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1.如图，点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，$AB⊥ y$轴于B，点C是x轴上的任意点，且$S_{△ ACB}=2$，则k的值为（
A.2
B.$-2$
C.4
D.$-4$
D
）A.2
B.$-2$
C.4
D.$-4$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：AB垂直于y轴，可知AB平行于x轴，因此△ABC和△ABO是同底（AB为公共底）等高的三角形，二者面积相等。再结合反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，先求出|k|的值，最后根据双曲线所在的象限判断k的正负，即可得到k的取值。
【解析】
∵AB⊥y轴，
∴AB//x轴，
∴点C和点O到直线AB的距离相等，即△ABC与△ABO同底等高，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}=2$。
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义可知：$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}|k|$，
∴$\frac{1}{2}|k|=2$，解得$|k|=4$。
由图可知双曲线位于第二象限，此时$k＜0$，故$k=-4$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，解题核心是利用同底等高三角形面积相等，将未知三角形面积转化为和k相关的直角三角形面积，同时要注意结合函数图象所在象限判断k的符号，避免漏看符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：AB垂直于y轴，可知AB平行于x轴，因此△ABC和△ABO是同底（AB为公共底）等高的三角形，二者面积相等。再结合反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，先求出|k|的值，最后根据双曲线所在的象限判断k的正负，即可得到k的取值。
【解析】
∵AB⊥y轴，
∴AB//x轴，
∴点C和点O到直线AB的距离相等，即△ABC与△ABO同底等高，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}=2$。
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义可知：$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}|k|$，
∴$\frac{1}{2}|k|=2$，解得$|k|=4$。
由图可知双曲线位于第二象限，此时$k＜0$，故$k=-4$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，解题核心是利用同底等高三角形面积相等，将未知三角形面积转化为和k相关的直角三角形面积，同时要注意结合函数图象所在象限判断k的符号，避免漏看符号出错。
【难度系数】
0.7
2.如图，A，B两点在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，分别经过A，B两点向坐标轴作垂线段，已知$S_{阴影}=1$，则$S_1+S_2$的值为（
A.2
B.3
C.4
D.6
D
）A.2
B.3
C.4
D.6
答案
2.D
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线段，所得矩形的面积为$\left|k\right|$。本题中k=4，因此过点A、B的矩形面积都为4。再观察图形可知，$S_1$加阴影面积等于第一个矩形面积，$S_2$加阴影面积等于第二个矩形面积，将两个等式结合已知的阴影面积即可求出$S_1+S_2$的值。
【解析】
∵点A、B在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
根据反比例函数k的几何意义可得：
过点A向坐标轴作垂线段形成的矩形面积为$\left|k\right|=4$，即$S_1 + S_{阴影}=4$，
过点B向坐标轴作垂线段形成的矩形面积为$\left|k\right|=4$，即$S_2 + S_{阴影}=4$，
已知$S_{阴影}=1$，
∴$S_1=4 - 1=3$，$S_2=4 - 1=3$，
∴$S_1 + S_2=3 + 3=6$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义，图形面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数的经典基础题型，解题核心是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，结合图形的面积和差关系即可快速求解，技巧性不强。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线段，所得矩形的面积为$\left|k\right|$。本题中k=4，因此过点A、B的矩形面积都为4。再观察图形可知，$S_1$加阴影面积等于第一个矩形面积，$S_2$加阴影面积等于第二个矩形面积，将两个等式结合已知的阴影面积即可求出$S_1+S_2$的值。
【解析】
∵点A、B在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
根据反比例函数k的几何意义可得：
过点A向坐标轴作垂线段形成的矩形面积为$\left|k\right|=4$，即$S_1 + S_{阴影}=4$，
过点B向坐标轴作垂线段形成的矩形面积为$\left|k\right|=4$，即$S_2 + S_{阴影}=4$，
