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1 已知直线$l$与$\odot O$的公共点个数为2，则直线$l$与$\odot O$的位置关系是
相交
。答案
相交
解析
【分析】
解决本题首先要明确直线与圆的三种位置关系对应的公共点数量特征，我们可以通过题目给出的公共点个数直接匹配对应的位置关系：首先回忆规则，无公共点对应相离，1个公共点对应相切，2个公共点对应相交，题中明确给出公共点个数为2，直接对应判定即可。
【解析】
根据直线与圆位置关系的判定规则：
1. 直线和圆相离：公共点个数为0；
2. 直线和圆相切：公共点个数为1；
3. 直线和圆相交：公共点个数为2。
已知直线$l$与$\odot O$的公共点个数为2，符合相交的判定特征，因此直线$l$与$\odot O$的位置关系为相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念考查题，直接检验对直线与圆位置关系判定规则的记忆情况，只要牢记不同位置关系对应的公共点数量即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确直线与圆的三种位置关系对应的公共点数量特征，我们可以通过题目给出的公共点个数直接匹配对应的位置关系：首先回忆规则，无公共点对应相离，1个公共点对应相切，2个公共点对应相交，题中明确给出公共点个数为2，直接对应判定即可。
【解析】
根据直线与圆位置关系的判定规则：
1. 直线和圆相离：公共点个数为0；
2. 直线和圆相切：公共点个数为1；
3. 直线和圆相交：公共点个数为2。
已知直线$l$与$\odot O$的公共点个数为2，符合相交的判定特征，因此直线$l$与$\odot O$的位置关系为相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念考查题，直接检验对直线与圆位置关系判定规则的记忆情况，只要牢记不同位置关系对应的公共点数量即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2（易错题）若直线与半径为4 cm的$\odot O$没有公共点，则这条直线与$\odot O$的位置关系是
相离
。答案
相离
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆三种位置关系的判定依据：可根据公共点的个数直接对应位置关系，相交对应2个公共点，相切对应1个公共点，相离对应0个公共点。抓住题干“没有公共点”的核心条件，排除有公共点的相交、相切两种情况，即可得出结果。注意不要混淆相切的公共点特征，相切有1个公共点，不属于无公共点的情况。
【解析】
直线与圆的位置关系共有三种，对应公共点特征如下：
1. 相交：直线与圆有2个公共点；
2. 相切：直线与圆有且只有1个公共点；
3. 相离：直线与圆没有公共点。
已知直线与$\odot O$没有公共点，符合相离的定义，因此这条直线与$\odot O$的位置关系是相离。
（题干给出的半径4cm为干扰信息，通过公共点个数可直接判定位置关系，无需使用该条件）
【答案】
相离
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 直线与圆公共点特征
【点评】
本题是易错题，易错点在于容易误将有1个公共点的相切情况归为无公共点的类型，解题时要牢记三种位置关系对应的公共点数量，同时注意甄别题干中的多余条件，避免被无关信息干扰判断。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆直线与圆三种位置关系的判定依据：可根据公共点的个数直接对应位置关系，相交对应2个公共点，相切对应1个公共点，相离对应0个公共点。抓住题干“没有公共点”的核心条件，排除有公共点的相交、相切两种情况，即可得出结果。注意不要混淆相切的公共点特征，相切有1个公共点，不属于无公共点的情况。
【解析】
直线与圆的位置关系共有三种，对应公共点特征如下：
1. 相交：直线与圆有2个公共点；
2. 相切：直线与圆有且只有1个公共点；
3. 相离：直线与圆没有公共点。
已知直线与$\odot O$没有公共点，符合相离的定义，因此这条直线与$\odot O$的位置关系是相离。
（题干给出的半径4cm为干扰信息，通过公共点个数可直接判定位置关系，无需使用该条件）
【答案】
相离
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 直线与圆公共点特征
【点评】
本题是易错题，易错点在于容易误将有1个公共点的相切情况归为无公共点的类型，解题时要牢记三种位置关系对应的公共点数量，同时注意甄别题干中的多余条件，避免被无关信息干扰判断。
