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1.综合与实践
【主题】黄金分割数
【素材】如图1，我们知道，如果点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP，BP两条线段(AP＞BP)，且满足BP:AP=AP:AB，那么这种分割就叫作黄金分割.其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫作黄金分割数.
【实践操作】
(1)若设线段AB=1，AP的长为x，则BP可表示为1−x，∵BP:AP=AP:AB，∴(1−x):x=x:1，…，根据此方法可计算出黄金分割数为
【实践探索】
(2)二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处(“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短)，奏出来的音调最和谐悦耳.如图2，一把二胡的琴弦长为80 cm，求“千斤”下面一截琴弦长(结果保留根号).
【主题】黄金分割数
【素材】如图1，我们知道，如果点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP，BP两条线段(AP＞BP)，且满足BP:AP=AP:AB，那么这种分割就叫作黄金分割.其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫作黄金分割数.
【实践操作】
(1)若设线段AB=1，AP的长为x，则BP可表示为1−x，∵BP:AP=AP:AB，∴(1−x):x=x:1，…，根据此方法可计算出黄金分割数为
$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
(结果保留根号)；【实践探索】
(2)二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处(“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短)，奏出来的音调最和谐悦耳.如图2，一把二胡的琴弦长为80 cm，求“千斤”下面一截琴弦长(结果保留根号).
答案
(1) $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
(2)设“千斤”下面一截琴弦长为y cm，则$\frac{y}{80}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，解得$y=40\sqrt{5}-40$。所以“千斤”下面一截琴弦长为$(40\sqrt{5}-40)\mathrm{cm}$。
(2)设“千斤”下面一截琴弦长为y cm，则$\frac{y}{80}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，解得$y=40\sqrt{5}-40$。所以“千斤”下面一截琴弦长为$(40\sqrt{5}-40)\mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 首先根据黄金分割的比例关系列出比例式，利用比例的基本性质转化为一元二次方程，用求根公式解方程后，结合线段长度为正的实际意义舍去负根，即可得到黄金分割数。
(2) 先明确“千斤”下面一截琴弦是总长的较长分割段，它和琴弦总长的比值等于黄金分割数，据此设未知数列比例式求解即可。
【解析】
(1) 由题意得$(1 - x):x = x:1$，根据比例内项积等于外项积，可得$x^2 = 1 - x$，整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 + x - 1 = 0$。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（其中$a=1,b=1,c=-1$），得$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
因为线段长度为正数，所以舍去负根$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，因此黄金分割数为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
(2) 设“千斤”下面一截琴弦长为$y\ \mathrm{cm}$，由题意可知下面一截琴弦为较长的分割段，它与琴弦总长的比值为黄金分割数，因此列等式：
$\frac{y}{80}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
解得$y=80×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=40\sqrt{5}-40$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
(2) $(40\sqrt{5}-40)\mathrm{cm}$
【知识点】
黄金分割，比例的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合黄金分割知识与传统乐器的实际应用，既考查了对黄金分割概念的理解，也检验了用方程解决实际问题的能力，能让学生体会到数学的实用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据黄金分割的比例关系列出比例式，利用比例的基本性质转化为一元二次方程，用求根公式解方程后，结合线段长度为正的实际意义舍去负根，即可得到黄金分割数。
(2) 先明确“千斤”下面一截琴弦是总长的较长分割段，它和琴弦总长的比值等于黄金分割数，据此设未知数列比例式求解即可。
【解析】
(1) 由题意得$(1 - x):x = x:1$，根据比例内项积等于外项积，可得$x^2 = 1 - x$，整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 + x - 1 = 0$。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（其中$a=1,b=1,c=-1$），得$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
因为线段长度为正数，所以舍去负根$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，因此黄金分割数为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
(2) 设“千斤”下面一截琴弦长为$y\ \mathrm{cm}$，由题意可知下面一截琴弦为较长的分割段，它与琴弦总长的比值为黄金分割数，因此列等式：
$\frac{y}{80}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
解得$y=80×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=40\sqrt{5}-40$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
(2) $(40\sqrt{5}-40)\mathrm{cm}$
【知识点】
黄金分割，比例的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合黄金分割知识与传统乐器的实际应用，既考查了对黄金分割概念的理解，也检验了用方程解决实际问题的能力，能让学生体会到数学的实用价值。
【难度系数】
0.7
2. 阅读与思考