已知$S_{阴影}=1$，
∴$S_1=4 - 1=3$，$S_2=4 - 1=3$，
∴$S_1 + S_2=3 + 3=6$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义，图形面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数的经典基础题型，解题核心是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，结合图形的面积和差关系即可快速求解，技巧性不强。
【难度系数】
0.7
3.如图，点A、点B是$y=\frac{4}{x}$的图象上关于原点对称的两点，且$AC// y$轴，$BC// x$轴，$△ ABC$的面积为S，则S的值为
8
。答案
3.8
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用反比例函数解析式设出点A的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征得到点B的坐标；2. 结合AC//y轴、BC//x轴的性质，推出点C的坐标；3. 求出直角边AC、BC的长度，利用直角三角形面积公式计算即可得到△ABC的面积。坐标法是解决这类函数几何结合题的通用方法，也可结合反比例函数k的几何意义快速推导结果。
【解析】
设点A的坐标为$(a, \frac{4}{a})$（$a＞0$），
∵ 点A、B关于原点对称，且都在$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴ 点B的坐标为$(-a, -\frac{4}{a})$，
∵ $AC// y$轴，$BC// x$轴，$∠ C$为直角，
∴ 点C的横坐标与点A相同，纵坐标与点B相同，即$C(a, -\frac{4}{a})$，
∴ $AC = \frac{4}{a} - (-\frac{4}{a}) = \frac{8}{a}$，$BC = a - (-a) = 2a$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × \frac{8}{a} × 2a = 8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的图象与性质；关于原点对称的点的坐标特征；直角三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的经典题型，核心是利用坐标法把几何特征转化为坐标关系，既可以通过设坐标计算求解，也可以结合反比例函数k的几何性质直接推导，能很好地考察数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用反比例函数解析式设出点A的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征得到点B的坐标；2. 结合AC//y轴、BC//x轴的性质，推出点C的坐标；3. 求出直角边AC、BC的长度，利用直角三角形面积公式计算即可得到△ABC的面积。坐标法是解决这类函数几何结合题的通用方法，也可结合反比例函数k的几何意义快速推导结果。
【解析】
设点A的坐标为$(a, \frac{4}{a})$（$a＞0$），
∵ 点A、B关于原点对称，且都在$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴ 点B的坐标为$(-a, -\frac{4}{a})$，
∵ $AC// y$轴，$BC// x$轴，$∠ C$为直角，
∴ 点C的横坐标与点A相同，纵坐标与点B相同，即$C(a, -\frac{4}{a})$，
∴ $AC = \frac{4}{a} - (-\frac{4}{a}) = \frac{8}{a}$，$BC = a - (-a) = 2a$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × \frac{8}{a} × 2a = 8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的图象与性质；关于原点对称的点的坐标特征；直角三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的经典题型，核心是利用坐标法把几何特征转化为坐标关系，既可以通过设坐标计算求解，也可以结合反比例函数k的几何性质直接推导，能很好地考察数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
4.如图，直线$y=ax$与双曲线$y=\frac{k}{x}$交于A，B两点，过点A作$AM⊥ x$轴，垂足为M，连接BM。若$S_{△ ABM}=6$，则k的值是
答案
4.-6
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：①首先明确正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此二者的交点A、B也关于原点对称，即两点横、纵坐标均互为相反数；②其次结合反比例函数k的几何意义，过双曲线上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$；③最后利用A、B的对称关系可知$△ AOM$和$△ BOM$面积相等，$△ ABM$的面积为两个三角形面积之和，结合面积数值和反比例函数所在象限即可求出k的值。
【解析】
1. 由正比例函数$y=ax$和反比例函数$y=\frac{k}{x}$均关于原点中心对称，可得交点A、B关于原点对称，即若点A坐标为$(m,n)$（$m＜0,n＞0$），则点B坐标为$(-m,-n)$，且满足$n=\frac{k}{m}$，即$k=mn$。
2. 因为$AM⊥ x$轴，垂足为M，所以M点坐标为$(m,0)$，$OM=|m|=-m$，$AM=n$。
