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(5)如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，且 AB=AC，由于某种原因，现从 C 到 A 的路不通了. 为方便取水，村民决定在河边新建一个取水点 H(点 A，H，B 在同一条直线上)，并新修一条路 CH. 若测得 CB=3 km，CH=2.4 km，BH=1.8 km，则原路线 AC 的长为
2.5
km.答案
2. (5) 2.5
解析
【分析】
解题第一步先观察△CHB的三条边长，先通过勾股定理逆定理判断△CHB是否为直角三角形，确定CH与AB的位置关系是垂直；第二步已知AC=AB，可设AC的长度为x，用含x的式子表示出AH的长度，最后在Rt△ACH中利用勾股定理列方程，求解即可得到AC的长度。
【解析】
1. 先判断△CHB的形状：
已知CH=2.4 km，BH=1.8 km，CB=3 km
计算得：$CH^2 + BH^2 = 2.4^2 + 1.8^2 = 5.76 + 3.24 = 9$，$CB^2 = 3^2 =9$
所以$CH^2 + BH^2 = CB^2$，根据勾股定理的逆定理可得△CHB是直角三角形，且$∠ CHB=90°$，即$CH ⊥ AB$。
2. 设$AC = x$ km，由题意$AB=AC$，故$AB=x$ km
则$AH = AB - BH = (x - 1.8)$ km
3. 在$Rt△ ACH$中，根据勾股定理得：$AC^2 = AH^2 + CH^2$
代入数据得：$x^2 = (x - 1.8)^2 + 2.4^2$
展开右边：$x^2 = x^2 - 3.6x + 3.24 + 5.76$
化简得：$3.6x = 9$
解得：$x = 2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
勾股定理逆定理；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，先通过逆定理判定直角三角形得到垂直关系，再结合勾股定理构造方程求解，是勾股定理章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
解题第一步先观察△CHB的三条边长，先通过勾股定理逆定理判断△CHB是否为直角三角形，确定CH与AB的位置关系是垂直；第二步已知AC=AB，可设AC的长度为x，用含x的式子表示出AH的长度，最后在Rt△ACH中利用勾股定理列方程，求解即可得到AC的长度。
【解析】
1. 先判断△CHB的形状：
已知CH=2.4 km，BH=1.8 km，CB=3 km
计算得：$CH^2 + BH^2 = 2.4^2 + 1.8^2 = 5.76 + 3.24 = 9$，$CB^2 = 3^2 =9$
所以$CH^2 + BH^2 = CB^2$，根据勾股定理的逆定理可得△CHB是直角三角形，且$∠ CHB=90°$，即$CH ⊥ AB$。
2. 设$AC = x$ km，由题意$AB=AC$，故$AB=x$ km
则$AH = AB - BH = (x - 1.8)$ km
3. 在$Rt△ ACH$中，根据勾股定理得：$AC^2 = AH^2 + CH^2$
代入数据得：$x^2 = (x - 1.8)^2 + 2.4^2$
展开右边：$x^2 = x^2 - 3.6x + 3.24 + 5.76$
化简得：$3.6x = 9$
解得：$x = 2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
勾股定理逆定理；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，先通过逆定理判定直角三角形得到垂直关系，再结合勾股定理构造方程求解，是勾股定理章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，等腰三角形ABC的底边BC=20 cm，D是腰AB上一点，且CD=16 cm，BD=12 cm. 求△ABC的周长.
答案
3. 解：在△BCD中，BC = 20 cm，CD = 16 cm，BD=12 cm，
∵BD²+CD²=BC²，
∴△BCD 是直角三角形，
∠BDC=90°.
设AD=x，则AC=x+12.
在Rt△ADC中，
∵AC²=AD²+CD²，
∴(x+12)²=x²+16².
解得x=14/3.
∴△ABC 的周长为(14/3 +12)×2 +20=160/3 (cm).
∵BD²+CD²=BC²，
∴△BCD 是直角三角形，
∠BDC=90°.
