登录
1.如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，作$CG ⊥ AB$，垂足为D，交$\odot O$于点G，$∠ ACG$的平分线CF交AB于点E，交$\odot O$于点F，连接AF，BF.
(1)若$\odot O$的半径为6，$AD=4$，求弦CG的长.
(2)求证：$AF=EF$.
(1)若$\odot O$的半径为6，$AD=4$，求弦CG的长.
(2)求证：$AF=EF$.
答案
1.(1) 如图，连接OC.
∵$\odot O$的半径为6，
∴$OA=OC=6$.
又$AD=4$，
∴$OD=OA-AD=6-4=2$.
在$Rt△COD$中，根据勾股定理，得 $CD = \sqrt{OC^2-OD^2} = \sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$.
∵AB是$\odot O$的直径，且$CG⊥AB$，
∴$CD=GD$.
∴$CG=2CD=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$.
1.(2) 证明：
∵$CG⊥AB$，
∴$∠ADC=90°$.
∴$∠FCG+∠DEC=90°$.
由题图知，$∠AEF=∠DEC$，
∴$∠FCG+∠AEF=90°$.
∵CF平分$∠ACG$，
∴$∠ACF=∠FCG$.
∴$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FG}$.
∴$∠B=∠FCG$.
∴$∠B+∠AEF=90°$.
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠AFB=90°$.
∴$∠BAF+∠B=90°$.
∴$∠BAF=∠AEF$.
∴$AF=EF$.
解析
【分析】
(1) 求弦CG的长可利用垂径定理转化为求2倍CD的长度，先连接半径OC构造直角三角形，先求出OD的长度后，用勾股定理计算CD，再乘2即可得到CG的长度。
(2) 证明AF=EF等价于证明∠FAE=∠FEA，结合垂直的性质、角平分线定义、对顶角相等、直径所对圆周角为直角的性质，通过角的等量代换推导两角相等，即可得证。
【解析】
(1) 如图，连接OC。
∵$\odot O$的半径为6，
∴$OA=OC=6$。
又$AD=4$，
∴$OD=OA-AD=6-4=2$。
在$Rt△COD$中，根据勾股定理，得 $CD = \sqrt{OC^2-OD^2} = \sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$。
∵AB是$\odot O$的直径，且$CG⊥AB$，
∴$CD=GD$。
∴$CG=2CD=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
(2) 证明：
∵$CG⊥AB$，
∴$∠ADC=90°$，
∴$∠FCG+∠DEC=90°$。
由对顶角相等得$∠AEF=∠DEC$，
∴$∠FCG+∠AEF=90°$。
∵CF平分$∠ACG$，
∴$∠ACF=∠FCG$，
∴$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FG}$，
∴$∠B=∠FCG$，
∴$∠B+∠AEF=90°$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠AFB=90°$，
∴$∠BAF+∠B=90°$，
∴$∠BAF=∠AEF$，
∴$AF=EF$。
【答案】
(1) $8\sqrt{2}$
(2) 证明如上，$AF=EF$成立。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题，第一问是圆中弦长计算的常规题型，第二问侧重角的等量转化，考查了多个基础知识点的应用能力和逻辑推理能力，解题关键是熟练掌握圆的相关性质，学会构造直角三角形、利用角的关系推导边的关系。
【难度系数】
0.7
(1) 求弦CG的长可利用垂径定理转化为求2倍CD的长度，先连接半径OC构造直角三角形，先求出OD的长度后，用勾股定理计算CD，再乘2即可得到CG的长度。
(2) 证明AF=EF等价于证明∠FAE=∠FEA，结合垂直的性质、角平分线定义、对顶角相等、直径所对圆周角为直角的性质，通过角的等量代换推导两角相等，即可得证。
【解析】
(1) 如图，连接OC。
∵$\odot O$的半径为6，
∴$OA=OC=6$。
又$AD=4$，
∴$OD=OA-AD=6-4=2$。
在$Rt△COD$中，根据勾股定理，得 $CD = \sqrt{OC^2-OD^2} = \sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$。
∵AB是$\odot O$的直径，且$CG⊥AB$，
∴$CD=GD$。
∴$CG=2CD=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
(2) 证明：
∵$CG⊥AB$，
∴$∠ADC=90°$，
∴$∠FCG+∠DEC=90°$。
由对顶角相等得$∠AEF=∠DEC$，
∴$∠FCG+∠AEF=90°$。
∵CF平分$∠ACG$，
∴$∠ACF=∠FCG$，
∴$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FG}$，
∴$∠B=∠FCG$，
∴$∠B+∠AEF=90°$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠AFB=90°$，
∴$∠BAF+∠B=90°$，
∴$∠BAF=∠AEF$，
∴$AF=EF$。
【答案】
(1) $8\sqrt{2}$
(2) 证明如上，$AF=EF$成立。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题，第一问是圆中弦长计算的常规题型，第二问侧重角的等量转化，考查了多个基础知识点的应用能力和逻辑推理能力，解题关键是熟练掌握圆的相关性质，学会构造直角三角形、利用角的关系推导边的关系。
【难度系数】
0.7
2. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，$CE⊥ AB$，垂足为E，D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，AD交CE于点F，交BC于点G，连接AC，BD。
(1)判断$△ CFG$的形状，并说明理由。
(2)若$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角的度数为$60°$，$AB=16$，求阴影部分的面积。
(1)判断$△ CFG$的形状，并说明理由。
(2)若$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角的度数为$60°$，$AB=16$，求阴影部分的面积。
答案
2.(1) $△CFG$是等腰三角形.理由如下：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ACB=90°$.