3. 计算$△ ABM$的面积：
$S_{△ ABM}=S_{△ AOM}+S_{△ BOM}$
$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}× OM× AM=\frac{1}{2}×(-m)× n=-\frac{1}{2}mn$
$S_{△ BOM}=\frac{1}{2}× OM× |y_B|=\frac{1}{2}×(-m)× n=-\frac{1}{2}mn$
因此$S_{△ ABM}=-\frac{1}{2}mn-\frac{1}{2}mn=-mn$。
4. 已知$S_{△ ABM}=6$，则$-mn=6$，即$mn=-6$，结合$k=mn$，且双曲线位于第二、四象限，$k＜0$，可得$k=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
反比例函数k的几何意义；函数交点的对称性；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的典型基础题，核心考点是反比例函数中k的几何意义，解题的突破口是利用中心对称的性质简化三角形面积的计算，掌握该模型可以快速解决同类求k值的问题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步梳理：①首先明确正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此二者的交点A、B也关于原点对称，即两点横、纵坐标均互为相反数；②其次结合反比例函数k的几何意义，过双曲线上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$；③最后利用A、B的对称关系可知$△ AOM$和$△ BOM$面积相等，$△ ABM$的面积为两个三角形面积之和，结合面积数值和反比例函数所在象限即可求出k的值。
【解析】
1. 由正比例函数$y=ax$和反比例函数$y=\frac{k}{x}$均关于原点中心对称，可得交点A、B关于原点对称，即若点A坐标为$(m,n)$（$m＜0,n＞0$），则点B坐标为$(-m,-n)$，且满足$n=\frac{k}{m}$，即$k=mn$。
2. 因为$AM⊥ x$轴，垂足为M，所以M点坐标为$(m,0)$，$OM=|m|=-m$，$AM=n$。
3. 计算$△ ABM$的面积：
$S_{△ ABM}=S_{△ AOM}+S_{△ BOM}$
$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}× OM× AM=\frac{1}{2}×(-m)× n=-\frac{1}{2}mn$
$S_{△ BOM}=\frac{1}{2}× OM× |y_B|=\frac{1}{2}×(-m)× n=-\frac{1}{2}mn$
因此$S_{△ ABM}=-\frac{1}{2}mn-\frac{1}{2}mn=-mn$。
4. 已知$S_{△ ABM}=6$，则$-mn=6$，即$mn=-6$，结合$k=mn$，且双曲线位于第二、四象限，$k＜0$，可得$k=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
反比例函数k的几何意义；函数交点的对称性；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的典型基础题，核心考点是反比例函数中k的几何意义，解题的突破口是利用中心对称的性质简化三角形面积的计算，掌握该模型可以快速解决同类求k值的问题。
【难度系数】
0.7
5. 如图,直线 $ l ⊥ x $ 轴于点 $ P $,且与反比例函数 $ y_1=\frac{k_1}{x}(x＞0) $ 及 $ y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0) $ 的图象分别交于点 $ A,B $,连接 $ OA,OB $.已知 $ △ OAB $ 的面积为 2,则 $ k_1 - k_2 $ 的值为（
A.2
B.3
C.4
D.-4
C
）A.2
B.3
C.4
D.-4
答案
5.C
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足与原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。观察图形可知，$△ OAB$的面积可转化为$△ OAP$与$△ OBP$的面积差，结合两个反比例函数的k均为正（图象在第一象限），代入面积公式建立等式即可求出$k_1 - k_2$的值。
【解析】
∵ 反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}(x＞0)$和$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象均在第一象限
∴ $k_1＞0$，$k_2＞0$
根据反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ OAP}=\frac{1}{2}k_1$，$S_{△ OBP}=\frac{1}{2}k_2$
∵ $S_{△ OAB}=S_{△ OAP}-S_{△ OBP}=2$
∴ $\frac{1}{2}k_1 - \frac{1}{2}k_2=2$
等式两边同乘2得：$k_1 - k_2=4$
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常考题型，核心是利用k的几何意义将三角形面积和反比例函数的系数关联起来，解题的关键是找到$△ OAB$的面积与两个直角三角形面积的差量关系，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足与原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。观察图形可知，$△ OAB$的面积可转化为$△ OAP$与$△ OBP$的面积差，结合两个反比例函数的k均为正（图象在第一象限），代入面积公式建立等式即可求出$k_1 - k_2$的值。
