登录
5 一题多解 如图，C为射线AD上一点，∠A=∠B，PA=PB，AP与BC相交于点M。若∠APB=2∠CPA，求证：BM=AC+CM.
答案
5. 解法一(补短法):如图①,在射线 AD 上截取 AE=BM,连接EP. 在△EPA 和△MPB 中,
$\begin{cases} AE=BM,\\ ∠A=∠B,\\ PA=PB, \end{cases}$
∴ △EPA≌△MPB.
∴ PE = PM, ∠EPA = ∠MPB.
∵ ∠APB = 2∠CPA,
∴ ∠MPB = ∠EPM = 2∠CPA.
∴ ∠EPC = ∠MPC. 在△EPC 和△MPC 中,
$\begin{cases} PE=PM,\\ ∠EPC=∠MPC,\\ CP=CP, \end{cases}$
∴ △EPC≌△MPC.
∴ EC=MC.
∴ BM=AE=AC+CE=AC+CM
解法二(截长法):如图②,在 BC 上截取 BG=AC,连接 PG. 在△ACP 和△BGP 中,
$\begin{cases} AP=BP,\\ ∠A=∠B,\\ AC=BG, \end{cases}$
∴ △ACP ≌ △BGP.
∴ ∠CPA = ∠GPB, PC = PG.
∵ ∠APB = 2∠CPA,
∴ ∠APB = 2∠GPB. 又
∵ ∠APB = ∠GPB + ∠GPA,
∴ ∠GPA = ∠GPB = ∠CPA. 在△CPM 和△GPM 中,
$\begin{cases} PC=PG,\\ ∠CPM=∠GPM,\\ PM=PM, \end{cases}$
∴ △CPM ≌ △GPM.
∴ CM = GM.
∴ BM=BG+GM=AC+CM
解析
【分析】
要证明$BM=AC+CM$这类线段和的等式，通常采用截长补短法构造全等三角形，将分散的线段转化到同一直线上推导。结合题目已知$∠ A=∠ B$、$PA=PB$的条件：①补短法可在$AD$上截取$AE=BM$，先证$△ EPA≌△ MPB$得到边、角相等，再结合$∠ APB=2∠ CPA$的条件证$△ EPC≌△ MPC$，得到$CE=CM$即可推导结论；②截长法可在$BM$上截取$BG=AC$，先证$△ ACP≌△ BGP$得到边、角相等，再结合角的倍数关系证$△ CPM≌△ GPM$，得到$CM=GM$即可推导结论。
【解析】
解法一(补短法):如图①,在射线$AD$上截取$AE=BM$,连接$EP$. 在$△ EPA$和$△ MPB$中,
$\begin{cases} AE=BM,\\ ∠ A=∠ B,\\ PA=PB, \end{cases}$
$\therefore △ EPA≌△ MPB(\mathrm{SAS})$.
$\therefore PE = PM, ∠ EPA = ∠ MPB$.
$\because ∠ APB = 2∠ CPA$,
$\therefore ∠ MPB = ∠ EPM = 2∠ CPA$.
$\therefore ∠ EPC = ∠ MPC$. 在$△ EPC$和$△ MPC$中,
$\begin{cases} PE=PM,\\ ∠ EPC=∠ MPC,\\ CP=CP, \end{cases}$
$\therefore △ EPC≌△ MPC(\mathrm{SAS})$.
$\therefore EC=MC$.
$\therefore BM=AE=AC+CE=AC+CM$.
解法二(截长法):如图②,在$BC$上截取$BG=AC$,连接$PG$. 在$△ ACP$和$△ BGP$中,
$\begin{cases} AP=BP,\\ ∠ A=∠ B,\\ AC=BG, \end{cases}$
$\therefore △ ACP ≌ △ BGP(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ CPA = ∠ GPB, PC = PG$.
$\because ∠ APB = 2∠ CPA$,
$\therefore ∠ APB = 2∠ GPB$. 又
$\because ∠ APB = ∠ GPB + ∠ GPA$,
$\therefore ∠ GPA = ∠ GPB = ∠ CPA$. 在$△ CPM$和$△ GPM$中,
$\begin{cases} PC=PG,\\ ∠ CPM=∠ GPM,\\ PM=PM, \end{cases}$
$\therefore △ CPM ≌ △ GPM(\mathrm{SAS})$.
