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1 [2025 渭南潼关期末]一元二次方程$2x^2=8$的解为（
A.$x_1=x_2=-2$
B.$x_1=x_2=2$
C.$x_1=2,x_2=-2$
D.$x_1=0,x_2=2$
C
）A.$x_1=x_2=-2$
B.$x_1=x_2=2$
C.$x_1=2,x_2=-2$
D.$x_1=0,x_2=2$
答案
1. C
解析
【分析】这是一道求解简单一元二次方程的基础题，解题思路清晰：首先将方程整理为$x^2=a(a≥0)$的标准形式，再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出方程的两个解，最后匹配对应选项即可。
【解析】解：对一元二次方程$2x^2=8$求解：
1. 系数化为1：方程两边同时除以2，可得$x^2=4$；
2. 直接开平方：根据平方根的性质，对等式两边开平方得$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$；
即方程的解为$x_1=2$，$x_2=-2$。
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是先将方程变形为左边是含未知数的完全平方式、右边是非负常数的形式，开平方时注意不要遗漏负的平方根，避免出现漏解的错误。
【难度系数】0.9
【解析】解：对一元二次方程$2x^2=8$求解：
1. 系数化为1：方程两边同时除以2，可得$x^2=4$；
2. 直接开平方：根据平方根的性质，对等式两边开平方得$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$；
即方程的解为$x_1=2$，$x_2=-2$。
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是先将方程变形为左边是含未知数的完全平方式、右边是非负常数的形式，开平方时注意不要遗漏负的平方根，避免出现漏解的错误。
【难度系数】0.9
2 [2025连云港赣榆期中]用直接开平方法解关于x的方程$(x-4)^2=m+1$，则m应满足的条件是（
A.$m≥0$
B.$m≥-1$
C.$m＞-1$
D.$m＞1$
B
）A.$m≥0$
B.$m≥-1$
C.$m＞-1$
D.$m＞1$
答案
2. B
解析
【分析】
要使用直接开平方法解一元二次方程，需明确该方法的适用条件：对于形如$a^2=b$的方程，只有等号右侧的$b$为非负数时，方程才有实数解，因为任意实数的平方都具有非负性。本题等号左侧是$(x-4)^2$，本身是平方数，取值必然大于等于0，因此只需让等号右侧的$m+1$满足非负要求，解对应不等式就能得到$m$的取值范围。
【解析】
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(x-4)^2≥0$
要用直接开平方法解该方程，等号右侧的代数式必须满足非负要求
∴ $m+1≥0$
解不等式得：$m≥-1$
因此$m$应满足的条件是$m≥-1$
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 平方的非负性
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是对直接开平方法适用条件的基础考查，解题核心是抓住平方数的非负性，明确直接开平方时等号右侧需为非负数，解题时需注意不要遗漏等号的情况。
【难度系数】
0.8
要使用直接开平方法解一元二次方程，需明确该方法的适用条件：对于形如$a^2=b$的方程，只有等号右侧的$b$为非负数时，方程才有实数解，因为任意实数的平方都具有非负性。本题等号左侧是$(x-4)^2$，本身是平方数，取值必然大于等于0，因此只需让等号右侧的$m+1$满足非负要求，解对应不等式就能得到$m$的取值范围。
【解析】
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(x-4)^2≥0$
要用直接开平方法解该方程，等号右侧的代数式必须满足非负要求
∴ $m+1≥0$
解不等式得：$m≥-1$
因此$m$应满足的条件是$m≥-1$
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 平方的非负性
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是对直接开平方法适用条件的基础考查，解题核心是抓住平方数的非负性，明确直接开平方时等号右侧需为非负数，解题时需注意不要遗漏等号的情况。
【难度系数】
0.8
3 若关于x的一元二次方程$x^2 + a = 0$的一个根为$x=3$，则a的值为
-9
，另一个根是-3
。答案
3. -9 -3
解析
【分析】
解题可分两步推进：第一步利用一元二次方程解的定义，把已知根x=3代入原方程，就能得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值；第二步将求出的a代回原方程，用直接开平方法解一元二次方程就能得到另一个根，也可根据该方程无一次项的特点，判断两根互为相反数，直接推导另一个根。
【解析】
解：
∵x=3是一元二次方程$x^2 + a = 0$的根，
∴将x=3代入方程可得：$3^2 + a = 0$，
即$9 + a = 0$，解得$a = -9$。
把$a=-9$代回原方程得：$x^2 - 9 = 0$，
移项得$x^2 = 9$，
直接开平方得$x = ±3$，
因此方程的另一个根为$x=-3$。
【答案】
-9；-3
【知识点】