设AD=x，则AC=x+12.
在Rt△ADC中，
∵AC²=AD²+CD²，
∴(x+12)²=x²+16².
解得x=14/3.
∴△ABC 的周长为(14/3 +12)×2 +20=160/3 (cm).
解析
【分析】
解题时首先观察△BCD的三边长，先利用勾股定理的逆定理判断△BCD的形状，得到CD与AB垂直的关系，为后续使用勾股定理创造条件。再结合等腰三角形AB=AC的性质，设AD的长度为未知数，用含未知数的式子表示腰AC的长度，最后在Rt△ADC中利用勾股定理列方程求解未知数，算出腰长后即可计算三角形周长。
【解析】
解：在△BCD中，BC=20 cm，CD=16 cm，BD=12 cm，
∵$BD^2+CD^2=12^2+16^2=144+256=400$，$BC^2=20^2=400$，
∴$BD^2+CD^2=BC^2$，
∴△BCD是直角三角形，且$∠ BDC=90°$，即$CD⊥ AB$，
∴$∠ ADC=90°$。
设$AD=x\ \mathrm{cm}$，
∵△ABC是等腰三角形，
∴$AC=AB=AD+BD=(x+12)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△ADC中，由勾股定理得$AC^2=AD^2+CD^2$，
代入得：$(x+12)^2=x^2+16^2$，
展开得$x^2+24x+144=x^2+256$，
化简得$24x=112$，
解得$x=\frac{14}{3}$。
∴腰长$AB=\frac{14}{3}+12=\frac{50}{3}\ \mathrm{cm}$，
△ABC的周长$=AB+AC+BC=2×\frac{50}{3}+20=\frac{100}{3}+\frac{60}{3}=\frac{160}{3}\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
$\frac{160}{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理相关的典型应用题型，先通过逆定理判定直角三角形，再结合等腰三角形的性质利用方程思想求解边长，既考查了定理的基础应用，也锻炼了几何问题结合代数方程求解的思维。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察△BCD的三边长，先利用勾股定理的逆定理判断△BCD的形状，得到CD与AB垂直的关系，为后续使用勾股定理创造条件。再结合等腰三角形AB=AC的性质，设AD的长度为未知数，用含未知数的式子表示腰AC的长度，最后在Rt△ADC中利用勾股定理列方程求解未知数，算出腰长后即可计算三角形周长。
【解析】
解：在△BCD中，BC=20 cm，CD=16 cm，BD=12 cm，
∵$BD^2+CD^2=12^2+16^2=144+256=400$，$BC^2=20^2=400$，
∴$BD^2+CD^2=BC^2$，
∴△BCD是直角三角形，且$∠ BDC=90°$，即$CD⊥ AB$，
∴$∠ ADC=90°$。
设$AD=x\ \mathrm{cm}$，
∵△ABC是等腰三角形，
∴$AC=AB=AD+BD=(x+12)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△ADC中，由勾股定理得$AC^2=AD^2+CD^2$，
代入得：$(x+12)^2=x^2+16^2$，
展开得$x^2+24x+144=x^2+256$，
化简得$24x=112$，
解得$x=\frac{14}{3}$。
∴腰长$AB=\frac{14}{3}+12=\frac{50}{3}\ \mathrm{cm}$，
△ABC的周长$=AB+AC+BC=2×\frac{50}{3}+20=\frac{100}{3}+\frac{60}{3}=\frac{160}{3}\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
$\frac{160}{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理相关的典型应用题型，先通过逆定理判定直角三角形，再结合等腰三角形的性质利用方程思想求解边长，既考查了定理的基础应用，也锻炼了几何问题结合代数方程求解的思维。
【难度系数】
0.6
4. 如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13.
求四边形ABCD的面积.
求四边形ABCD的面积.
答案
4. 解：
∵∠B=90°，
∴△ABC 是直角三角形.