$\therefore CM = GM$.
$\therefore BM=BG+GM=AC+CM$.
【答案】
$BM=AC+CM$，证明成立。
【知识点】
1.全等三角形的判定与性质 2.截长补短法 3.角的和差计算
【点评】
本题是构造全等三角形解决线段和差问题的典型习题，核心是通过截长补短的辅助线构造全等三角形，将零散的线段转移到同一条线段中建立关系，解题时要充分利用题目给出的等角、等边条件构造全等，结合角的数量关系完成后续推导。
【难度系数】
0.6
要证明$BM=AC+CM$这类线段和的等式，通常采用截长补短法构造全等三角形，将分散的线段转化到同一直线上推导。结合题目已知$∠ A=∠ B$、$PA=PB$的条件：①补短法可在$AD$上截取$AE=BM$，先证$△ EPA≌△ MPB$得到边、角相等，再结合$∠ APB=2∠ CPA$的条件证$△ EPC≌△ MPC$，得到$CE=CM$即可推导结论；②截长法可在$BM$上截取$BG=AC$，先证$△ ACP≌△ BGP$得到边、角相等，再结合角的倍数关系证$△ CPM≌△ GPM$，得到$CM=GM$即可推导结论。
【解析】
解法一(补短法):如图①,在射线$AD$上截取$AE=BM$,连接$EP$. 在$△ EPA$和$△ MPB$中,
$\begin{cases} AE=BM,\\ ∠ A=∠ B,\\ PA=PB, \end{cases}$
$\therefore △ EPA≌△ MPB(\mathrm{SAS})$.
$\therefore PE = PM, ∠ EPA = ∠ MPB$.
$\because ∠ APB = 2∠ CPA$,
$\therefore ∠ MPB = ∠ EPM = 2∠ CPA$.
$\therefore ∠ EPC = ∠ MPC$. 在$△ EPC$和$△ MPC$中,
$\begin{cases} PE=PM,\\ ∠ EPC=∠ MPC,\\ CP=CP, \end{cases}$
$\therefore △ EPC≌△ MPC(\mathrm{SAS})$.
$\therefore EC=MC$.
$\therefore BM=AE=AC+CE=AC+CM$.
解法二(截长法):如图②,在$BC$上截取$BG=AC$,连接$PG$. 在$△ ACP$和$△ BGP$中,
$\begin{cases} AP=BP,\\ ∠ A=∠ B,\\ AC=BG, \end{cases}$
$\therefore △ ACP ≌ △ BGP(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ CPA = ∠ GPB, PC = PG$.
$\because ∠ APB = 2∠ CPA$,
$\therefore ∠ APB = 2∠ GPB$. 又
$\because ∠ APB = ∠ GPB + ∠ GPA$,
$\therefore ∠ GPA = ∠ GPB = ∠ CPA$. 在$△ CPM$和$△ GPM$中,
$\begin{cases} PC=PG,\\ ∠ CPM=∠ GPM,\\ PM=PM, \end{cases}$
$\therefore △ CPM ≌ △ GPM(\mathrm{SAS})$.
$\therefore CM = GM$.
$\therefore BM=BG+GM=AC+CM$.
【答案】
$BM=AC+CM$，证明成立。
【知识点】
1.全等三角形的判定与性质 2.截长补短法 3.角的和差计算
【点评】
本题是构造全等三角形解决线段和差问题的典型习题，核心是通过截长补短的辅助线构造全等三角形，将零散的线段转移到同一条线段中建立关系，解题时要充分利用题目给出的等角、等边条件构造全等，结合角的数量关系完成后续推导。
【难度系数】
0.6
6 如图,在四边形$ABCD$中,$BA=BC$,$∠BAD+∠BCD=180°$,$∠ABC=2∠MBN$,$∠MBN$的两边分别交$AD$,$DC$于点$E$,$F$,连接$EF$,探究图中线段$AE$,$CF$,$EF$之间的数量关系.
答案
6. 延长 DC 到点 H,使 CH=AE,连接 BH.
∵ ∠BAD+∠BCD=180°,∠BCH+∠BCD=180°,
∴ ∠BAD=∠BCH.