【解析】
∵ 反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}(x＞0)$和$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象均在第一象限
∴ $k_1＞0$，$k_2＞0$
根据反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ OAP}=\frac{1}{2}k_1$，$S_{△ OBP}=\frac{1}{2}k_2$
∵ $S_{△ OAB}=S_{△ OAP}-S_{△ OBP}=2$
∴ $\frac{1}{2}k_1 - \frac{1}{2}k_2=2$
等式两边同乘2得：$k_1 - k_2=4$
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常考题型，核心是利用k的几何意义将三角形面积和反比例函数的系数关联起来，解题的关键是找到$△ OAB$的面积与两个直角三角形面积的差量关系，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.如图,点B在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上,点C在反比例函数$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上,且$BC// y$轴,$AC⊥ BC$,垂足为C,交y轴于点A,则$△ ABC$的面积为（
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
6.A
解析
【分析】
首先观察图形特征：BC//y轴，AC⊥BC，可得AC//x轴，△ABC为直角三角形，面积公式为$S=\frac{1}{2} × AC × BC$。解题时可设点B的横坐标为参数a，利用BC//y轴得到C点横坐标也为a，再根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别表示出B、C的纵坐标，进而求出BC的长度；再结合AC平行x轴、A在y轴上的特征求出AC的长度，代入面积公式计算即可，参数会在计算中消去，无需求出具体值。
【解析】
设点B的横坐标为$a(a＞0)$，
∵$BC// y$轴，
∴点C的横坐标也为$a$。
∵点B在$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$B(a,\frac{4}{a})$；
∵点C在$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$C(a,-\frac{2}{a})$。
∴$BC$的长度为：$\frac{4}{a} - (-\frac{2}{a}) = \frac{6}{a}$。
又
∵$AC⊥ BC$，$BC// y$轴，
∴$AC// x$轴，
∵A在y轴上，A点纵坐标与C点纵坐标相同，为$-\frac{2}{a}$，
∴$AC$的长度为：$a - 0 = a$。
则$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × a × \frac{6}{a} = 3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形面积计算；平行线的性质
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题型，解题的关键是通过设参数表示图象上点的坐标，利用坐标关系表示线段长度，计算过程中参数可直接消去，无需解出参数具体值，能很好地考查学生对反比例函数性质和图形坐标关系的掌握程度。
【难度系数】
0.65
首先观察图形特征：BC//y轴，AC⊥BC，可得AC//x轴，△ABC为直角三角形，面积公式为$S=\frac{1}{2} × AC × BC$。解题时可设点B的横坐标为参数a，利用BC//y轴得到C点横坐标也为a，再根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别表示出B、C的纵坐标，进而求出BC的长度；再结合AC平行x轴、A在y轴上的特征求出AC的长度，代入面积公式计算即可，参数会在计算中消去，无需求出具体值。
【解析】
设点B的横坐标为$a(a＞0)$，
∵$BC// y$轴，
∴点C的横坐标也为$a$。
∵点B在$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$B(a,\frac{4}{a})$；
∵点C在$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$C(a,-\frac{2}{a})$。
∴$BC$的长度为：$\frac{4}{a} - (-\frac{2}{a}) = \frac{6}{a}$。
又
∵$AC⊥ BC$，$BC// y$轴，
∴$AC// x$轴，
∵A在y轴上，A点纵坐标与C点纵坐标相同，为$-\frac{2}{a}$，
∴$AC$的长度为：$a - 0 = a$。
则$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × a × \frac{6}{a} = 3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形面积计算；平行线的性质
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题型，解题的关键是通过设参数表示图象上点的坐标，利用坐标关系表示线段长度，计算过程中参数可直接消去，无需解出参数具体值，能很好地考查学生对反比例函数性质和图形坐标关系的掌握程度。
【难度系数】
0.65