【难度系数】
0.7
3（易错题）已知平面内有$\odot O$和点A，B.若$\odot O$的半径为2 cm，线段$OA=3$ cm，$OB=2$ cm，则直线AB与$\odot O$的位置关系为
相交或相切
.答案
相交或相切
解析
【分析】
要判断直线AB与$\odot O$的位置关系，核心是比较圆心$O$到直线$AB$的距离$d$与圆半径$r$的大小关系：$d＞r$时相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。首先确定两点的位置：$OA=3\mathrm{cm}＞$半径$2\mathrm{cm}$，故点$A$在圆外；$OB=2\mathrm{cm}=r$，故点$B$在圆上。接下来分类讨论直线$AB$的位置：若$AB⊥ OB$，此时$O$到$AB$的距离等于$OB$的长度即等于半径，符合相切条件；若$AB$与$OB$不垂直，根据垂线段最短，$O$到$AB$的距离小于$OB$长度即小于半径，符合相交条件，不存在相离的可能，因此有两种位置关系。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=2\mathrm{cm}$，
$\because OA=3\mathrm{cm}＞2\mathrm{cm}$，$\therefore$点$A$在$\odot O$外；
$\because OB=2\mathrm{cm}=r$，$\therefore$点$B$在$\odot O$上，即直线$AB$经过$\odot O$上的点$B$。
分两种情况讨论：
1. 当$AB⊥ OB$时，圆心$O$到直线$AB$的距离$d=OB=2\mathrm{cm}=r$，此时直线$AB$与$\odot O$相切；
2. 当$AB$与$OB$不垂直时，由垂线段最短可知，圆心$O$到直线$AB$的距离$d＜OB=2\mathrm{cm}=r$，此时直线$AB$与$\odot O$相交。
综上，直线$AB$与$\odot O$的位置关系为相交或相切。
【答案】
相交或相切
【知识点】
直线与圆的位置关系判定、点与圆的位置关系、垂线段最短
【点评】
本题属于易错题，解题时容易因未分类讨论导致漏解，需结合点与圆的位置特征，全面分析直线所有可能的位置，再通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断位置关系。
【难度系数】
0.6
要判断直线AB与$\odot O$的位置关系，核心是比较圆心$O$到直线$AB$的距离$d$与圆半径$r$的大小关系：$d＞r$时相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。首先确定两点的位置：$OA=3\mathrm{cm}＞$半径$2\mathrm{cm}$，故点$A$在圆外；$OB=2\mathrm{cm}=r$，故点$B$在圆上。接下来分类讨论直线$AB$的位置：若$AB⊥ OB$，此时$O$到$AB$的距离等于$OB$的长度即等于半径，符合相切条件；若$AB$与$OB$不垂直，根据垂线段最短，$O$到$AB$的距离小于$OB$长度即小于半径，符合相交条件，不存在相离的可能，因此有两种位置关系。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=2\mathrm{cm}$，
$\because OA=3\mathrm{cm}＞2\mathrm{cm}$，$\therefore$点$A$在$\odot O$外；
$\because OB=2\mathrm{cm}=r$，$\therefore$点$B$在$\odot O$上，即直线$AB$经过$\odot O$上的点$B$。
分两种情况讨论：
1. 当$AB⊥ OB$时，圆心$O$到直线$AB$的距离$d=OB=2\mathrm{cm}=r$，此时直线$AB$与$\odot O$相切；
2. 当$AB$与$OB$不垂直时，由垂线段最短可知，圆心$O$到直线$AB$的距离$d＜OB=2\mathrm{cm}=r$，此时直线$AB$与$\odot O$相交。
综上，直线$AB$与$\odot O$的位置关系为相交或相切。
【答案】
相交或相切
【知识点】
直线与圆的位置关系判定、点与圆的位置关系、垂线段最短
【点评】
本题属于易错题，解题时容易因未分类讨论导致漏解，需结合点与圆的位置特征，全面分析直线所有可能的位置，再通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断位置关系。
【难度系数】
0.6
4 已知$\odot O$的直径为13 cm，圆心O到直线l的距离为d cm.