∵ BA=BC,AE=CH,
∴ △BAE≌△BCH.
∴ BE=BH,∠ABE=∠CBH.
∴ 易得∠HBE=∠ABC.
∵ ∠ABC=2∠MBN,
∴ ∠HBE = 2∠MBN.
∴ ∠EBF = ∠HBF.
又
∵ BF=BF,BE=BH,
∴ △EBF≌△HBF.
∴ EF=HF.
∵ HF=CH+CF=AE+CF,
∴ EF=AE+CF
∵ ∠BAD+∠BCD=180°,∠BCH+∠BCD=180°,
∴ ∠BAD=∠BCH.
∵ BA=BC,AE=CH,
∴ △BAE≌△BCH.
∴ BE=BH,∠ABE=∠CBH.
∴ 易得∠HBE=∠ABC.
∵ ∠ABC=2∠MBN,
∴ ∠HBE = 2∠MBN.
∴ ∠EBF = ∠HBF.
又
∵ BF=BF,BE=BH,
∴ △EBF≌△HBF.
∴ EF=HF.
∵ HF=CH+CF=AE+CF,
∴ EF=AE+CF
解析
【分析】
本题需要探究三条分散线段的数量关系，可通过构造全等三角形将线段转移到同一条线段上分析。已知BA=BC，且∠BAD与∠BCD互补，适合用补短法添加辅助线：延长DC到点H，使CH=AE，先利用“SAS”证明△BAE≌△BCH，得到BE=BH以及角的等量关系，再结合∠ABC=2∠MBN的条件推导得到∠EBF=∠HBF，再次利用“SAS”证明△EBF≌△HBF，即可得到EF与HF的等量关系，进而推出AE、CF、EF的数量关系。
【解析】
延长 DC 到点 H,使 CH=AE,连接 BH.
∵ ∠BAD+∠BCD=180°,∠BCH+∠BCD=180°,
∴ ∠BAD=∠BCH.
∵ BA=BC,AE=CH,
∴ △BAE≌△BCH（SAS）.
∴ BE=BH,∠ABE=∠CBH.
∴ ∠HBE=∠ABC.
∵ ∠ABC=2∠MBN,
∴ ∠HBE = 2∠MBN.
∴ ∠EBF = ∠HBF.
又
∵ BF=BF,BE=BH,
∴ △EBF≌△HBF（SAS）.
∴ EF=HF.
∵ HF=CH+CF=AE+CF,
∴ EF=AE+CF
【答案】
$\boldsymbol{EF=AE+CF}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，补角的性质，截长补短法
【点评】
本题是构造全等三角形解决线段和差问题的典型题型，解题核心是结合已知的等边、互补角条件，合理选择补短法添加辅助线，将分散的线段转化到同一直线上建立等量关系，能有效考查学生对全等三角形知识的应用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
本题需要探究三条分散线段的数量关系，可通过构造全等三角形将线段转移到同一条线段上分析。已知BA=BC，且∠BAD与∠BCD互补，适合用补短法添加辅助线：延长DC到点H，使CH=AE，先利用“SAS”证明△BAE≌△BCH，得到BE=BH以及角的等量关系，再结合∠ABC=2∠MBN的条件推导得到∠EBF=∠HBF，再次利用“SAS”证明△EBF≌△HBF，即可得到EF与HF的等量关系，进而推出AE、CF、EF的数量关系。
【解析】
延长 DC 到点 H,使 CH=AE,连接 BH.
∵ ∠BAD+∠BCD=180°,∠BCH+∠BCD=180°,
∴ ∠BAD=∠BCH.
∵ BA=BC,AE=CH,
∴ △BAE≌△BCH（SAS）.
∴ BE=BH,∠ABE=∠CBH.
∴ ∠HBE=∠ABC.
∵ ∠ABC=2∠MBN,
∴ ∠HBE = 2∠MBN.
∴ ∠EBF = ∠HBF.
又
∵ BF=BF,BE=BH,
∴ △EBF≌△HBF（SAS）.
∴ EF=HF.
