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[典例4]计算：
(1)$(14x^4y^3)÷(7x^3y)$；
(2)$(-3a^5b^3c)÷(9a^4b^2)$；
(3)$(2x^2y)^3·(-7xy^2)÷(14x^4y^3)$。
(1)$(14x^4y^3)÷(7x^3y)$；
(2)$(-3a^5b^3c)÷(9a^4b^2)$；
(3)$(2x^2y)^3·(-7xy^2)÷(14x^4y^3)$。
答案
解：
(1) 原式$=(14÷7)· x^{4-3}· y^{3-1}$
$=2xy^2$
(2) 原式$=(-3÷9)· a^{5-4}· b^{3-2}· c$
$=-\frac{1}{3}abc$
(3) 原式$=8x^6y^3·(-7xy^2)÷(14x^4y^3)$
$=-56x^7y^5÷(14x^4y^3)$
$=(-56÷14)· x^{7-4}· y^{5-3}$
$=-4x^3y^2$
(1) 原式$=(14÷7)· x^{4-3}· y^{3-1}$
$=2xy^2$
(2) 原式$=(-3÷9)· a^{5-4}· b^{3-2}· c$
$=-\frac{1}{3}abc$
(3) 原式$=8x^6y^3·(-7xy^2)÷(14x^4y^3)$
$=-56x^7y^5÷(14x^4y^3)$
$=(-56÷14)· x^{7-4}· y^{5-3}$
$=-4x^3y^2$
解析
【分析】
这三道题均为整式乘除运算题，解题思路清晰：首先明确单项式除以单项式的核心法则：系数相除，同底数幂分别相除，仅在被除式中出现的字母连同指数直接作为商的因式；若运算中包含乘方，需遵循“先乘方、再乘除”的运算顺序，全程注意符号的处理。其中第(1)(2)题可直接套用单项式除法法则计算，第(3)题先算积的乘方，再算单项式乘法，最后算除法即可。
【解析】
(1) 根据单项式除以单项式法则拆分运算：
原式$=(14÷7)· x^{4-3}· y^{3-1}$
$=2xy^2$
(2) 注意系数符号以及仅在被除式中存在的字母$c$：
原式$=(-3÷9)· a^{5-4}· b^{3-2}· c$
$=-\frac{1}{3}abc$
(3) 先计算乘方，再依次计算乘法、除法：
原式$=8x^6y^3·(-7xy^2)÷(14x^4y^3)$
$=-56x^7y^5÷(14x^4y^3)$
$=(-56÷14)· x^{7-4}· y^{5-3}$
$=-4x^3y^2$
【答案】
(1)$2xy^2$；(2)$-\frac{1}{3}abc$；(3)$-4x^3y^2$
【知识点】
单项式除以单项式；积的乘方；整式乘除混合运算
【点评】
本题是整式乘除的基础题型，解题核心是熟练掌握各类运算法则，严格遵循运算顺序，注意负号和指数的计算，避免因粗心大意失分。
【难度系数】
0.8
这三道题均为整式乘除运算题，解题思路清晰：首先明确单项式除以单项式的核心法则：系数相除，同底数幂分别相除，仅在被除式中出现的字母连同指数直接作为商的因式；若运算中包含乘方，需遵循“先乘方、再乘除”的运算顺序，全程注意符号的处理。其中第(1)(2)题可直接套用单项式除法法则计算，第(3)题先算积的乘方，再算单项式乘法，最后算除法即可。
【解析】
(1) 根据单项式除以单项式法则拆分运算：
原式$=(14÷7)· x^{4-3}· y^{3-1}$
$=2xy^2$
(2) 注意系数符号以及仅在被除式中存在的字母$c$：
原式$=(-3÷9)· a^{5-4}· b^{3-2}· c$
$=-\frac{1}{3}abc$
(3) 先计算乘方，再依次计算乘法、除法：
原式$=8x^6y^3·(-7xy^2)÷(14x^4y^3)$
$=-56x^7y^5÷(14x^4y^3)$
$=(-56÷14)· x^{7-4}· y^{5-3}$
$=-4x^3y^2$
【答案】
(1)$2xy^2$；(2)$-\frac{1}{3}abc$；(3)$-4x^3y^2$
【知识点】
单项式除以单项式；积的乘方；整式乘除混合运算
【点评】
本题是整式乘除的基础题型，解题核心是熟练掌握各类运算法则，严格遵循运算顺序，注意负号和指数的计算，避免因粗心大意失分。
【难度系数】
0.8
5. 多项式除以单项式
[典例5]计算:
(1)$(\dfrac{2}{5}y^{3}-7xy^{2}+\dfrac{2}{3}y^{5})÷(\dfrac{2}{3}y^{2})$；
(2)$(-15x^{3}y+12xy^{2}-xy)÷(-xy)$.
(2)$(-3a^{5}b^{3}c)÷(9a^{4}b^{2})=(-3÷9)a^{5-4}b^{3-2}c=-\dfrac{1}{3}abc$.
(3)$(2x^{2}y)^{3}·(-7xy^{2})÷(14x^{4}y^{3})=8x^{6}y^{3}·(-7xy^{2})÷(14x^{4}y^{3})=(-56x^{7}y^{5})÷(14x^{4}y^{3})=-4x^{3}y^{2}$.
典例5
解 (1)$(\dfrac{2}{5}y^{3}-7xy^{2}+\dfrac{2}{3}y^{5})÷(\dfrac{2}{3}y^{2})=(\dfrac{2}{5}y^{3})÷(\dfrac{2}{3}y^{2})-(7xy^{2})÷(\dfrac{2}{3}y^{2})+(\dfrac{2}{3}y^{5})÷(\dfrac{2}{3}y^{2})=\dfrac{3}{5}y-\dfrac{21}{2}x+y^{3}$.