一元二次方程的解的定义；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程解的定义的应用和直接开平方法解方程的掌握，解题时也可利用方程两根互为相反数的特点快速得到另一个根，简化计算过程。
【难度系数】
0.9
解题可分两步推进：第一步利用一元二次方程解的定义，把已知根x=3代入原方程，就能得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值；第二步将求出的a代回原方程，用直接开平方法解一元二次方程就能得到另一个根，也可根据该方程无一次项的特点，判断两根互为相反数，直接推导另一个根。
【解析】
解：
∵x=3是一元二次方程$x^2 + a = 0$的根，
∴将x=3代入方程可得：$3^2 + a = 0$，
即$9 + a = 0$，解得$a = -9$。
把$a=-9$代回原方程得：$x^2 - 9 = 0$，
移项得$x^2 = 9$，
直接开平方得$x = ±3$，
因此方程的另一个根为$x=-3$。
【答案】
-9；-3
【知识点】
一元二次方程的解的定义；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程解的定义的应用和直接开平方法解方程的掌握，解题时也可利用方程两根互为相反数的特点快速得到另一个根，简化计算过程。
【难度系数】
0.9
4 用直接开平方法解方程：
(1) $2x^2 -8x=16-8x$；
(2) $(2x-3)^2=64$；
(3) $x^2+4x+4=15$；
(4) $\frac{1}{2}(y+2)^2 -6=0$。
(1) $2x^2 -8x=16-8x$；
(2) $(2x-3)^2=64$；
(3) $x^2+4x+4=15$；
(4) $\frac{1}{2}(y+2)^2 -6=0$。
答案
4. (1) $x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$
(2) $x_1=5.5,x_2=-2.5$
(3) $x_1=\sqrt{15}-2,x_2=-\sqrt{15}-2$
(4) $y_1=2\sqrt{3}-2,y_2=-2\sqrt{3}-2$
(2) $x_1=5.5,x_2=-2.5$
(3) $x_1=\sqrt{15}-2,x_2=-\sqrt{15}-2$
(4) $y_1=2\sqrt{3}-2,y_2=-2\sqrt{3}-2$
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程的核心思路是：先将方程变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，再对两边同时开平方，转化为两个一元一次方程求解。各小题的解题方向如下：(1)先消去方程两边相同的项，整理为$x^2=a$的形式再开平方；(2)本身已是平方等于常数的形式，可直接开平方求解；(3)左边是完全平方式，先改写为平方形式再开方；(4)先通过移项、系数化为1，得到平方等于常数的形式后再开平方。
【解析】
(1) 原方程整理得 $2x^2=16$，
两边同时除以2，得 $x^2=8$，
开平方得 $x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$。
(2) 开平方得 $2x-3=\pm8$，
当$2x-3=8$时，$2x=11$，解得$x=5.5$；
当$2x-3=-8$时，$2x=-5$，解得$x=-2.5$。
(3) 原方程左边因式分解得 $(x+2)^2=15$，
开平方得 $x+2=\pm\sqrt{15}$，
解得 $x=-2\pm\sqrt{15}$。
(4) 移项得 $\frac{1}{2}(y+2)^2=6$，
两边同时乘2得 $(y+2)^2=12$，
开平方得 $y+2=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt{3}$，
解得 $y=-2\pm2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$
(2) $x_1=5.5,x_2=-2.5$
(3) $x_1=\sqrt{15}-2,x_2=-\sqrt{15}-2$
(4) $y_1=2\sqrt{3}-2,y_2=-2\sqrt{3}-2$
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程 2.完全平方公式 3.平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是先将方程转化为左边为含未知数的平方式、右边为非负常数的形式，开平方时注意要同时考虑正负两个平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
用直接开平方法解一元二次方程的核心思路是：先将方程变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，再对两边同时开平方，转化为两个一元一次方程求解。各小题的解题方向如下：(1)先消去方程两边相同的项，整理为$x^2=a$的形式再开平方；(2)本身已是平方等于常数的形式，可直接开平方求解；(3)左边是完全平方式，先改写为平方形式再开方；(4)先通过移项、系数化为1，得到平方等于常数的形式后再开平方。
【解析】
(1) 原方程整理得 $2x^2=16$，
两边同时除以2，得 $x^2=8$，
开平方得 $x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$。