∴$∠CAD+∠AGC=90°$.
∵$CE⊥AB$，
∴$∠AEF=90°$.
∴$∠AFE+∠BAD=90°$.
∵D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$.
∴$∠CAD=∠BAD$.
∴$∠AGC=∠AFE$.
由题图知，$∠AFE=∠CFG$，
∴$∠CGF=∠CFG$.
∴$CG=CF$.
∴$△CFG$是等腰三角形.
2.(2) 如图，连接OC,OD.
∵$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角的度数为$60°$，
∴$∠COD=60°$.
∵D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$.
∴$∠BOD=∠COD=60°$.
∴$∠AOC=180°-60°-60°=60°$.
又$OA=OC$，
∴$△AOC$为等边三角形.
∴$AC=OA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$.
∵$CE⊥AB$，
∴$AE=\frac{1}{2}OA=4$.
∴$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$.
∴$S_{阴影部分}=S_{扇形OAC}-S_{△AOC}=\frac{60π×8^2}{360}-\frac{1}{2}×8×4\sqrt{3}=\frac{32}{3}π-16\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 判断△CFG的形状可通过推导其内角相等来实现：首先利用直径所对圆周角为直角、CE⊥AB得到两个直角三角形，结合直角三角形两锐角互余的性质，再利用弧中点对应的圆周角相等推导角的关系，结合对顶角相等即可得到△CFG的两个底角相等，进而判定形状。
(2) 阴影部分为不规则弓形，可采用割补法转化为规则图形面积差计算：先连接OC、OD，根据弧CD的圆心角度数和D是弧BC中点求出∠AOC的度数，结合OA=OC判定△AOC为等边三角形，求出相关边长后分别计算扇形OAC和△AOC的面积，作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1) $△ CFG$是等腰三角形，理由如下：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ACB=90°$，
∴$∠CAD+∠AGC=90°$。
∵$CE⊥AB$，
∴$∠AEF=90°$，
∴$∠AFE+∠BAD=90°$。
∵D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠CAD=∠BAD$，
∴$∠AGC=∠AFE$。
由题图知，$∠AFE=∠CFG$（对顶角相等），
∴$∠CGF=∠CFG$，
∴$CG=CF$，
∴$△ CFG$是等腰三角形。
(2) 连接OC,OD。
∵$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角的度数为$60°$，
∴$∠COD=60°$。
∵D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠BOD=∠COD=60°$，
∴$∠AOC=180°-60°-60°=60°$。
又$OA=OC$，
∴$△ AOC$为等边三角形，
∴$AC=OA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
∵$CE⊥AB$，
∴$AE=\frac{1}{2}OA=4$，
∴$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
∴$S_{阴影部分}=S_{扇形OAC}-S_{△AOC}=\frac{60π×8^2}{360}-\frac{1}{2}×8×4\sqrt{3}=\frac{32}{3}π-16\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $△ CFG$是等腰三角形，理由见解析；
(2) 阴影部分的面积为$\frac{32}{3}π-16\sqrt{3}$，辅助线如图：
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，弓形面积计算
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、等腰三角形的判定和不规则图形面积的计算，解题关键是熟练运用等弧对等角的性质推导角的关系，计算阴影面积时灵活使用割补法，将不规则图形转化为规则图形的面积差求解。
【难度系数】
0.6
(1) 判断△CFG的形状可通过推导其内角相等来实现：首先利用直径所对圆周角为直角、CE⊥AB得到两个直角三角形，结合直角三角形两锐角互余的性质，再利用弧中点对应的圆周角相等推导角的关系，结合对顶角相等即可得到△CFG的两个底角相等，进而判定形状。
(2) 阴影部分为不规则弓形，可采用割补法转化为规则图形面积差计算：先连接OC、OD，根据弧CD的圆心角度数和D是弧BC中点求出∠AOC的度数，结合OA=OC判定△AOC为等边三角形，求出相关边长后分别计算扇形OAC和△AOC的面积，作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1) $△ CFG$是等腰三角形，理由如下：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ACB=90°$，
∴$∠CAD+∠AGC=90°$。
∵$CE⊥AB$，
∴$∠AEF=90°$，
∴$∠AFE+∠BAD=90°$。
∵D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠CAD=∠BAD$，
∴$∠AGC=∠AFE$。
由题图知，$∠AFE=∠CFG$（对顶角相等），
∴$∠CGF=∠CFG$，
∴$CG=CF$，
∴$△ CFG$是等腰三角形。
(2) 连接OC,OD。
∵$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角的度数为$60°$，
∴$∠COD=60°$。
∵D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠BOD=∠COD=60°$，
∴$∠AOC=180°-60°-60°=60°$。
又$OA=OC$，
∴$△ AOC$为等边三角形，
∴$AC=OA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
∵$CE⊥AB$，
∴$AE=\frac{1}{2}OA=4$，
∴$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
∴$S_{阴影部分}=S_{扇形OAC}-S_{△AOC}=\frac{60π×8^2}{360}-\frac{1}{2}×8×4\sqrt{3}=\frac{32}{3}π-16\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $△ CFG$是等腰三角形，理由见解析；
(2) 阴影部分的面积为$\frac{32}{3}π-16\sqrt{3}$，辅助线如图：
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，弓形面积计算
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、等腰三角形的判定和不规则图形面积的计算，解题关键是熟练运用等弧对等角的性质推导角的关系，计算阴影面积时灵活使用割补法，将不规则图形转化为规则图形的面积差求解。
【难度系数】
0.6
