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1. 三角形的内角和
三角形的内角和等于
三角形的内角和等于
180°
.答案
1. 180°
解析
【分析】
本题考查三角形内角和的基础概念，解题时只需回忆教材中明确的三角形内角和定理结论即可直接作答。三角形内角和定理是三角形相关知识的核心基础定理之一，属于需要熟练识记的内容，任意类型的三角形内角和都是固定的定值。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的三个内角相加的和为180°，因此横线处直接填入对应结论即可。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念识记题，是后续解决三角形角度计算、几何证明等相关问题的核心基础，需要熟练掌握该定理内容。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形内角和的基础概念，解题时只需回忆教材中明确的三角形内角和定理结论即可直接作答。三角形内角和定理是三角形相关知识的核心基础定理之一，属于需要熟练识记的内容，任意类型的三角形内角和都是固定的定值。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的三个内角相加的和为180°，因此横线处直接填入对应结论即可。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念识记题，是后续解决三角形角度计算、几何证明等相关问题的核心基础，需要熟练掌握该定理内容。
【难度系数】
0.9
1. 利用三角形的内角和定理求角度
[典例1]在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ A + 10°$，$∠ C = ∠ B + 10°$，求$△ ABC$各内角的度数.
规律方法 根据三角形的内角和定理建立方程模型，是用代数知识解决几何问题常用的方法.
2. 三角形的内角和定理的应用
[典例1]在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ A + 10°$，$∠ C = ∠ B + 10°$，求$△ ABC$各内角的度数.
规律方法 根据三角形的内角和定理建立方程模型，是用代数知识解决几何问题常用的方法.
2. 三角形的内角和定理的应用
答案
解：设$∠ A = x$，
则$∠ B = ∠ A + 10° = x + 10°$，
$∠ C = ∠ B + 10° = x + 20°$。
根据三角形内角和定理，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
代入得：
$x + (x + 10°) + (x + 20°) = 180°$
整理得$3x + 30° = 180°$，
解得$x = 50°$。
所以$∠ A = 50°$，$∠ B = 50° + 10° = 60°$，$∠ C = 60° + 10° = 70°$。
答：$△ ABC$中$∠ A$为$50°$，$∠ B$为$60°$，$∠ C$为$70°$。
则$∠ B = ∠ A + 10° = x + 10°$，
$∠ C = ∠ B + 10° = x + 20°$。
根据三角形内角和定理，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
代入得：
$x + (x + 10°) + (x + 20°) = 180°$
整理得$3x + 30° = 180°$，
解得$x = 50°$。
所以$∠ A = 50°$，$∠ B = 50° + 10° = 60°$，$∠ C = 60° + 10° = 70°$。
答：$△ ABC$中$∠ A$为$50°$，$∠ B$为$60°$，$∠ C$为$70°$。
解析
【分析】
首先观察题目给出的三角形三个内角的数量关系：∠B比∠A大10°，∠C比∠B大10°，三个角存在递推关联，因此可以设最小的角∠A为未知数x，将∠B、∠C都用含x的代数式表示，再结合三角形内角和为180°的定理，列出一元一次方程求解，得到x的值后再依次计算另外两个内角的度数即可。
【解析】
设$∠ A = x$，
则$∠ B = ∠ A + 10° = x + 10°$，
$∠ C = ∠ B + 10° = x + 20°$。
根据三角形内角和定理，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
代入得：
$x + (x + 10°) + (x + 20°) = 180°$
整理得$3x + 30° = 180°$，
解得$x = 50°$。
所以$∠ A = 50°$，$∠ B = 50° + 10° = 60°$，$∠ C = 60° + 10° = 70°$。
【答案】
$∠ A=50°$，$∠ B=60°$，$∠ C=70°$
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，核心解题思路是将几何角度的数量关系转化为代数方程求解，体现了用代数方法解决几何问题的常用思想，熟练掌握三角形内角和定理即可快速完成解答。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出的三角形三个内角的数量关系：∠B比∠A大10°，∠C比∠B大10°，三个角存在递推关联，因此可以设最小的角∠A为未知数x，将∠B、∠C都用含x的代数式表示，再结合三角形内角和为180°的定理，列出一元一次方程求解，得到x的值后再依次计算另外两个内角的度数即可。
【解析】
设$∠ A = x$，
则$∠ B = ∠ A + 10° = x + 10°$，
$∠ C = ∠ B + 10° = x + 20°$。
根据三角形内角和定理，$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
代入得：
$x + (x + 10°) + (x + 20°) = 180°$
整理得$3x + 30° = 180°$，
解得$x = 50°$。
所以$∠ A = 50°$，$∠ B = 50° + 10° = 60°$，$∠ C = 60° + 10° = 70°$。
【答案】
$∠ A=50°$，$∠ B=60°$，$∠ C=70°$
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，核心解题思路是将几何角度的数量关系转化为代数方程求解，体现了用代数方法解决几何问题的常用思想，熟练掌握三角形内角和定理即可快速完成解答。
【难度系数】
0.8
[典例2]如图,小慧想知道黑板上直线a,b所夹锐角的大小,但因交点不在黑板内,无法直接测量,便设计了间接测量方案,则直线a,b所夹锐角的度数为().