∵ HF=CH+CF=AE+CF,
∴ EF=AE+CF
【答案】
$\boldsymbol{EF=AE+CF}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，补角的性质，截长补短法
【点评】
本题是构造全等三角形解决线段和差问题的典型题型，解题核心是结合已知的等边、互补角条件，合理选择补短法添加辅助线，将分散的线段转化到同一直线上建立等量关系，能有效考查学生对全等三角形知识的应用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
7 如图，D为BC的中点，$DE ⊥ DF$，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF。若$BE=5$，$CF=3$，求EF长的取值范围。
答案
7. 延长 FD 到点 H,使 DH=DF,连接 BH,EH.
∵ D 为 BC的中点,
∴ CD=BD. 又
∵ FD=HD,∠CDF=∠BDH,
∴ △CDF≌△BDH.
∴ BH=CF=3.
∵ DE⊥DF,
∴ ∠EDF=∠EDH=90°. 又
∵ DE=DE,DF=DH,
∴ △FDE≌△HDE.
∴ EF=EH. 在△BEH 中,由三边关系,可知2＜EH＜8,
∴ 2＜EF＜8
∵ D 为 BC的中点,
∴ CD=BD. 又
∵ FD=HD,∠CDF=∠BDH,
∴ △CDF≌△BDH.
∴ BH=CF=3.
∵ DE⊥DF,
∴ ∠EDF=∠EDH=90°. 又
∵ DE=DE,DF=DH,
∴ △FDE≌△HDE.
∴ EF=EH. 在△BEH 中,由三边关系,可知2＜EH＜8,
∴ 2＜EF＜8
解析
【分析】
要确定EF的取值范围，已知BE、CF的长度，但三条线段分散在不同图形中，无法直接用三角形三边关系求解，因此需要通过构造全等三角形转化线段。观察到D是BC的中点，可采用倍长类中线的辅助线做法：延长FD到H使DH=DF，先证△CDF和△BDH全等，将CF转化为BH；再结合DE⊥DF的条件证△EDF和△EDH全等，将EF转化为EH，此时BE、BH、EH都在△BEH中，即可利用三角形三边关系求出EH的范围，也就是EF的范围。
【解析】
延长FD到点H，使DH=DF，连接BH，EH。
∵ D为BC的中点，
∴ CD=BD。
在$△ CDF$和$△ BDH$中：
$\begin{cases} CD=BD \\ ∠ CDF=∠ BDH \\ FD=HD \end{cases}$
∴ $△ CDF≌△ BDH(\mathrm{SAS})$，
∴ $BH=CF=3$。
∵ $DE⊥DF$，
∴ $∠ EDF=∠ EDH=90°$。
在$△ FDE$和$△ HDE$中：
$\begin{cases} DF=DH \\ ∠ EDF=∠ EDH \\ DE=DE \end{cases}$
∴ $△ FDE≌△ HDE(\mathrm{SAS})$，
∴ $EF=EH$。
在$△ BEH$中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得$BE-BH＜EH＜BE+BH$，
代入$BE=5$、$BH=3$，得$5-3＜EH＜5+3$，即$2＜EH＜8$，
∴ $2＜EF＜8$。
【答案】
$\boxed{2＜EF＜8}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形三边关系
3. 倍长中线构造全等
【点评】
本题是构造全等三角形求解线段范围的典型题，解题核心是通过倍长类中线的辅助线做法，将分散的已知线段和待求线段转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系得出结论，熟练掌握构造全等的常用辅助线方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.6
要确定EF的取值范围，已知BE、CF的长度，但三条线段分散在不同图形中，无法直接用三角形三边关系求解，因此需要通过构造全等三角形转化线段。观察到D是BC的中点，可采用倍长类中线的辅助线做法：延长FD到H使DH=DF，先证△CDF和△BDH全等，将CF转化为BH；再结合DE⊥DF的条件证△EDF和△EDH全等，将EF转化为EH，此时BE、BH、EH都在△BEH中，即可利用三角形三边关系求出EH的范围，也就是EF的范围。
【解析】
延长FD到点H，使DH=DF，连接BH，EH。
∵ D为BC的中点，
∴ CD=BD。
在$△ CDF$和$△ BDH$中：
$\begin{cases} CD=BD \\ ∠ CDF=∠ BDH \\ FD=HD \end{cases}$
∴ $△ CDF≌△ BDH(\mathrm{SAS})$，
∴ $BH=CF=3$。
∵ $DE⊥DF$，
∴ $∠ EDF=∠ EDH=90°$。
在$△ FDE$和$△ HDE$中：
$\begin{cases} DF=DH \\ ∠ EDF=∠ EDH \\ DE=DE \end{cases}$
∴ $△ FDE≌△ HDE(\mathrm{SAS})$，
∴ $EF=EH$。
在$△ BEH$中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得$BE-BH＜EH＜BE+BH$，
代入$BE=5$、$BH=3$，得$5-3＜EH＜5+3$，即$2＜EH＜8$，
∴ $2＜EF＜8$。
【答案】
$\boxed{2＜EF＜8}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形三边关系
3. 倍长中线构造全等
【点评】
本题是构造全等三角形求解线段范围的典型题，解题核心是通过倍长类中线的辅助线做法，将分散的已知线段和待求线段转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系得出结论，熟练掌握构造全等的常用辅助线方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.6
8 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫“倍长中线法”，即将中点处的线段延长一倍，构造全等三角形.