(2) 开平方得 $2x-3=\pm8$，
当$2x-3=8$时，$2x=11$，解得$x=5.5$；
当$2x-3=-8$时，$2x=-5$，解得$x=-2.5$。
(3) 原方程左边因式分解得 $(x+2)^2=15$，
开平方得 $x+2=\pm\sqrt{15}$，
解得 $x=-2\pm\sqrt{15}$。
(4) 移项得 $\frac{1}{2}(y+2)^2=6$，
两边同时乘2得 $(y+2)^2=12$，
开平方得 $y+2=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt{3}$，
解得 $y=-2\pm2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2}$
(2) $x_1=5.5,x_2=-2.5$
(3) $x_1=\sqrt{15}-2,x_2=-\sqrt{15}-2$
(4) $y_1=2\sqrt{3}-2,y_2=-2\sqrt{3}-2$
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程 2.完全平方公式 3.平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是先将方程转化为左边为含未知数的平方式、右边为非负常数的形式，开平方时注意要同时考虑正负两个平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
5 用配方法解方程$x^2 - 3x = 4$，应把方程的两边同时（
A.加上$\frac{3}{2}$
B.加上$\frac{9}{4}$
C.减去$\frac{3}{2}$
D.减去$\frac{9}{4}$
B
）A.加上$\frac{3}{2}$
B.加上$\frac{9}{4}$
C.减去$\frac{3}{2}$
D.减去$\frac{9}{4}$
答案
5. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确配方法解二次项系数为1的一元二次方程的核心思路：将方程左边含未知数的部分变形为完全平方式，变形规则是给方程两边同时加上一次项系数一半的平方。首先找到本题方程的一次项系数，按规则计算出需要添加的常数即可。
【解析】
对于方程$x^2 - 3x = 4$，二次项系数已经是1，且含未知数的项都在等号左侧：
1. 确定一次项系数：一次项为$-3x$，系数是$-3$；
2. 计算一次项系数一半的平方：$(\frac{-3}{2})^2 = \frac{9}{4}$；
3. 根据配方法规则，方程两边同时加上$\frac{9}{4}$，左侧可化为完全平方式：$x^2 -3x +\frac{9}{4}=(x-\frac{3}{2})^2$，完成配方步骤。
因此应选B选项。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心是掌握二次项系数为1时配方的操作规则，是一元二次方程求解的基础考点，熟练掌握该规则能为后续解复杂一元二次方程打好基础。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确配方法解二次项系数为1的一元二次方程的核心思路：将方程左边含未知数的部分变形为完全平方式，变形规则是给方程两边同时加上一次项系数一半的平方。首先找到本题方程的一次项系数，按规则计算出需要添加的常数即可。
【解析】
对于方程$x^2 - 3x = 4$，二次项系数已经是1，且含未知数的项都在等号左侧：
1. 确定一次项系数：一次项为$-3x$，系数是$-3$；
2. 计算一次项系数一半的平方：$(\frac{-3}{2})^2 = \frac{9}{4}$；
3. 根据配方法规则，方程两边同时加上$\frac{9}{4}$，左侧可化为完全平方式：$x^2 -3x +\frac{9}{4}=(x-\frac{3}{2})^2$，完成配方步骤。
因此应选B选项。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心是掌握二次项系数为1时配方的操作规则，是一元二次方程求解的基础考点，熟练掌握该规则能为后续解复杂一元二次方程打好基础。
【难度系数】
0.8
6 [2025 潮州潮安期末]一元二次方程$x^2 - 2 = 6x$配方后化为（
A.$(x-3)^2=11$
B.$(x-3)^2=2$
C.$(x+3)^2=11$
D.$(x+3)^2=2$
A
）A.$(x-3)^2=11$
B.$(x-3)^2=2$
C.$(x+3)^2=11$
D.$(x+3)^2=2$
答案
6. A
解析
【分析】
解决本题需要用到配方法的相关知识，解题思路如下：首先将原方程移项，把含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边，整理成二次项系数为1、左边只有二次项和一次项的形式；再根据完全平方公式的结构，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，右边合并常数项即可得到配方后的结果，最后对应选项选择答案。
【解析】
解：首先对原方程进行移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧，注意移项要变号：
$x^2 - 6x = 2$
观察可知二次项系数为1，一次项系数为-6，一次项系数一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，给方程左右两边同时加9：
$x^2 - 6x + 9 = 2 + 9$