(2)$(-15x^{3}y+12xy^{2}-xy)÷(-xy)=(-15x^{3}y)÷(-xy)+(12xy^{2})÷(-xy)-(xy)÷(-xy)=15x^{2}-12y+1$.
[典例5]计算:
(1)$(\dfrac{2}{5}y^{3}-7xy^{2}+\dfrac{2}{3}y^{5})÷(\dfrac{2}{3}y^{2})$；
(2)$(-15x^{3}y+12xy^{2}-xy)÷(-xy)$.
(2)$(-3a^{5}b^{3}c)÷(9a^{4}b^{2})=(-3÷9)a^{5-4}b^{3-2}c=-\dfrac{1}{3}abc$.
(3)$(2x^{2}y)^{3}·(-7xy^{2})÷(14x^{4}y^{3})=8x^{6}y^{3}·(-7xy^{2})÷(14x^{4}y^{3})=(-56x^{7}y^{5})÷(14x^{4}y^{3})=-4x^{3}y^{2}$.
典例5
解 (1)$(\dfrac{2}{5}y^{3}-7xy^{2}+\dfrac{2}{3}y^{5})÷(\dfrac{2}{3}y^{2})=(\dfrac{2}{5}y^{3})÷(\dfrac{2}{3}y^{2})-(7xy^{2})÷(\dfrac{2}{3}y^{2})+(\dfrac{2}{3}y^{5})÷(\dfrac{2}{3}y^{2})=\dfrac{3}{5}y-\dfrac{21}{2}x+y^{3}$.
(2)$(-15x^{3}y+12xy^{2}-xy)÷(-xy)=(-15x^{3}y)÷(-xy)+(12xy^{2})÷(-xy)-(xy)÷(-xy)=15x^{2}-12y+1$.
答案
解：
(1) 原式$=(\dfrac{2}{5}y^{3})÷(\dfrac{2}{3}y^{2}) - 7xy^{2}÷(\dfrac{2}{3}y^{2}) + \dfrac{2}{3}y^{5}÷(\dfrac{2}{3}y^{2})$
$=\dfrac{3}{5}y - \dfrac{21}{2}x + y^{3}$
(2) 原式$=(-15x^{3}y)÷(-xy) + 12xy^{2}÷(-xy) - xy÷(-xy)$
$=15x^{2} - 12y + 1$
(1) 原式$=(\dfrac{2}{5}y^{3})÷(\dfrac{2}{3}y^{2}) - 7xy^{2}÷(\dfrac{2}{3}y^{2}) + \dfrac{2}{3}y^{5}÷(\dfrac{2}{3}y^{2})$
$=\dfrac{3}{5}y - \dfrac{21}{2}x + y^{3}$
(2) 原式$=(-15x^{3}y)÷(-xy) + 12xy^{2}÷(-xy) - xy÷(-xy)$
$=15x^{2} - 12y + 1$
解析
【分析】
解决多项式除以单项式类题目，首先要明确运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。运算时需遵循单项式除以单项式的规则：系数相除得到商的系数，同底数幂相除时底数不变、指数相减，同时要注意每一项的符号，除以负数时原项的符号要对应改变。本题解题时先把两个多项式分别拆分为单个项，依次除以对应的单项式，计算每一项的商后合并即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$=(\dfrac{2}{5}y^{3})÷(\dfrac{2}{3}y^{2}) - 7xy^{2}÷(\dfrac{2}{3}y^{2}) + \dfrac{2}{3}y^{5}÷(\dfrac{2}{3}y^{2})$
$=\dfrac{3}{5}y - \dfrac{21}{2}x + y^{3}$
(2) 原式$=(-15x^{3}y)÷(-xy) + 12xy^{2}÷(-xy) - xy÷(-xy)$
$=15x^{2} - 12y + 1$
【答案】
(1) $\dfrac{3}{5}y - \dfrac{21}{2}x + y^{3}$；(2) $15x^{2} - 12y + 1$
【知识点】
多项式除以单项式；单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式除法的基础运算题，重点考查对多项式除以单项式运算法则的掌握情况，运算时需格外注意符号处理，同时要避免系数计算错误、指数运算错误、漏项等常见问题。
【难度系数】
0.8
解决多项式除以单项式类题目，首先要明确运算法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。运算时需遵循单项式除以单项式的规则：系数相除得到商的系数，同底数幂相除时底数不变、指数相减，同时要注意每一项的符号，除以负数时原项的符号要对应改变。本题解题时先把两个多项式分别拆分为单个项，依次除以对应的单项式，计算每一项的商后合并即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$=(\dfrac{2}{5}y^{3})÷(\dfrac{2}{3}y^{2}) - 7xy^{2}÷(\dfrac{2}{3}y^{2}) + \dfrac{2}{3}y^{5}÷(\dfrac{2}{3}y^{2})$
$=\dfrac{3}{5}y - \dfrac{21}{2}x + y^{3}$
(2) 原式$=(-15x^{3}y)÷(-xy) + 12xy^{2}÷(-xy) - xy÷(-xy)$
$=15x^{2} - 12y + 1$
【答案】
(1) $\dfrac{3}{5}y - \dfrac{21}{2}x + y^{3}$；(2) $15x^{2} - 12y + 1$
【知识点】
多项式除以单项式；单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式除法的基础运算题，重点考查对多项式除以单项式运算法则的掌握情况，运算时需格外注意符号处理，同时要避免系数计算错误、指数运算错误、漏项等常见问题。
【难度系数】
0.8
