系得到全等所需的等边，证明三角形全等是后续判断各选项的核心，易错点是容易混淆全等三角形的对应角。
【难度系数】
0.7
(5)如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上. 已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数之和为（
A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
B
）A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
(5) B
解析
【分析】
首先观察图形可得两个滑梯分别在两个直角三角形中，已知滑梯长度相等即两个直角三角形的斜边相等，同时左边滑梯高度AC与右边滑梯水平长度DF相等即一组直角边相等，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，再利用直角三角形两锐角互余的性质，将所求两个角转化到同一个直角三角形中求和即可。
【解析】
解：$\because AC⊥ AB$，$ED⊥ DF$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EDF=90°$，即$△ ABC$和$△ DEF$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases}BC=EF\\AC=DF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DFE$。
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC+∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ABC+∠ DFE=∠ ABC+∠ ACB=90°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于全等三角形与直角三角形性质的基础综合题，解题的关键是先利用HL证明直角三角形全等，再通过全等的性质做角的等量代换，结合直角三角形内角的特征即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可得两个滑梯分别在两个直角三角形中，已知滑梯长度相等即两个直角三角形的斜边相等，同时左边滑梯高度AC与右边滑梯水平长度DF相等即一组直角边相等，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，再利用直角三角形两锐角互余的性质，将所求两个角转化到同一个直角三角形中求和即可。
【解析】
解：$\because AC⊥ AB$，$ED⊥ DF$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EDF=90°$，即$△ ABC$和$△ DEF$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases}BC=EF\\AC=DF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DFE$。
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC+∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ABC+∠ DFE=∠ ABC+∠ ACB=90°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于全等三角形与直角三角形性质的基础综合题，解题的关键是先利用HL证明直角三角形全等，再通过全等的性质做角的等量代换，结合直角三角形内角的特征即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