（1）如图①，AD是$△ ABC$的中线，$AB=8$，$AC=5$，求AD长的取值范围；
（2）如图②，$AB=AE$，$AC=AF$，$∠ BAE=∠ CAF=90°$，D为BC的中点，求证：$EF=2AD$；
（3）如图③，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，F是BC的中点，$∠ CEF=∠ ADB$，$∠ BAC+∠ BAD=180°$，试探究BD与EF的数量关系，并说明理由.
（1）如图①，AD是$△ ABC$的中线，$AB=8$，$AC=5$，求AD长的取值范围；
（2）如图②，$AB=AE$，$AC=AF$，$∠ BAE=∠ CAF=90°$，D为BC的中点，求证：$EF=2AD$；
（3）如图③，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，F是BC的中点，$∠ CEF=∠ ADB$，$∠ BAC+∠ BAD=180°$，试探究BD与EF的数量关系，并说明理由.
答案
8. (1) 如图①,延长 AD 至点 P,使 AD=DP,连接 BP.
∵ AD是△ABC 的中线,
∴ CD=BD.
∵ ∠ADC=∠PDB,AD=PD,
∴ △ADC≌△PDB.
∴ AC=PB=5. 在△ABP 中,由三边关系,知 3＜AP＜13.
∵ DP=AD,
∴ AP=2AD.
∴ 3＜2AD＜13.
∴ 1.5＜AD＜6.5
(2) 如图②,延长 AD 至点 G,使DG=AD,连接 BG,则 AG=2AD.
∵ D 为 BC 的中点,
∴ CD=BD. 在△ADC 和△GDB 中,
$\begin{cases} AD=GD,\\ ∠ADC=∠GDB,\\ CD=BD, \end{cases}$
∴ △ADC≌△GDB.
∴ ∠C=∠GBD,AC=GB.
∴ AC//BG.
∴ ∠ABG+∠BAC=180°.
∵ AC=AF,
∴ BG=AF.
∵ ∠BAE=∠CAF=90°,
∴ ∠EAF+∠BAC=180°.
∴ ∠ABG=∠EAF.
在△EAF 和△ABG 中,
$\begin{cases} AE=BA,\\ ∠EAF=∠ABG,\\ AF=BG, \end{cases}$
∴ △EAF≌△ABG.
∴ EF=AG.
∴ EF=2AD
(3) BD=2EF 理由:如图③,延长 EF 到点 G,使得 EF=FG,连接 CG,延长 CA 到点 H,使得AH=AD,连接 BH.
∵ F 是 BC 的中点,
∴ CF=BF.
∵ ∠EFB=∠GFC,EF=GF,
∴ △BEF≌△CGF.
∴ BE=CG,∠BEF=∠G.
∴ CG//BE.
∴ ∠BEH=∠GCE.
∵ ∠BAC+∠BAH=180°,∠BAC+∠BAD=180°,
∴ ∠BAH=∠BAD. 在△BAH 和△BAD 中,
$\begin{cases} AB=AB,\\ ∠BAH=∠BAD,\\ AH=AD, \end{cases}$
∴ BH=BD,∠H=∠ADB.
∵ ∠CEF=∠ADB,
∴ ∠H=∠CEF.