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
测得∠1=120°
∠2=100°
（典例2图）
↑北
（举一反三图）
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
测得∠1=120°
∠2=100°
（典例2图）
↑北
（举一反三图）
答案
B
解析
【分析】
要测量没有交点的直线a、b所夹锐角的度数，我们可以通过延长直线a、b使二者相交，构造出三角形，将所求夹角转化为三角形的一个内角。先利用邻补角的性质求出构造出的三角形的另外两个内角，再结合三角形内角和定理即可求出目标夹角的度数。
【解析】
解：延长直线a、b，使两直线相交，得到一个三角形。
根据邻补角的和为$180°$，可得该三角形的两个内角分别为：
$180° - ∠ 1 = 180° - 120° = 60°$，
$180° - ∠ 2 = 180° - 100° = 80°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得直线a、b所夹锐角的度数为：
$180° - 60° - 80° = 40°$。
【答案】
B
【知识点】
邻补角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角和定理的实际应用问题，解题的核心是运用转化思想，通过延长直线构造三角形，将无法直接测量的夹角转化为三角形的内角进行求解。
【难度系数】
0.7
要测量没有交点的直线a、b所夹锐角的度数，我们可以通过延长直线a、b使二者相交，构造出三角形，将所求夹角转化为三角形的一个内角。先利用邻补角的性质求出构造出的三角形的另外两个内角，再结合三角形内角和定理即可求出目标夹角的度数。
【解析】
解：延长直线a、b，使两直线相交，得到一个三角形。
根据邻补角的和为$180°$，可得该三角形的两个内角分别为：
$180° - ∠ 1 = 180° - 120° = 60°$，
$180° - ∠ 2 = 180° - 100° = 80°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得直线a、b所夹锐角的度数为：
$180° - 60° - 80° = 40°$。
【答案】
B
【知识点】
邻补角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角和定理的实际应用问题，解题的核心是运用转化思想，通过延长直线构造三角形，将无法直接测量的夹角转化为三角形的内角进行求解。
【难度系数】
0.7
[举一反三]如图，C地在B地的北偏西$40°$方向，C地在A地的北偏西$75°$方向，则$∠ ACB$的度数为
典例解析
典例1
解 $\because ∠ B = ∠ A + 10°, ∠ C = ∠ B + 10°, ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°, \therefore ∠ A + (∠ A + 10°) + (∠ A + 10° + 10°) = 180°, 3∠ A + 30° = 180°, \therefore ∠ A = 50°, \therefore ∠ B = 60°, ∠ C = 70°.$
典例2
答案 B
解析 如图,由题意知,直线$a,b$相交于点$A$,
$\because ∠ 1 = 120°, ∠ 2 = 100°, \therefore ∠ 3 = 180° - ∠ 1 = 60°, ∠ 4 = 180° - ∠ 2 = 80°,$
$\therefore ∠ A = 180° - ∠ 3 - ∠ 4 = 40°, \therefore$直线$a,b$所夹锐角的度数为$40°.$故选B.
35°
。典例解析
典例1
解 $\because ∠ B = ∠ A + 10°, ∠ C = ∠ B + 10°, ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°, \therefore ∠ A + (∠ A + 10°) + (∠ A + 10° + 10°) = 180°, 3∠ A + 30° = 180°, \therefore ∠ A = 50°, \therefore ∠ B = 60°, ∠ C = 70°.$
典例2
答案 B
解析 如图,由题意知,直线$a,b$相交于点$A$,
$\because ∠ 1 = 120°, ∠ 2 = 100°, \therefore ∠ 3 = 180° - ∠ 1 = 60°, ∠ 4 = 180° - ∠ 2 = 80°,$
$\therefore ∠ A = 180° - ∠ 3 - ∠ 4 = 40°, \therefore$直线$a,b$所夹锐角的度数为$40°.$故选B.
答案
35°
解析
【分析】
首先明确方向角的定义：所有正北方向的直线是互相平行的。要求∠ACB的度数，我们可以通过过点C作平行于正北方向的辅助线，利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，把题目给出的两个北偏西的角度转化为以点C为顶点的两个角，再通过角的和差关系即可算出∠ACB的度数。
【解析】
设过点A的正北方向线为AE，过点B的正北方向线为BF，由正北方向互相平行可得AE//BF。
过点C作CD//AE，则CD//BF//AE。
∵ C地在B地的北偏西40°方向，
∴ ∠FBC=40°，
又
∵ CD//BF，根据两直线平行，内错角相等，可得∠BCD=∠FBC=40°。
∵ C地在A地的北偏西75°方向，
∴ ∠EAC=75°，
又
∵ CD//AE，根据两直线平行，内错角相等，可得∠ACD=∠EAC=75°。
∴ ∠ACB=∠ACD - ∠BCD=75° - 40°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
方向角的概念，平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题重点考查方向角的理解与平行线性质的应用，解题关键是利用南北方向互相平行的特点构造辅助线，将已知角转化到目标角所在位置，属于基础题型，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先明确方向角的定义：所有正北方向的直线是互相平行的。要求∠ACB的度数，我们可以通过过点C作平行于正北方向的辅助线，利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，把题目给出的两个北偏西的角度转化为以点C为顶点的两个角，再通过角的和差关系即可算出∠ACB的度数。
【解析】
设过点A的正北方向线为AE，过点B的正北方向线为BF，由正北方向互相平行可得AE//BF。
过点C作CD//AE，则CD//BF//AE。
∵ C地在B地的北偏西40°方向，
∴ ∠FBC=40°，
又
∵ CD//BF，根据两直线平行，内错角相等，可得∠BCD=∠FBC=40°。
∵ C地在A地的北偏西75°方向，
∴ ∠EAC=75°，
又
∵ CD//AE，根据两直线平行，内错角相等，可得∠ACD=∠EAC=75°。
∴ ∠ACB=∠ACD - ∠BCD=75° - 40°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
方向角的概念，平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题重点考查方向角的理解与平行线性质的应用，解题关键是利用南北方向互相平行的特点构造辅助线，将已知角转化到目标角所在位置，属于基础题型，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