根据完全平方公式，左侧可整理为完全平方式，右侧合并常数项：
$(x-3)^2 = 11$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考察配方法的操作步骤，解题时需注意两个易错点：一是移项时要记得改变符号，二是配方时等式两边要同时加一次项系数一半的平方，避免只给左边加常数漏加右边的情况。
【难度系数】
0.8
解决本题需要用到配方法的相关知识，解题思路如下：首先将原方程移项，把含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边，整理成二次项系数为1、左边只有二次项和一次项的形式；再根据完全平方公式的结构，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，右边合并常数项即可得到配方后的结果，最后对应选项选择答案。
【解析】
解：首先对原方程进行移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧，注意移项要变号：
$x^2 - 6x = 2$
观察可知二次项系数为1，一次项系数为-6，一次项系数一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，给方程左右两边同时加9：
$x^2 - 6x + 9 = 2 + 9$
根据完全平方公式，左侧可整理为完全平方式，右侧合并常数项：
$(x-3)^2 = 11$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考察配方法的操作步骤，解题时需注意两个易错点：一是移项时要记得改变符号，二是配方时等式两边要同时加一次项系数一半的平方，避免只给左边加常数漏加右边的情况。
【难度系数】
0.8
7（易错题）用配方法将方程$x^2 - 4x - 2021 = 0$转化成$(x + m)^2 = n$的形式，则$n - m =$
2027
答案
7. 2027
解析
【分析】
要解决这道题，需按照配方法的步骤将原方程变形为$(x+m)^2=n$的形式，再提取$m$、$n$的值计算差值。解题思路如下：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧；第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第三步对比给定形式确定$m$、$n$的取值，注意$m$的符号不要出错，最后代入$n-m$计算即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 4x - 2021 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 4x = 2021$
2. 配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，在方程两边同时加4：
$x^2 - 4x + 4 = 2021 + 4$
3. 左侧写成完全平方式，右侧合并常数项：
$(x - 2)^2 = 2025$
对比$(x + m)^2 = n$的形式，可得$m = -2$，$n = 2025$。
代入计算$n - m$：
$n - m = 2025 - (-2) = 2025 + 2 = 2027$
【答案】
2027
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的易错题，解题核心是熟练掌握二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤，易错点是确定$m$的取值时容易忽略符号，导致计算差值时出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需按照配方法的步骤将原方程变形为$(x+m)^2=n$的形式，再提取$m$、$n$的值计算差值。解题思路如下：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧；第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第三步对比给定形式确定$m$、$n$的取值，注意$m$的符号不要出错，最后代入$n-m$计算即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 4x - 2021 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 4x = 2021$
2. 配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，在方程两边同时加4：
$x^2 - 4x + 4 = 2021 + 4$
3. 左侧写成完全平方式，右侧合并常数项：
$(x - 2)^2 = 2025$
对比$(x + m)^2 = n$的形式，可得$m = -2$，$n = 2025$。
代入计算$n - m$：
$n - m = 2025 - (-2) = 2025 + 2 = 2027$
【答案】
2027
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的易错题，解题核心是熟练掌握二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤，易错点是确定$m$的取值时容易忽略符号，导致计算差值时出错。
【难度系数】
0.7
8 用配方法解方程$x^2 -6x -1=0$，配方，得
$x^2 -6x +9=1+9$
