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1. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的(
A.三边高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
（第1题图）
（第2题图）
D
).A.三边高的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
（第1题图）
（第2题图）
答案
1. D
解析
【分析】
首先明确：质地均匀的物体能被支撑保持平衡的点就是该物体的重心，因此本题本质是寻找三角形的重心。接下来只需回忆三角形各类特殊交点的定义，判断哪类线的交点对应三角形重心，即可选出正确答案。
【解析】
支起质地均匀的三角形卡片的支撑点应为三角形的重心。
三角形的重心是三角形三条中线的交点，对各选项分析如下：
A选项：三边高的交点是三角形的垂心，不符合要求；
B选项：三条角平分线的交点是三角形的内心，即内切圆圆心，不符合要求；
C选项：三边垂直平分线的交点是三角形的外心，即外接圆圆心，不符合要求；
D选项：三边中线的交点是三角形的重心，符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形重心概念；三角形特殊点辨析；重心与平衡的关系
【点评】
本题结合生活中的平衡现象考查三角形特殊交点的性质，属于基础概念题，解题关键是准确区分三角形不同特殊线交点对应的名称和作用，牢记重心的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
首先明确：质地均匀的物体能被支撑保持平衡的点就是该物体的重心，因此本题本质是寻找三角形的重心。接下来只需回忆三角形各类特殊交点的定义，判断哪类线的交点对应三角形重心，即可选出正确答案。
【解析】
支起质地均匀的三角形卡片的支撑点应为三角形的重心。
三角形的重心是三角形三条中线的交点，对各选项分析如下：
A选项：三边高的交点是三角形的垂心，不符合要求；
B选项：三条角平分线的交点是三角形的内心，即内切圆圆心，不符合要求；
C选项：三边垂直平分线的交点是三角形的外心，即外接圆圆心，不符合要求；
D选项：三边中线的交点是三角形的重心，符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形重心概念；三角形特殊点辨析；重心与平衡的关系
【点评】
本题结合生活中的平衡现象考查三角形特殊交点的性质，属于基础概念题，解题关键是准确区分三角形不同特殊线交点对应的名称和作用，牢记重心的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2.如图，点O是△ABC的重心，连接AO，并延长交BC于点D，连接BO，并延长交AC于点E.若BC=6，AC=4，则BD+AE=
5
.答案
2. 5
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形重心的相关性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，由此可知AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，即D是BC的中点、E是AC的中点，进而可分别求出BD和AE的长度，相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，
∴D为BC的中点，E为AC的中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，
∴$BD+AE=3+2=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形重心的性质，线段中点的计算
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查对三角形重心性质的理解和应用，解题的关键是明确重心为三角形三条中线的交点，从而得到对应边的中点，结合线段中点的性质计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形重心的相关性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，由此可知AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，即D是BC的中点、E是AC的中点，进而可分别求出BD和AE的长度，相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的重心，
∴AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，
∴D为BC的中点，E为AC的中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，
∴$BD+AE=3+2=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形重心的性质，线段中点的计算
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查对三角形重心性质的理解和应用，解题的关键是明确重心为三角形三条中线的交点，从而得到对应边的中点，结合线段中点的性质计算即可。
【难度系数】
0.8
3. 画出正六边形ABCDEF的重心. 
答案
解 如图,点O就是所求作的点。
解析
【分析】
匀质规则几何图形的重心与它的几何中心重合，正六边形是中心对称图形，对称中心就是它的几何中心。因此要找正六边形的重心，只需找到它的对称中心即可：我们可以作两条过正六边形相对顶点的对角线，两条对角线的交点就是对称中心，也就是所求的重心。
【解析】
步骤1：连接正六边形的相对顶点A、D，得到对角线AD；
步骤2：连接正六边形的另一组相对顶点C、F，得到对角线CF，AD与CF交于点O；
因为正六边形是匀质规则平面图形，重心与它的对称中心（几何中心）重合，因此交点O就是正六边形ABCDEF的重心。
【答案】
解 如图,点O就是所求作的点。
【知识点】
正六边形的性质；规则图形重心确定；中心对称图形性质
【点评】
本题是重心相关知识的基础考查题，解题关键是明确匀质规则图形的重心与几何中心重合的规律，结合正六边形的对称特性即可快速解题，能帮助学生巩固重心概念和正多边形的性质。
【难度系数】
0.9
匀质规则几何图形的重心与它的几何中心重合，正六边形是中心对称图形，对称中心就是它的几何中心。因此要找正六边形的重心，只需找到它的对称中心即可：我们可以作两条过正六边形相对顶点的对角线，两条对角线的交点就是对称中心，也就是所求的重心。
【解析】
步骤1：连接正六边形的相对顶点A、D，得到对角线AD；
步骤2：连接正六边形的另一组相对顶点C、F，得到对角线CF，AD与CF交于点O；
因为正六边形是匀质规则平面图形，重心与它的对称中心（几何中心）重合，因此交点O就是正六边形ABCDEF的重心。
【答案】
解 如图,点O就是所求作的点。
【知识点】
正六边形的性质；规则图形重心确定；中心对称图形性质
【点评】
本题是重心相关知识的基础考查题，解题关键是明确匀质规则图形的重心与几何中心重合的规律，结合正六边形的对称特性即可快速解题，能帮助学生巩固重心概念和正多边形的性质。
【难度系数】
0.9
4.已知在平面直角坐标系上,有一个L形组合体是由长方形①和长方形②组成,长方形①的四个顶点坐标分别为$(0,0),(4,0),(4,2),(0,2)$;长方形②的四个顶点坐标分别为$(4,2),(7,2),(7,4),(4,4)$.求该L形组合体的重心坐标.
