10.一学生队伍以 4 km/h 的速度从学校出发步行前往某地参加劳动。出发 0.5 h后，学校有紧急通知要传给队长，立即派了一名老师骑自行车以 14 km/h 的速度原路去追，该老师要用 h才能追上学生队伍。

10. $\frac{1}{5}$

【分析】
这是行程类的追及问题，解题核心是找到等量关系：老师追上学生队伍时，二者行驶的总路程相等。学生队伍比老师早出发0.5h，设老师的追赶时间为x h，那么学生队伍的总行驶时间为(x+0.5)h，根据“路程=速度×时间”分别表示出老师和学生的行驶路程，令二者相等列一元一次方程即可求解。
【解析】
设老师要用x h才能追上学生队伍。
老师行驶的路程为：$14x$ km
学生队伍的总行驶时间为$(x+0.5)$h，总行驶路程为：$4(x+0.5)$ km
追上时二者路程相等，列方程得：
$\begin{aligned}14x&=4(x+0.5)\\14x&=4x+2\\14x-4x&=2\\10x&=2\\x&=\frac{1}{5}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 追及问题
3. 路程速度时间关系
【点评】
本题是基础的行程类题目，核心考点是追及问题的等量关系判断，只要掌握行程问题基本公式、能准确列出一元一次方程即可解答，是行程类问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

11.如图,将一根绳子折成三段,然后按如图所示方式剪开。剪1刀,绳子变为4段;剪2刀,绳子变为7段;剪15刀,绳子变为 段。若绳子剪开后,正好变为103段,则剪了 刀。

11. 46 34

【分析】
首先观察题目给出的已知条件：剪1刀绳子变为4段，剪2刀变为7段，对比两次的刀数和段数，可发现每增加1刀，段数增加3段，由此可推导剪n刀时绳子段数的通用表达式，再分别代入对应数值求解即可。
【解析】
设剪的刀数为$ n $，剪开后绳子的段数为$ m $。
根据已知条件：
当$ n=1 $时，$ m=4=3×1+1 $；
当$ n=2 $时，$ m=7=3×2+1 $；
由此可得规律：$ m=3n+1 $。
1. 当剪15刀时，即$ n=15 $，代入公式得：
$ m=3×15+1=46 $
2. 当绳子变为103段时，即$ m=103 $，代入公式得：
$ 103=3n+1 $
移项得$ 3n=103-1=102 $，解得$ n=34 $
【答案】
46；34
【知识点】
图形规律探究；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，核心是通过已知的对应关系归纳出通用的数量公式，再利用公式求解未知量，能较好地考查学生的归纳推理能力和简单计算能力。
【难度系数】
0.7

12.当$x$取何值时，$\frac{1-2x}{7}-1$和$\frac{4-x}{4}$的值相等？

解:根据题意,得$\frac{1-2x}{7}-1=\frac{4-x}{4}$。
去分母,得 4(1-2x)-28=7(4-x)。
去括号,得 4-8x-28=28-7x。
移项、合并同类项,得$-x=52$。
系数化为 1,得 $x=-52$。

【分析】
要解决该问题，首先抓住“两个代数式的值相等”这一核心等量关系，先列出对应的一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤逐步求解即可。解题时要注意去分母时不要漏乘没有分母的项，去括号时要注意符号变化，避免计算错误。
【解析】
解：根据题意，得 $\frac{1-2x}{7}-1=\frac{4-x}{4}$
去分母，得 $4(1-2x)-28=7(4-x)$
去括号，得 $4-8x-28=28-7x$
移项、合并同类项，得 $-x=52$
系数化为1，得 $x=-52$
【答案】
$x=-52$
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是找到等量关系列方程，解题过程中需注意去分母时常数项不要漏乘公分母，去括号时要正确处理符号，避免因计算细节失误丢分。
【难度系数】
0.75

13.某车间有62名工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个，应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套？（3个甲种零件和2个乙种零件配成一套）

解:设应分配 $x$ 人生产甲种零件,则有(62-x)人生产乙种零件。
由题意得 $2×12x=3×23×(62-x)$,
解得 $x=46,62-46=16$(人),
所以应分配 46 人生产甲种零件,16 人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套。

【分析】
这是一道一元一次方程配套类应用题，解题思路清晰可寻：首先明确已知条件，总共有62名工人，每人每天生产甲零件12个或乙零件23个，3个甲和2个乙配成一套。接着找核心等量关系：一是生产甲零件的人数+生产乙零件的人数=62；二是要刚好配套，甲零件总数量:乙零件总数量=3:2，根据比例性质可转化为$2×甲零件总数=3×乙零件总数$。最后设生产甲零件的人数为未知数，用含未知数的式子表示乙零件生产人数和两种零件的总数量，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设应分配$x$人生产甲种零件，则有$(62-x)$人生产乙种零件。
根据配套的数量关系列方程：
$2×12x=3×23×(62-x)$
化简得：$24x=69(62-x)$
展开右侧：$24x=4278-69x$
移项合并同类项：$93x=4278$
解得：$x=46$
生产乙种零件的人数为：$62-46=16$（人）
【答案】
应分配46人生产甲种零件，16人生产乙种零件。
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题；解方程
【点评】
本题是典型的生产配套类应用题，解题的关键是准确把配套的比例关系转化为方程的等量关系，注意不要将比例对应关系弄反，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

14.某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价；乙种商品每件进价50元，售价80元。
(1)甲种商品每件售价为元，乙种商品每件的利润为元，利润率为；
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件。

14. 解:(1)60 30 $60\%$
(2)设购进甲种商品 $x$ 件,则购进乙种商品(50-x)件,
由题意,得 $40x+50(50-x)=2\ 100$,
解得 $x=40$,
$50-40=10$(件),
所以购进甲种商品 40 件,乙种商品 10 件。

【分析】
(1) 计算甲商品售价时，已知甲进价40元，加价50%作为售价，即售价为进价的(1+50%)，用进价乘对应占比即可求出；乙商品的利润遵循“利润=售价-进价”的关系，直接代入数值计算即可；利润率的计算公式为“利润率=利润÷进价×100%”，代入乙的利润和进价即可算出结果。
(2) 本题是一元一次方程实际应用问题，核心是找到等量关系：甲商品总进价+乙商品总进价=2100元。可设购进甲种商品x件，因甲乙共50件，故乙种商品为(50-x)件，再根据“总进价=单件进价×数量”分别表示出甲、乙的总进价，代入等量关系列方程，求解得到甲的数量后，用总数减去甲的数量即可得到乙的数量。
【解析】
(1) 甲种商品每件售价：$40×(1+50\%) = 60$（元）
乙种商品每件利润：$80-50 = 30$（元）
乙种商品利润率：$\frac{30}{50}×100\% = 60\%$
(2) 设购进甲种商品$x$件，则购进乙种商品$(50-x)$件，
由总进价为2100元可得方程：
$40x + 50(50-x) = 2100$
展开得：$40x + 2500 - 50x = 2100$
移项合并同类项得：$-10x = -400$
解得：$x = 40$
则乙种商品的数量为：$50 - 40 = 10$（件）
【答案】
(1) $\boxed{60}$；$\boxed{30}$；$\boxed{60\%}$
(2) 购进甲种商品40件，乙种商品10件。
【知识点】
销售利润计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的销售场景，既考查了售价、利润、利润率等销售类基本量的计算，又考查了利用一元一次方程解决实际问题的能力，解题的关键是牢记销售类基本公式，准确找到等量关系列方程，属于基础题型。
【难度系数】
0.85