，即$(x-3)^2=10$。$\therefore x-3=$$\pm\sqrt{10}$
。$\therefore$该方程的解为$x_1=3+\sqrt{10},x_2=3-\sqrt{10}$
。答案
8. $x^2 -6x +9=1+9$ $\pm\sqrt{10}$ $x_1=3+\sqrt{10},x_2=3-\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题需遵循配方法解二次项系数为1的一元二次方程的标准步骤思考：第一步先移项，将常数项移到方程右侧；第二步配方，给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，把左侧化为完全平方式；第三步用直接开平方法求解，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不能漏写负根。第一个空对应配方操作，先移项得到$x^2-6x=1$，一次项系数为-6，其一半的平方是9，两边同时加9即可得到配方后的式子；第二个空是对完全平方式开平方，右侧需带正负号；第三个空移项计算即可得到两个解。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x -1=0$：
1. 移项得：$x^2 -6x = 1$，
配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{-6}{2})^2=9$，得$x^2 -6x +9=1+9$，
左侧整理为完全平方式即$(x-3)^2=10$。
2. 对$(x-3)^2=10$开平方，得$x-3=\pm\sqrt{10}$。
3. 移项求解得$x=3\pm\sqrt{10}$，即$x_1=3+\sqrt{10},x_2=3-\sqrt{10}$。
【答案】
$x^2 -6x +9=1+9$；$\pm\sqrt{10}$；$x_1=3+\sqrt{10},x_2=3-\sqrt{10}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，核心是掌握配方的操作要领，开平方时注意不要遗漏负根，是一元二次方程解法的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题需遵循配方法解二次项系数为1的一元二次方程的标准步骤思考：第一步先移项，将常数项移到方程右侧；第二步配方，给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，把左侧化为完全平方式；第三步用直接开平方法求解，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不能漏写负根。第一个空对应配方操作，先移项得到$x^2-6x=1$，一次项系数为-6，其一半的平方是9，两边同时加9即可得到配方后的式子；第二个空是对完全平方式开平方，右侧需带正负号；第三个空移项计算即可得到两个解。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x -1=0$：
1. 移项得：$x^2 -6x = 1$，
配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{-6}{2})^2=9$，得$x^2 -6x +9=1+9$，
左侧整理为完全平方式即$(x-3)^2=10$。
2. 对$(x-3)^2=10$开平方，得$x-3=\pm\sqrt{10}$。
3. 移项求解得$x=3\pm\sqrt{10}$，即$x_1=3+\sqrt{10},x_2=3-\sqrt{10}$。
【答案】
$x^2 -6x +9=1+9$；$\pm\sqrt{10}$；$x_1=3+\sqrt{10},x_2=3-\sqrt{10}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，核心是掌握配方的操作要领，开平方时注意不要遗漏负根，是一元二次方程解法的基础题型。
【难度系数】
0.8
9 教材变式题 用配方法解下列方程：
(1) $x^2 - 12x = 13$；
(2) $x^2 + 2\sqrt{2}x - 4 = 0$；
(3) $x^2 + 8x + 3 = 5x + 7$。
(1) $x^2 - 12x = 13$；
(2) $x^2 + 2\sqrt{2}x - 4 = 0$；
(3) $x^2 + 8x + 3 = 5x + 7$。
答案
9. (1) $x_1=13,x_2=-1$
(2) $x_1=-\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=-\sqrt{2}-\sqrt{6}$
(3) $x_1=1,x_2=-4$
(2) $x_1=-\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=-\sqrt{2}-\sqrt{6}$
(3) $x_1=1,x_2=-4$
解析
【分析】
解本题需先明确配方法解二次项系数为1的一元二次方程的通用步骤：第一步，将方程整理为“$x^2+bx=c$”的形式，把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，合并同类项；第二步，配方，方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，转化为“$(x+m)^2=n（n≥0）$”的形式；第三步，用直接开平方法求解方程的根。针对每个小题按上述步骤逐步处理即可。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 12x = 13$：
