基础知识·预习
问题1 运用完全平方公式进行整式乘法的运算和因式分解，有什么关系？
问题2 举例说明如何运用完全平方公式分解因式。

解：
问题1
运用完全平方公式的整式乘法，是将形如$(a\pm b)^2$的整式乘积展开为多项式$a^2\pm2ab+b^2$的形式；
运用完全平方公式的因式分解，是将符合特征的二次三项式$a^2\pm2ab+b^2$变形为$(a\pm b)^2$的形式；
二者是方向相反的互逆恒等变形。
问题2
示例1：分解因式$x^2+6x+9$
观察多项式：首项$x^2$是$x$的平方，末项$9$是$3$的平方，中间项$6x=2· x·3$，符合完全平方式$a^2+2ab+b^2$的特征，对应$a=x$，$b=3$，因此：
$x^2+6x+9=x^2+2· x·3+3^2=(x+3)^2$
示例2：分解因式$4x^2-20xy+25y^2$
观察多项式：首项$4x^2=(2x)^2$，末项$25y^2=(5y)^2$，中间项$-20xy=-2·2x·5y$，符合完全平方式$a^2-2ab+b^2$的特征，对应$a=2x$，$b=5y$，因此：
$4x^2-20xy+25y^2=(2x)^2-2·2x·5y+(5y)^2=(2x-5y)^2$

【典型例题】分解因式：
(1)$m^2 -14m +49$；
(2)$4x^2 -12xy +9y^2$；
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$。
【解】(1)$m^2 -14m +49$
$=m^2 -2· m·7 +7^2$
$=(m-7)^2$。
(2)$4x^2 -12xy +9y^2$
$=(2x)^2 -2·2x·3y +(3y)^2$
$=(2x-3y)^2$。
(3)$a^2 +2a(b+c)+(b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$。
规律方法 1. 完全平方公式的特点：
左边是一个三项式，其中两项同号，且均为一个整式的平方（平方项），另一项是平方项幂的底数的2倍（乘积项），符号可正也可负，右边是两个整式的和（或差）的平方，中间的符号与左边的乘积项的符号相同。
2. 运用完全平方公式分解因式的一般步骤：
(1)观察多项式的特点，确定$a,b$；
(2)把多项式写成$a^2\pm2ab +b^2$的形式；
(3)因式分解成$(a\pm b)^2$的形式；
(4)因式分解结果能化简的要进行化简。

解：
(1) $m^2 -14m +49$
$=m^2 - 2· m · 7 + 7^2$
$=(m-7)^2$
(2) $4x^2 -12xy +9y^2$
$=(2x)^2 - 2· 2x · 3y + (3y)^2$
$=(2x-3y)^2$
(3) $a^2 + 2a(b+c) + (b+c)^2$
$=[a+(b+c)]^2$
$=(a+b+c)^2$

1. 填空：
(1) $x^2 + 10x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2) $25a^2 + 30ab + \_\_\_\_\_\_ = (\_\_\_\_\_\_)^2$。

1.(1)25 5 (2)$9b^2$ $5a+3b$ 【解析】(1)$10x=2· x · 5$,则有$x^2 +10x +5^2=(x+5)^2$。
(2)$25a^2=(5a)^2$,$30ab=2 · 5a · 3b$,则有$25a^2 +30ab +9b^2=(5a+3b)^2$。