∵ ∠HEB=∠ECG,BE=GC,
∴ △HBE≌△EGC.
∴ BH=GE=EF+FG=2EF.
∴ BD=2EF.
解析
【分析】
（1）已知AD是△ABC的中线，要求AD的取值范围，可采用倍长中线法：延长AD到P使DP=AD，构造△ADC≌△PDB，将AC转化为PB，此时AB、PB、AP在同一个△ABP中，利用三角形三边关系即可求出AP的范围，进而得到AD的范围。
（2）要证明EF=2AD，仍用倍长中线法：延长AD到G使DG=AD，先证△ADC≌△GDB，得到AC=BG、∠ABG与∠BAC互补，再结合已知的垂直条件推出∠ABG=∠EAF，进而证明△EAF≌△ABG，得到EF=AG=2AD即可。
（3）要探究BD与EF的数量关系，F是BC中点，可先延长EF到G使FG=EF，构造△BEF≌△CGF，得到边和角的关系；再延长CA到H使AH=AD，证△BAH≌△BAD，将BD转化为BH，最后通过角的等量代换证△HBE≌△EGC，得到BH=2EF，即可得到BD和EF的关系。
【解析】
（1）如图①，延长AD至点P，使AD=DP，连接BP。
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD。
在△ADC和△PDB中，$\begin{cases} AD=PD \\ ∠ADC=∠PDB \\ CD=BD \end{cases}$，
∴△ADC≌△PDB（SAS），
∴AC=PB=5。
在△ABP中，由三角形三边关系得：$AB-PB ＜ AP ＜ AB+PB$，即$8-5 ＜ AP ＜ 8+5$，
∴$3 ＜ AP ＜ 13$。
又
∵$AP=AD+DP=2AD$，
∴$3 ＜ 2AD ＜ 13$，解得$1.5 ＜ AD ＜ 6.5$。
（2）证明：如图②，延长AD至点G，使DG=AD，连接BG，则$AG=2AD$。
∵D为BC的中点，
∴CD=BD。
在△ADC和△GDB中，$\begin{cases} AD=GD \\ ∠ADC=∠GDB \\ CD=BD \end{cases}$，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴∠C=∠GBD，AC=GB，
∴$AC// BG$，
∴$∠ABG+∠BAC=180°$。
∵$AC=AF$，
∴$BG=AF$。
∵$∠BAE=∠CAF=90°$，
∴$∠EAF+∠BAC=360°-90°-90°=180°$，
∴$∠ABG=∠EAF$。
在△EAF和△ABG中，$\begin{cases} AE=BA \\ ∠EAF=∠ABG \\ AF=BG \end{cases}$，
∴△EAF≌△ABG（SAS），
∴$EF=AG$，
∴$EF=2AD$。
（3）$BD=2EF$，理由如下：
如图③，延长EF到点G，使得$EF=FG$，连接CG；延长CA到点H，使得$AH=AD$，连接BH。
∵F是BC的中点，
∴$CF=BF$。
在△BEF和△CGF中，$\begin{cases} EF=GF \\ ∠EFB=∠GFC \\ BF=CF \end{cases}$，
∴△BEF≌△CGF（SAS），
∴$BE=CG$，$∠BEF=∠G$，
∴$CG// BE$，
∴$∠BEH=∠GCE$。
∵$∠BAC+∠BAH=180°$，$∠BAC+∠BAD=180°$，
∴$∠BAH=∠BAD$。
在△BAH和△BAD中，$\begin{cases} AB=AB \\ ∠BAH=∠BAD \\ AH=AD \end{cases}$，
∴△BAH≌△BAD（SAS），
∴$BH=BD$，$∠H=∠ADB$。
∵$∠CEF=∠ADB$，
∴$∠H=∠CEF$。
∵$∠HEB=∠ECG$，$BE=GC$，
∴△HBE≌△EGC（AAS），
∴$BH=GE=EF+FG=2EF$，
∴$BD=2EF$。
【答案】
(1) $1.5＜AD＜6.5$
(2) $EF=2AD$，证明成立
(3) $BD=2EF$，理由见解析
【知识点】
倍长中线法；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，以倍长中线法为核心解题思路，由易到难设置问题，既考查了基础的线段范围求解，也考查了线段倍分关系的证明，能够很好地检验学生对全等辅助线构造方法的掌握程度，以及逻辑推理和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）已知AD是△ABC的中线，要求AD的取值范围，可采用倍长中线法：延长AD到P使DP=AD，构造△ADC≌△PDB，将AC转化为PB，此时AB、PB、AP在同一个△ABP中，利用三角形三边关系即可求出AP的范围，进而得到AD的范围。
