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13. 图①是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起.图②是其示意图，其中四边形BCDE是矩形，$AB=CD=3.3\mathrm{m}$，$BC=1\mathrm{m}$，现由于故障，AB不能完全升起，$∠ ABE$最大为$42°$.
（1）故障时，点A距离地面最高多少米？
（2）若一辆箱式小货车宽$1.8\mathrm{m}$，高$2.4\mathrm{m}$，则这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？请说明理由.
（精确到$0.1\mathrm{m}$.参考数据：$\sin42° \approx 0.67$，$\cos42° \approx 0.74$，$\tan42° \approx 0.9$）
（第13题）
（1）故障时，点A距离地面最高多少米？
（2）若一辆箱式小货车宽$1.8\mathrm{m}$，高$2.4\mathrm{m}$，则这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？请说明理由.
（精确到$0.1\mathrm{m}$.参考数据：$\sin42° \approx 0.67$，$\cos42° \approx 0.74$，$\tan42° \approx 0.9$）
（第13题）答案
13. (1) 如图,过点 $A$ 作 $AF ⊥ BE$,垂足为 $F$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中, $∠ ABE = 42°$, $AB = 3.3\ \mathrm{m}$, $\therefore AF = AB · \sin 42° \approx 3.3 × 0.67 = 2.211(\mathrm{m})$. $\because BC = 1\ \mathrm{m}$, $\therefore$ 故障时,点 $A$ 距离地面最高为 $2.211 + 1 \approx 3.2(\mathrm{m})$
(2) 不能.理由如下:如图,在 $DC$ 上截取 $DH = 1.8\ \mathrm{m}$,过点 $H$ 作 $GH ⊥ CD$,交 $BE$ 于点 $M$,交 $AB$ 于点 $G$. 根据题意,得 $BC = MH = 1\ \mathrm{m}$, $DH = ME = 1.8\ \mathrm{m}$, $BE = CD = 3.3\ \mathrm{m}$. $\therefore BM = BE - EM = 3.3 - 1.8 = 1.5(\mathrm{m})$. 在 $\mathrm{Rt}△ BMG$ 中, $∠ ABE = 42°$, $\therefore GM = BM · \tan 42° \approx 1.5 × 0.9 = 1.35(\mathrm{m})$. $\therefore GH = GM + MH = 1.35 + 1 = 2.35(\mathrm{m})$. $\because 2.35\ \mathrm{m} ＜ 2.4\ \mathrm{m}$, $\therefore$ 这辆车不能在升降杆故障时进入停车场
14. 下面是小明的数学笔记,请仔细阅读并完成相应的任务:
今天,我们学习了锐角三角函数,知道在$\mathrm{Rt}△ ABC$中(其中$∠ C=90°$, $∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别为$a$、$b$、$c$),正弦等于对边比斜边,即$\sin A=\frac{a}{c}$;余弦等于邻边比斜边,即$\cos A=\frac{b}{c}$;正切等于对边比邻边,即$\tan A=\frac{a}{b}$.
我还查阅到任意三角形中三条边之间的一个关系,即
正弦定理:在任意一个三角形中,各边和它所对角的正弦值的比值相等,即$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$. 我认真思考,探究过程如下:
【探索证明】
已知:如图,在锐角三角形$ABC$中,$∠ BAC$、$∠ ABC$、$∠ ACB$的对边分别为$a$、$b$、$c$.
求证:$\frac{a}{\sin∠ BAC}=\frac{b}{\sin∠ ABC}=\frac{c}{\sin∠ ACB}$.
证明:如图,过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$,则$∠ ADC=∠ ADB=90°$.
$\therefore △ ABD$和$△ ACD$都是直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\sin∠ ABD=\frac{AD}{AB}$,即$\sin∠ ABC=\frac{AD}{AB}$.
$\therefore AD=AB·\sin∠ ABC$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$\sin∠ ACD=\frac{AD}{AC}$,即$\sin∠ ACB=\frac{AD}{AC}$.
$\therefore AD=AC·\sin∠ ACB$.
$\therefore AB·\sin∠ ABC=AC·\sin∠ ACB$,即$\frac{AC}{\sin∠ ABC}=\frac{AB}{\sin∠ ACB}$.
$\because ∠ ABC$、$∠ ACB$的对边分别为$b$、$c$,即$AC=b$, $AB=c$,
$\therefore \frac{b}{\sin∠ ABC}=\frac{c}{\sin∠ ACB}$.
……
任务:(1) 帮助小明将材料中的证明过程补充完整;
(2) 已知在锐角三角形$ABC$中,$b=\sqrt{2}$, $∠ B=60°$, $∠ C=45°$,则$△ ABC$的周长为
今天,我们学习了锐角三角函数,知道在$\mathrm{Rt}△ ABC$中(其中$∠ C=90°$, $∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别为$a$、$b$、$c$),正弦等于对边比斜边,即$\sin A=\frac{a}{c}$;余弦等于邻边比斜边,即$\cos A=\frac{b}{c}$;正切等于对边比邻边,即$\tan A=\frac{a}{b}$.
我还查阅到任意三角形中三条边之间的一个关系,即
正弦定理:在任意一个三角形中,各边和它所对角的正弦值的比值相等,即$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$. 我认真思考,探究过程如下:
【探索证明】
已知:如图,在锐角三角形$ABC$中,$∠ BAC$、$∠ ABC$、$∠ ACB$的对边分别为$a$、$b$、$c$.
求证:$\frac{a}{\sin∠ BAC}=\frac{b}{\sin∠ ABC}=\frac{c}{\sin∠ ACB}$.
证明:如图,过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$,则$∠ ADC=∠ ADB=90°$.
$\therefore △ ABD$和$△ ACD$都是直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\sin∠ ABD=\frac{AD}{AB}$,即$\sin∠ ABC=\frac{AD}{AB}$.
$\therefore AD=AB·\sin∠ ABC$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$\sin∠ ACD=\frac{AD}{AC}$,即$\sin∠ ACB=\frac{AD}{AC}$.
$\therefore AD=AC·\sin∠ ACB$.
$\therefore AB·\sin∠ ABC=AC·\sin∠ ACB$,即$\frac{AC}{\sin∠ ABC}=\frac{AB}{\sin∠ ACB}$.
$\because ∠ ABC$、$∠ ACB$的对边分别为$b$、$c$,即$AC=b$, $AB=c$,
$\therefore \frac{b}{\sin∠ ABC}=\frac{c}{\sin∠ ACB}$.
……
任务:(1) 帮助小明将材料中的证明过程补充完整;
(2) 已知在锐角三角形$ABC$中,$b=\sqrt{2}$, $∠ B=60°$, $∠ C=45°$,则$△ ABC$的周长为
$\sqrt{3}+\sqrt{2}+1$
. (参考数据:$\sin15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\sin75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$)答案
14. (1) 同理可得, $\frac{a}{\sin ∠ BAC} = \frac{c}{\sin ∠ ACB}$. $\therefore \frac{a}{\sin ∠ BAC} = \frac{b}{\sin ∠ ABC} = \frac{c}{\sin ∠ ACB}$
(2) $\sqrt{3}+\sqrt{2}+1$
(2) $\sqrt{3}+\sqrt{2}+1$
