7.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,分别以点$A,B$为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧相交于点$M,N$,作直线$MN$分别交$BC,AB$于点$D,E$.若$∠ B=50°$,则$∠ CAD$的度数是（）

A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$

7. B

【分析】
首先识别题中的尺规作图类型：以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧作直线MN，这是作线段AB的垂直平分线，因此可得MN垂直平分AB，进而推出$AD=BD$，得到$∠ BAD=∠ B$。再结合已知$AB=AC$，可知$△ ABC$是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质算出$∠ BAC$的度数，最后用$∠ BAC$减去$∠ BAD$即可求出$∠ CAD$的度数。
【解析】
解：由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
$\therefore AD=BD$，
$\therefore ∠ BAD=∠ B=50°$，
$\because AB=AC$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形，$∠ C=∠ B=50°$，
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-50°=80°$，
$\therefore ∠ CAD=∠ BAC-∠ BAD=80°-50°=30°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、等腰三角形性质以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是准确判断出MN是AB的垂直平分线，再结合三角形内角和计算角度，是几何角度计算类的常见基础题型。
【难度系数】
0.7

8.【新课标·数学文化】“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，点C固定，$OC=CD=DE$，点D，E可在槽中滑动。若$∠ BDE=78°$，则$∠ CDE$的度数是（）


A.$52°$
B.$66°$
C.$76°$
D.$78°$

8. C

【分析】
解题时先根据已知条件OC=CD=DE，判断出△OCD和△CDE都是等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到相等的角；再结合三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），推导出∠BDE和∠O的倍数关系，先求出∠O的度数，最后结合平角为180°的性质，即可计算出∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵ OC=CD=DE，
∴ △OCD和△CDE均为等腰三角形，
∴ ∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
∵ ∠DCE是△OCD的外角，
∴ ∠DCE=∠O + ∠ODC = 2∠O，
∴ ∠DEC=∠DCE=2∠O，
∵ ∠BDE是△ODE的外角，
∴ ∠BDE=∠O + ∠DEC = ∠O + 2∠O = 3∠O，
已知∠BDE=78°，
∴ 3∠O=78°，解得∠O=26°，
∴ ∠ODC=∠O=26°，
∵ O、D、B共线，∠ODC + ∠CDE + ∠BDE=180°，
∴ ∠CDE=180° - 26° - 78°=76°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，三角形外角性质，平角定义
【点评】
本题以古希腊“三等分角”的数学文化为背景，考查三角形相关基础性质的应用，解题的核心是理清图中角的和差、倍分关系，逐步推导未知角的度数，能够很好地考查学生对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

9.【分类讨论思想】等腰$△ ABC$中，已知$AB=AC,∠ BAC=120°,P$为直线$BC$上一点，$BP=AB$，则$∠ APB$的度数为________.

75°或15°

【分析】
解题时首先利用等腰三角形等边对等角的性质，先算出△ABC的底角∠ABC的度数；再注意题目中P为直线BC上的点，需分两种情况讨论：①点P在线段BC上；②点P在CB的延长线上。针对每种情况，结合BP=AB得到△ABP为等腰三角形，再利用三角形内角和定理计算∠APB的度数即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°，
分两种情况讨论：
① 当点P在线段BC上时：
∵BP=AB，
∴△ABP为等腰三角形，∠BAP=∠APB，
又
∵∠ABP=∠ABC=30°，
∴∠APB=(180°-∠ABP)÷2=(180°-30°)÷2=75°；
② 当点P在CB的延长线上时：
此时∠ABP=180°-∠ABC=180°-30°=150°，
∵BP=AB，
∴△ABP为等腰三角形，∠BAP=∠APB，
∴∠APB=(180°-∠ABP)÷2=(180°-150°)÷2=15°；
综上，∠APB的度数为75°或15°。
【答案】
75°或15°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“P在直线BC上”的条件，仅考虑P在线段BC上的情况导致漏解，解题时要注意区分“直线”和“线段”的差异，遇到动点在直线上的问题时要全面考虑所有可能的位置，合理分类讨论。
【难度系数】
0.6

10.(2024·玉林月考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D,E$分别在$AC,AB$上,且$BD=BC,BE=DE=AD$,求$∠ C$的度数.

10. 解:设$∠ EBD = α, \because EB=ED, \therefore ∠ EDB=∠ EBD=α. \because AD=ED, \therefore ∠ A=∠ AED=2α. \therefore ∠ BDC=∠ A + ∠ EBD=3α. \because BD=BC, \therefore ∠ C=∠ BDC=3α. \because AB=AC, \therefore ∠ ABC=∠ C=3α. 在△ABC中,∠ A + ∠ ABC + ∠ C=180°, \therefore 2α + 3α + 3α=180°. \therefore α=22.5°. \therefore ∠ C=67.5°.$

