13. 如图18-39,在平行四边形ABCD中,连接BD,E为线段AD的中点,延长BE与CD的延长线交于点F,连接AF,$∠BDF=90^{\circ }$.
(1)求证:四边形ABDF是矩形;
(2)若$AD=5,DF=3$,求四边形ABCF的面积S.

(1) ∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，∴ $BA // CD$，∴ $∠BAE = ∠FDE$。∵ $E$ 为线段 $AD$ 的中点，∴ $AE = DE$。在 $△BEA$ 和 $△FED$ 中，$\begin{cases}∠BAE = ∠FDE\\AE = DE\\∠BEA = ∠FED\end{cases}$，∴ $△BEA ≌ △FED (ASA)$，∴ $EF = EB$。又 ∵ $AE = DE$，∴ 四边形 $ABDF$ 是平行四边形。∵ $∠BDF = 90°$，∴ 四边形 $ABDF$ 是矩形。
(2) 由 (1) 得，四边形 $ABDF$ 是矩形，∴ $∠AFD = 90°$，$AB = DF = 3$，$AF = BD$，∴ $AF = \sqrt{AD² - DF²} = \sqrt{5² - 3²} = 4$，∴ $S_{矩形ABDF} = DF · AF = 3 × 4 = 12$，$BD = AF = 4$。∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，∴ $CD = AB = 3$，∴ $S_{△BCD} = \frac{1}{2}BD · CD = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$，∴ 四边形 $ABCF$ 的面积 $S = S_{矩形ABDF} + S_{△BCD} = 12 + 6 = 18$，即四边形 $ABCF$ 的面积 $S$ 为 18。

1. 如图18-40,在$△ABC$中,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点.若$AB=6,BC=8$,则四边形BDEF的周长是( )

A. 28
B. 14
C. 10
D. 7

B

2. 如图18-41,在矩形ABCD中,$AB=6,BC=8$,过对角线交点O作$EF⊥AC$分别交AD于点E,交BC于点F,则DE的长是( )

A. 1
B.$\frac {7}{4}$
C. 2
D.$\frac {12}{5}$

B

3. 如图18-42,在矩形ABCD中,$AD＞AB$,点E,F分别在AD,BC边上,$EF// AB,AE=AB$,AF与BE相交于点O,连接OC.若$BF=2CF$,则OC与EF之间的数量关系正确的是( )

A.$2OC=\sqrt {5}EF$
B.$\sqrt {5}OC=2EF$
C.$2OC=\sqrt {3}EF$
D.$OC=EF$

A