下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务。
黄金分割数
一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数。
例如，如图1，点C为线段AB上一点，点C把线段AB分成AC和BC两段，其中AC＜BC。若线段AC，BC，AB之间的关系满足$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}=k$，则点C是线段AB的一个黄金分割点，k称为黄金分割数。
A C B
下面是求黄金分割数k的解答过程：
设AB=1，BC=x，则AC=1−x，
…
任务：
(1)概念理解：根据材料可知，一条线段有
(2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程；
(3)拓展应用：如图2，在线段AB上用无刻度的直尺和圆规求作一点C，使得$\frac{BC}{AB}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。(保留作图痕迹，不写作法)
下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务。
黄金分割数
一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数。
例如，如图1，点C为线段AB上一点，点C把线段AB分成AC和BC两段，其中AC＜BC。若线段AC，BC，AB之间的关系满足$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}=k$，则点C是线段AB的一个黄金分割点，k称为黄金分割数。
A C B
下面是求黄金分割数k的解答过程：
设AB=1，BC=x，则AC=1−x，
…
任务：
(1)概念理解：根据材料可知，一条线段有
2
个黄金分割点；(2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程；
(3)拓展应用：如图2，在线段AB上用无刻度的直尺和圆规求作一点C，使得$\frac{BC}{AB}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。(保留作图痕迹，不写作法)
答案
(1) 2
(2)根据$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}$，得$\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}$，整理，得$x^2+x-1=0$，解得$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(负数舍去)。$\therefore k=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
(3)如图，点C即为所求。
(答案不唯一)解析
【分析】
(1) 结合黄金分割点的定义思考：线段上满足短段与长段之比等于长段与全段之比的点，可分别从线段两个端点方向构造满足该比例的点，依此判断黄金分割点的个数；
(2) 求黄金分割数k时，将题设的线段长度代入材料给出的比例关系，转化为一元二次方程，用求根公式求解后，结合线段长度为正的实际意义舍去负根，即可得到k的值；
(3) 作图时可先过线段端点作垂线，构造直角三角形，通过画弧的方式得到符合比例的线段，最终确定点C的位置。
【解析】
(1) 一条线段上，分别靠近两个端点的位置各有1个满足黄金分割定义的点，因此一条线段共有2个黄金分割点。
(2) 设AB=1，BC=x，则AC=1-x，代入比例$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}$，可得：
$\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}$
交叉相乘整理得：$x^2+x-1=0$
由一元二次方程求根公式解得：$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$
由于线段长度为正数，因此舍去负根$x_2$，则黄金分割数$k=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
(3) 按尺规作图要求得到的点C即为所求，作图痕迹如下图：
【答案】
(1) 2
(2) 根据$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}$，得$\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}$，整理，得$x^2+x-1=0$，解得$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(负数舍去)。$\therefore k=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
(3) 如图，点C即为所求。 (答案不唯一)
【知识点】
黄金分割的概念；一元二次方程的解法；尺规作图
【点评】
本题以阅读材料的形式考查对新概念的理解能力、一元二次方程的应用能力以及尺规作图能力，解题的关键是读懂材料中的黄金分割定义，结合已学的方程知识和作图方法解决问题。
【难度系数】
0.7
(1) 结合黄金分割点的定义思考：线段上满足短段与长段之比等于长段与全段之比的点，可分别从线段两个端点方向构造满足该比例的点，依此判断黄金分割点的个数；
(2) 求黄金分割数k时，将题设的线段长度代入材料给出的比例关系，转化为一元二次方程，用求根公式求解后，结合线段长度为正的实际意义舍去负根，即可得到k的值；
(3) 作图时可先过线段端点作垂线，构造直角三角形，通过画弧的方式得到符合比例的线段，最终确定点C的位置。
【解析】
(1) 一条线段上，分别靠近两个端点的位置各有1个满足黄金分割定义的点，因此一条线段共有2个黄金分割点。
(2) 设AB=1，BC=x，则AC=1-x，代入比例$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}$，可得：
$\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}$
交叉相乘整理得：$x^2+x-1=0$
由一元二次方程求根公式解得：$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$
由于线段长度为正数，因此舍去负根$x_2$，则黄金分割数$k=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
(3) 按尺规作图要求得到的点C即为所求，作图痕迹如下图：
【答案】
(1) 2
(2) 根据$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}$，得$\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}$，整理，得$x^2+x-1=0$，解得$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(负数舍去)。$\therefore k=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
(3) 如图，点C即为所求。
(答案不唯一)【知识点】
黄金分割的概念；一元二次方程的解法；尺规作图
【点评】
本题以阅读材料的形式考查对新概念的理解能力、一元二次方程的应用能力以及尺规作图能力，解题的关键是读懂材料中的黄金分割定义，结合已学的方程知识和作图方法解决问题。
【难度系数】
0.7