【分析】
本题属于等腰三角形角度计算的典型题型，解题思路为：首先观察到题中有多组相等的边，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到多组相等的角，再结合三角形外角的性质推导不同角之间的数量关系；我们可以设最小的未知角为参数，将△ABC的三个内角都用该参数表示，最后根据三角形内角和为180°列方程求解即可得到角的度数。
【解析】
解：设$∠EBD = α$，
$\because EB=ED$，$\therefore ∠EDB=∠EBD=α$，
$\because ∠AED$是$△ BED$的外角，$\therefore ∠AED=∠EBD+∠EDB=2α$，
又$\because AD=ED$，$\therefore ∠A=∠AED=2α$，
$\because ∠BDC$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠BDC=∠A + ∠EBD=2α+α=3α$，
$\because BD=BC$，$\therefore ∠C=∠BDC=3α$，
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ABC=∠C=3α$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠A + ∠ABC + ∠C=180°$，
代入角的表达式得：$2α + 3α + 3α=180°$，
解得$α=22.5°$，
$\therefore ∠C=3α=3×22.5°=67.5°$。
【答案】
$67.5°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常规考法，核心是通过等腰三角形的性质实现边和角的条件转化，结合外角性质建立角之间的联系，用设参数构建方程的思路求解，能够有效考查几何逻辑推理能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7

11.(教材P86习题T13改编) 一材多题
如图,在$△ ABD$中,$BA=BD$.在$BD$的延长线上取点$E,C$,作$△ AEC$,使$EA=EC$.
(1)若$∠ BAE=90°$,$∠ B=45°$,则$∠ DAC$的度数是;
(2)如果把(1)中的条件“$∠ B=45°$”去掉,$∠ BAE=90°$,那么$∠ DAC$的度数会改变吗?说明理由;
(3)如果把(1)中的条件“$∠ B=45°$”去掉,再将“$∠ BAE=90°$”改为“$∠ BAE=n°$”,则$∠ DAC$的度数是.

11. 解:(1) 45° (2) $∠ DAC$的度数不会改变.理由如下:$\because EA=EC, \therefore ∠ C=∠ EAC. \therefore ∠ AED=∠ C + ∠ EAC=2∠ C. \because BA=BD, \therefore ∠ BDA=∠ BAD. \because ∠ BAE=90°, \therefore ∠ B=90° - ∠ AEB=90° - 2∠ C. \therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}(180° - ∠ B)=\frac{1}{2}[180 - (90° - 2∠ C)]=45° + ∠ C. \therefore ∠ DAE=90° - ∠ BAD=90° - (45° + ∠ C)=45° - ∠ C. \therefore ∠ DAC=∠ DAE + ∠ EAC=45° - ∠ C + ∠ C=45°.$ (3) $\frac{1}{2}n°$

【分析】
本题围绕等腰三角形的角度计算展开，解题思路如下：
（1）先利用等腰△ABD的等边对等角性质，结合已知∠B=45°算出∠BAD的度数，再根据∠BAE=90°求出∠AEB，结合等腰△AEC的性质和外角定理求出∠C，最后通过角度和差计算∠DAC；
（2）判断∠DAC是否变化时，可将∠C设为参数，利用等腰三角形性质、三角形外角性质、内角和定理，将涉及的角度均用含∠C的式子表示，相加后消去参数即可得到固定值；
（3）将∠BAE替换为n°后，沿用（2）的推导逻辑，即可得到∠DAC和n°的数量关系。
【解析】
(1) 已知∠B=45°，∠BAE=90°，因此∠AEB=90°-45°=45°。
∵EA=EC，
∴∠EAC=∠C，又∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，可得∠C=22.5°。
∵BA=BD，
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}(180°-45°)=67.5°$，
则∠DAE=90°-∠BAD=90°-67.5°=22.5°，
因此∠DAC=∠DAE+∠EAC=22.5°+22.5°=45°。
(2) ∠DAC的度数不会改变，理由如下：
∵EA=EC，
∴∠C=∠EAC，因此∠AED=∠C+∠EAC=2∠C。
∵BA=BD，
∴∠BDA=∠BAD。
∵∠BAE=90°，
∴∠B=90°-∠AEB=90°-2∠C，
因此∠BAD=$\frac{1}{2}(180°-∠B)=\frac{1}{2}[180°-(90°-2∠C)]=45°+∠C$，
则∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C，
所以∠DAC=∠DAE+∠EAC=45°-∠C+∠C=45°，度数不发生改变。
(3) 设∠C=x，
∵EA=EC，
∴∠EAC=∠C=x，∠AED=2x。
∠B=180°-∠BAE-∠AED=180°-n°-2x，
∵BA=BD，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}(180°-∠B)=\frac{1}{2}[180°-(180°-n°-2x)]=\frac{1}{2}n°+x$，
则∠DAE=∠BAE-∠BAD=n°-($\frac{1}{2}n°+x$)=$\frac{1}{2}n°-x$，
因此∠DAC=∠DAE+∠EAC=$\frac{1}{2}n°-x +x=\frac{1}{2}n°$。
【答案】
(1) $\boxed{45°}$；(2) $\boxed{∠DAC的度数不会改变}$；(3) $\boxed{\frac{1}{2}n°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题从特殊情况到一般情况逐步推导，核心是利用等腰三角形等边对等角的性质，通过参数表示相关角度，消去参数后得到定值，能有效锻炼几何角度转化与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6