答案
4. 解 设该L形组合体的重心坐标为$G(x,y)$,长方形①和长方形②的重心坐标分别为$G_1(x_1,y_1),G_2(x_2,y_2)$,面积分别为$S_1,S_2$,
由题意,得$x_1=2,y_1=1,x_2=5.5,y_2=3,S_1=4×2=8,S_2=3×2=6$,则$x=\frac{S_1}{S_1+S_2}x_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}x_2=\frac{8}{8+6}×2+\frac{6}{8+6}×5.5=\frac{7}{2}$,
$y=\frac{S_1}{S_1+S_2}y_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}y_2=\frac{8}{8+6}×1+\frac{6}{8+6}×3=\frac{13}{7}$,
故该L形组合体的重心坐标为$G(\frac{7}{2},\frac{13}{7})$.
由题意,得$x_1=2,y_1=1,x_2=5.5,y_2=3,S_1=4×2=8,S_2=3×2=6$,则$x=\frac{S_1}{S_1+S_2}x_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}x_2=\frac{8}{8+6}×2+\frac{6}{8+6}×5.5=\frac{7}{2}$,
$y=\frac{S_1}{S_1+S_2}y_1+\frac{S_2}{S_1+S_2}y_2=\frac{8}{8+6}×1+\frac{6}{8+6}×3=\frac{13}{7}$,
故该L形组合体的重心坐标为$G(\frac{7}{2},\frac{13}{7})$.
解析
【分析】
求解L形组合体的重心，可将其拆分为两个规则的长方形逐步计算：①长方形是中心对称图形，重心为其几何中心（对角线交点），可根据顶点坐标先求出两个长方形各自的重心坐标；②匀质薄板的组合体重心可通过加权平均计算，权重为各部分面积占总面积的比例，分别对横、纵坐标加权求和即可得到总重心坐标。
【解析】
设该L形组合体的重心坐标为$G(x,y)$，长方形①的重心为$G_1(x_1,y_1)$、面积为$S_1$，长方形②的重心为$G_2(x_2,y_2)$、面积为$S_2$。
1. 求单个长方形的重心坐标：
长方形①的顶点为$(0,0),(4,0),(4,2),(0,2)$，其重心为几何中心，故$x_1=\frac{0+4}{2}=2$，$y_1=\frac{0+2}{2}=1$；
长方形②的顶点为$(4,2),(7,2),(7,4),(4,4)$，同理得$x_2=\frac{4+7}{2}=5.5$，$y_2=\frac{2+4}{2}=3$。
2. 计算两个长方形的面积：
$S_1=4×2=8$，$S_2=(7-4)×(4-2)=6$，总面积$S_1+S_2=14$。
3. 加权计算总重心坐标：
$x=\frac{S_1x_1 + S_2x_2}{S_1+S_2}=\frac{8×2 + 6×5.5}{14}=\frac{49}{14}=\frac{7}{2}$
$y=\frac{S_1y_1 + S_2y_2}{S_1+S_2}=\frac{8×1 + 6×3}{14}=\frac{26}{14}=\frac{13}{7}$
【答案】
$(\frac{7}{2},\frac{13}{7})$
【知识点】
中心对称图形性质；组合体重心计算；坐标运算
【点评】
本题是组合图形重心求解的典型题，核心思路是将不规则图形拆分为规则图形，通过计算规则图形的重心和面积，再用加权平均法得到总重心，解题时需注意准确计算各部分的重心坐标和面积，避免算术错误。
【难度系数】
0.7
求解L形组合体的重心，可将其拆分为两个规则的长方形逐步计算：①长方形是中心对称图形，重心为其几何中心（对角线交点），可根据顶点坐标先求出两个长方形各自的重心坐标；②匀质薄板的组合体重心可通过加权平均计算，权重为各部分面积占总面积的比例，分别对横、纵坐标加权求和即可得到总重心坐标。
【解析】
设该L形组合体的重心坐标为$G(x,y)$，长方形①的重心为$G_1(x_1,y_1)$、面积为$S_1$，长方形②的重心为$G_2(x_2,y_2)$、面积为$S_2$。
1. 求单个长方形的重心坐标：
长方形①的顶点为$(0,0),(4,0),(4,2),(0,2)$，其重心为几何中心，故$x_1=\frac{0+4}{2}=2$，$y_1=\frac{0+2}{2}=1$；
长方形②的顶点为$(4,2),(7,2),(7,4),(4,4)$，同理得$x_2=\frac{4+7}{2}=5.5$，$y_2=\frac{2+4}{2}=3$。
2. 计算两个长方形的面积：
$S_1=4×2=8$，$S_2=(7-4)×(4-2)=6$，总面积$S_1+S_2=14$。
3. 加权计算总重心坐标：
$x=\frac{S_1x_1 + S_2x_2}{S_1+S_2}=\frac{8×2 + 6×5.5}{14}=\frac{49}{14}=\frac{7}{2}$
$y=\frac{S_1y_1 + S_2y_2}{S_1+S_2}=\frac{8×1 + 6×3}{14}=\frac{26}{14}=\frac{13}{7}$
【答案】
$(\frac{7}{2},\frac{13}{7})$
【知识点】
中心对称图形性质；组合体重心计算；坐标运算
【点评】
本题是组合图形重心求解的典型题，核心思路是将不规则图形拆分为规则图形，通过计算规则图形的重心和面积，再用加权平均法得到总重心，解题时需注意准确计算各部分的重心坐标和面积，避免算术错误。
【难度系数】
0.7