一次项系数为$-12$，其一半的平方为$(-6)^2=36$，方程两边同时加36，得：
$x^2 -12x +36 = 13 +36$
即$(x-6)^2 = 49$
开平方得：$x-6 = ±7$
解得：$x_1=6+7=13$，$x_2=6-7=-1$
(2) 对于方程$x^2 + 2\sqrt{2}x - 4 = 0$：
先移项，将常数项移到右边，得$x^2 + 2\sqrt{2}x = 4$
一次项系数为$2\sqrt{2}$，其一半的平方为$(\sqrt{2})^2=2$，方程两边同时加2，得：
$x^2 +2\sqrt{2}x +2 = 4 +2$
即$(x+\sqrt{2})^2 =6$
开平方得：$x+\sqrt{2}=±\sqrt{6}$
解得：$x_1=-\sqrt{2}+\sqrt{6}$，$x_2=-\sqrt{2}-\sqrt{6}$
(3) 对于方程$x^2 + 8x + 3 = 5x +7$：
先移项、合并同类项，整理为：$x^2 +3x -4 =0$，即$x^2 +3x =4$
一次项系数为$3$，其一半的平方为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，方程两边同时加$\frac{9}{4}$，得：
$x^2 +3x +\frac{9}{4} = 4 +\frac{9}{4}$
即$(x+\frac{3}{2})^2 = \frac{25}{4}$
开平方得：$x+\frac{3}{2}=±\frac{5}{2}$
解得：$x_1=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=1$，$x_2=-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}=-4$
【答案】
(1) $x_1=13,x_2=-1$
(2) $x_1=-\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=-\sqrt{2}-\sqrt{6}$
(3) $x_1=1,x_2=-4$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法的基础训练题，核心考查二次项系数为1时配方法的操作步骤，解题关键是准确计算一次项系数一半的平方完成配方，求解时注意开平方需同时考虑正负两种情况，避免漏根，移项时注意符号变化。
【难度系数】
0.8
解本题需先明确配方法解二次项系数为1的一元二次方程的通用步骤：第一步，将方程整理为“$x^2+bx=c$”的形式，把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，合并同类项；第二步，配方，方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，转化为“$(x+m)^2=n（n≥0）$”的形式；第三步，用直接开平方法求解方程的根。针对每个小题按上述步骤逐步处理即可。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 12x = 13$：
一次项系数为$-12$，其一半的平方为$(-6)^2=36$，方程两边同时加36，得：
$x^2 -12x +36 = 13 +36$
即$(x-6)^2 = 49$
开平方得：$x-6 = ±7$
解得：$x_1=6+7=13$，$x_2=6-7=-1$
(2) 对于方程$x^2 + 2\sqrt{2}x - 4 = 0$：
先移项，将常数项移到右边，得$x^2 + 2\sqrt{2}x = 4$
一次项系数为$2\sqrt{2}$，其一半的平方为$(\sqrt{2})^2=2$，方程两边同时加2，得：
$x^2 +2\sqrt{2}x +2 = 4 +2$
即$(x+\sqrt{2})^2 =6$
开平方得：$x+\sqrt{2}=±\sqrt{6}$
解得：$x_1=-\sqrt{2}+\sqrt{6}$，$x_2=-\sqrt{2}-\sqrt{6}$
(3) 对于方程$x^2 + 8x + 3 = 5x +7$：
先移项、合并同类项，整理为：$x^2 +3x -4 =0$，即$x^2 +3x =4$
一次项系数为$3$，其一半的平方为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，方程两边同时加$\frac{9}{4}$，得：
$x^2 +3x +\frac{9}{4} = 4 +\frac{9}{4}$
即$(x+\frac{3}{2})^2 = \frac{25}{4}$
开平方得：$x+\frac{3}{2}=±\frac{5}{2}$
解得：$x_1=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=1$，$x_2=-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}=-4$
【答案】
(1) $x_1=13,x_2=-1$
(2) $x_1=-\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=-\sqrt{2}-\sqrt{6}$
(3) $x_1=1,x_2=-4$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法的基础训练题，核心考查二次项系数为1时配方法的操作步骤，解题关键是准确计算一次项系数一半的平方完成配方，求解时注意开平方需同时考虑正负两种情况，避免漏根，移项时注意符号变化。
【难度系数】
0.8