（2）要证明EF=2AD，仍用倍长中线法：延长AD到G使DG=AD，先证△ADC≌△GDB，得到AC=BG、∠ABG与∠BAC互补，再结合已知的垂直条件推出∠ABG=∠EAF，进而证明△EAF≌△ABG，得到EF=AG=2AD即可。
（3）要探究BD与EF的数量关系，F是BC中点，可先延长EF到G使FG=EF，构造△BEF≌△CGF，得到边和角的关系；再延长CA到H使AH=AD，证△BAH≌△BAD，将BD转化为BH，最后通过角的等量代换证△HBE≌△EGC，得到BH=2EF，即可得到BD和EF的关系。
【解析】
（1）如图①，延长AD至点P，使AD=DP，连接BP。
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD。
在△ADC和△PDB中，$\begin{cases} AD=PD \\ ∠ADC=∠PDB \\ CD=BD \end{cases}$，
∴△ADC≌△PDB（SAS），
∴AC=PB=5。
在△ABP中，由三角形三边关系得：$AB-PB ＜ AP ＜ AB+PB$，即$8-5 ＜ AP ＜ 8+5$，
∴$3 ＜ AP ＜ 13$。
又
∵$AP=AD+DP=2AD$，
∴$3 ＜ 2AD ＜ 13$，解得$1.5 ＜ AD ＜ 6.5$。
（2）证明：如图②，延长AD至点G，使DG=AD，连接BG，则$AG=2AD$。
∵D为BC的中点，
∴CD=BD。
在△ADC和△GDB中，$\begin{cases} AD=GD \\ ∠ADC=∠GDB \\ CD=BD \end{cases}$，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴∠C=∠GBD，AC=GB，
∴$AC// BG$，
∴$∠ABG+∠BAC=180°$。
∵$AC=AF$，
∴$BG=AF$。
∵$∠BAE=∠CAF=90°$，
∴$∠EAF+∠BAC=360°-90°-90°=180°$，
∴$∠ABG=∠EAF$。
在△EAF和△ABG中，$\begin{cases} AE=BA \\ ∠EAF=∠ABG \\ AF=BG \end{cases}$，
∴△EAF≌△ABG（SAS），
∴$EF=AG$，
∴$EF=2AD$。
（3）$BD=2EF$，理由如下：
如图③，延长EF到点G，使得$EF=FG$，连接CG；延长CA到点H，使得$AH=AD$，连接BH。
∵F是BC的中点，
∴$CF=BF$。
在△BEF和△CGF中，$\begin{cases} EF=GF \\ ∠EFB=∠GFC \\ BF=CF \end{cases}$，
∴△BEF≌△CGF（SAS），
∴$BE=CG$，$∠BEF=∠G$，
∴$CG// BE$，
∴$∠BEH=∠GCE$。
∵$∠BAC+∠BAH=180°$，$∠BAC+∠BAD=180°$，
∴$∠BAH=∠BAD$。
在△BAH和△BAD中，$\begin{cases} AB=AB \\ ∠BAH=∠BAD \\ AH=AD \end{cases}$，
∴△BAH≌△BAD（SAS），
∴$BH=BD$，$∠H=∠ADB$。
∵$∠CEF=∠ADB$，
∴$∠H=∠CEF$。
∵$∠HEB=∠ECG$，$BE=GC$，
∴△HBE≌△EGC（AAS），
∴$BH=GE=EF+FG=2EF$，
∴$BD=2EF$。
【答案】
(1) $1.5＜AD＜6.5$
(2) $EF=2AD$，证明成立
(3) $BD=2EF$，理由见解析
【知识点】
倍长中线法；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，以倍长中线法为核心解题思路，由易到难设置问题，既考查了基础的线段范围求解，也考查了线段倍分关系的证明，能够很好地检验学生对全等辅助线构造方法的掌握程度，以及逻辑推理和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