又
∵AB=3，BC=4，
∴根据勾股定理得
AC=√(AB²+BC²)=5.
又
∵CD=12，AD=13，
∴AD²=13²=169，CD²+AC²=12²+5²=144+25=169.
∴CD²+AC²=AD².
∴△ACD 为直角三角形，∠ACD=90°.
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=1/2 AB · BC + 1/2 AC · CD = 1/2 ×3×4 + 1/2 ×5×12 = 36.
即四边形 ABCD 的面积是 36.
∵∠B=90°，
∴△ABC 是直角三角形.
又
∵AB=3，BC=4，
∴根据勾股定理得
AC=√(AB²+BC²)=5.
又
∵CD=12，AD=13，
∴AD²=13²=169，CD²+AC²=12²+5²=144+25=169.
∴CD²+AC²=AD².
∴△ACD 为直角三角形，∠ACD=90°.
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=1/2 AB · BC + 1/2 AC · CD = 1/2 ×3×4 + 1/2 ×5×12 = 36.
即四边形 ABCD 的面积是 36.
解析
【分析】
要求不规则四边形ABCD的面积，可先将四边形分割为两个三角形分别计算面积再求和。首先已知△ABC是直角三角形，且两条直角边长度已知，可先用勾股定理求出斜边AC的长度；再将AC的长度与△ACD的另外两条边长结合，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形即可分别计算两个三角形的面积，相加得到四边形的总面积。
【解析】
解：
∵∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，
又
∵AB=3，BC=4，
∴根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
又
∵CD=12，AD=13，
∴$AD^2=13^2=169$，$CD^2+AC^2=12^2+5^2=144+25=169$，
∴$CD^2+AC^2=AD^2$，
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，
则$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}×AB·BC + \frac{1}{2}×AC·CD$
$=\frac{1}{2}×3×4 + \frac{1}{2}×5×12$
$=6 + 30$
$=36$
【答案】
36
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理相关的典型基础应用题，解题核心是将不规则四边形分割为可计算面积的三角形，通过勾股定理和逆定理判断三角形形状后计算面积，考查了将不规则图形转化为规则图形求解的转化思想。
【难度系数】
0.7
要求不规则四边形ABCD的面积，可先将四边形分割为两个三角形分别计算面积再求和。首先已知△ABC是直角三角形，且两条直角边长度已知，可先用勾股定理求出斜边AC的长度；再将AC的长度与△ACD的另外两条边长结合，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形即可分别计算两个三角形的面积，相加得到四边形的总面积。
【解析】
解：
∵∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，
又
∵AB=3，BC=4，
∴根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
又
∵CD=12，AD=13，
∴$AD^2=13^2=169$，$CD^2+AC^2=12^2+5^2=144+25=169$，
∴$CD^2+AC^2=AD^2$，
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，
则$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}×AB·BC + \frac{1}{2}×AC·CD$
$=\frac{1}{2}×3×4 + \frac{1}{2}×5×12$
$=6 + 30$
$=36$
【答案】
36
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题是勾股定理相关的典型基础应用题，解题核心是将不规则四边形分割为可计算面积的三角形，通过勾股定理和逆定理判断三角形形状后计算面积，考查了将不规则图形转化为规则图形求解的转化思想。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山的另一边C处到公路上的停靠站A的距离为15 km，到公路上另一停靠站B的距离为20 km，停靠站A，B之间的距离为25 km. 为方便运输货物，现要从公路AB上的D处开凿隧道修一条到C处的公路，且CD⊥AB.
(1)求修建的公路CD的长.
(2)公路CD修通后，一辆货车从C处经过点D到B处的路程是多少千米？
(1)求修建的公路CD的长.
(2)公路CD修通后，一辆货车从C处经过点D到B处的路程是多少千米？
答案
5. 解：(1)
∵AC=15 km，BC=20 km，AB=25 km，15²+20²=25²，
∴AC²+BC²=AB².
∴△ACB 是直角三角形，∠ACB=90°.
∵CD⊥AB，
∴1/2 AB · CD = 1/2 AC · BC.
∴CD=(AC · BC)/AB = (15×20)/25 =12(km).
答：修建的公路 CD 的长是 12 km.
(2)在Rt△BDC 中，BD=√(BC²-CD²)=√(20²-12²)=16(km)，
∴CD+BD=12+16=28(km).
答：公路 CD 修通后，一辆货车从 C 处经过点 D 到 B 处的路程是 28 km.
∵AC=15 km，BC=20 km，AB=25 km，15²+20²=25²，
∴AC²+BC²=AB².
∴△ACB 是直角三角形，∠ACB=90°.
∵CD⊥AB，
∴1/2 AB · CD = 1/2 AC · BC.
∴CD=(AC · BC)/AB = (15×20)/25 =12(km).
答：修建的公路 CD 的长是 12 km.
(2)在Rt△BDC 中，BD=√(BC²-CD²)=√(20²-12²)=16(km)，
∴CD+BD=12+16=28(km).
答：公路 CD 修通后，一辆货车从 C 处经过点 D 到 B 处的路程是 28 km.
解析
【分析】
解第(1)问时，首先观察△ABC的三边长度，先通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，确定是直角三角形后，利用“同一三角形面积相等”的等面积法，分别用直角边和底AB、高CD表示三角形面积，建立等式即可求出CD的长度。解第(2)问时，在Rt△BDC中已知斜边BC和直角边CD的长度，用勾股定理求出BD的长度，再将CD与BD相加就是总路程。
【解析】
(1) 已知AC=15 km，BC=20 km，AB=25 km，计算得：$15^2+20^2=225+400=625=25^2$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，因此△ACB是直角三角形，且$∠ACB=90°$。
因为$CD⊥AB$，△ABC的面积可表示为$\frac{1}{2}AC·BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB·CD$，因此：
$\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$
代入数值解得：$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{15×20}{25}=12$（km）。
(2) 在Rt△BDC中，BC=20 km，CD=12 km，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$（km）
总路程为$CD+BD=12+16=28$（km）。
【答案】
(1) 修建的公路CD的长是12 km；
(2) 货车从C处经过点D到B处的路程是28 km。
【知识点】
勾股定理逆定理、等面积法、勾股定理
【点评】
本题结合实际运输场景考查勾股定理相关知识，解题核心是先判断三角形为直角三角形，再灵活运用等面积法和勾股定理计算线段长度，是几何知识解决实际问题的基础题型。
【难度系数】
0.7
解第(1)问时，首先观察△ABC的三边长度，先通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，确定是直角三角形后，利用“同一三角形面积相等”的等面积法，分别用直角边和底AB、高CD表示三角形面积，建立等式即可求出CD的长度。解第(2)问时，在Rt△BDC中已知斜边BC和直角边CD的长度，用勾股定理求出BD的长度，再将CD与BD相加就是总路程。
【解析】
(1) 已知AC=15 km，BC=20 km，AB=25 km，计算得：$15^2+20^2=225+400=625=25^2$，即$AC^2+BC^2=AB^2$，因此△ACB是直角三角形，且$∠ACB=90°$。
因为$CD⊥AB$，△ABC的面积可表示为$\frac{1}{2}AC·BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB·CD$，因此：
$\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$
代入数值解得：$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{15×20}{25}=12$（km）。
(2) 在Rt△BDC中，BC=20 km，CD=12 km，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$（km）
总路程为$CD+BD=12+16=28$（km）。
【答案】
(1) 修建的公路CD的长是12 km；
(2) 货车从C处经过点D到B处的路程是28 km。
【知识点】
勾股定理逆定理、等面积法、勾股定理
【点评】
本题结合实际运输场景考查勾股定理相关知识，解题核心是先判断三角形为直角三角形，再灵活运用等面积法和勾股定理计算线段长度，是几何知识解决实际问题的基础题型。
【难度系数】
0.7