(1) 若$d=5$，则直线l与$\odot O$有
(2) 若$d=13$，则直线l与$\odot O$的位置关系是
(1) 若$d=5$，则直线l与$\odot O$有
两
个公共点；(2) 若$d=13$，则直线l与$\odot O$的位置关系是
相离
.答案
(1) 两 (2) 相离
解析
【分析】
解题时首先根据圆的直径求出半径，再结合直线与圆位置关系的判定规则分析：圆心到直线的距离d＜半径r时，直线与圆相交，有2个公共点；d=r时，直线与圆相切，有1个公共点；d＞r时，直线与圆相离，没有公共点。将两小问的d值分别与r比较，即可得出对应结论。
【解析】
已知$\odot O$的直径为13 cm，因此$\odot O$的半径$r=\frac{13}{2}=6.5$ cm。
(1) 当$d=5$ cm时，$5＜6.5$，即$d＜r$，此时直线l与$\odot O$相交，因此有2个公共点；
(2) 当$d=13$ cm时，$13＞6.5$，即$d＞r$，此时直线l与$\odot O$的位置关系为相离。
【答案】
(1) 两 (2) 相离
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；圆的直径与半径换算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，只要熟记d与r的大小关系对应的位置和公共点特征即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据圆的直径求出半径，再结合直线与圆位置关系的判定规则分析：圆心到直线的距离d＜半径r时，直线与圆相交，有2个公共点；d=r时，直线与圆相切，有1个公共点；d＞r时，直线与圆相离，没有公共点。将两小问的d值分别与r比较，即可得出对应结论。
【解析】
已知$\odot O$的直径为13 cm，因此$\odot O$的半径$r=\frac{13}{2}=6.5$ cm。
(1) 当$d=5$ cm时，$5＜6.5$，即$d＜r$，此时直线l与$\odot O$相交，因此有2个公共点；
(2) 当$d=13$ cm时，$13＞6.5$，即$d＞r$，此时直线l与$\odot O$的位置关系为相离。
【答案】
(1) 两 (2) 相离
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；圆的直径与半径换算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，只要熟记d与r的大小关系对应的位置和公共点特征即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
5 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$AB = 10\ \mathrm{cm},BC = 6\ \mathrm{cm},AC = 8\ \mathrm{cm}$.现以点 $C$ 为圆心、$r$ 为半径作圆,判断当 $r$ 为下列情况时,$\odot C$ 与边 $AB$ 所在的直线有怎样的位置关系.
(1) $r = 4\ \mathrm{cm}$;
(2) $r = 4.8\ \mathrm{cm}$;
(3) $r = 6\ \mathrm{cm}$.
(1) $r = 4\ \mathrm{cm}$;
(2) $r = 4.8\ \mathrm{cm}$;
(3) $r = 6\ \mathrm{cm}$.
答案
$\because AB=10\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm},AC=8\ \mathrm{cm},\therefore AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}.\therefore ∠ ACB = 90°.$ 过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ 于点 $D.$ $\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC,\therefore CD = \frac{AC · BC}{AB} = 4.8\ \mathrm{cm}.$ (1) 当 $r=4\ \mathrm{cm}$ 时,$CD＞r,\therefore \odot C$ 与边 $AB$ 所在的直线相离 (2) 当 $r=4.8\ \mathrm{cm}$ 时,$CD=r,\therefore \odot C$ 与边 $AB$ 所在的直线相切 (3) 当 $r=6\ \mathrm{cm}$ 时,$CD＜r,\therefore \odot C$ 与边 $AB$ 所在的直线相交
解析
【分析】
要判断⊙C与AB所在直线的位置关系，核心是先求出圆心C到直线AB的距离，再将该距离与半径r比较大小即可。首先根据三角形三边长度，用勾股定理逆定理确认△ABC是直角三角形，∠C为直角；再利用等面积法，通过直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），求出斜边AB上的高，也就是圆心C到AB的距离；最后根据直线与圆的位置关系判定规则，分别对应三种r的取值判断位置关系即可。
【解析】
先验证△ABC为直角三角形：
∵$AB=10\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm},AC=8\ \mathrm{cm}$，
∴$AB^2=10^2=100$，$BC^2+AC^2=6^2+8^2=100$，
∴$AB^2=BC^2+AC^2$，由勾股定理逆定理得$∠ ACB=90°$。
过点$C$作$CD ⊥ AB$于点$D$，$CD$即为圆心$C$到直线$AB$的距离。
由三角形面积公式可得$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC$，
代入数值计算：$\frac{1}{2} × 10 × CD = \frac{1}{2} × 8 × 6$，
解得$CD=\frac{8 × 6}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$。
分情况判断：
(1) 当$r=4\ \mathrm{cm}$时，$CD＞r$，
∴$\odot C$与边$AB$所在的直线相离；
(2) 当$r=4.8\ \mathrm{cm}$时，$CD=r$，
∴$\odot C$与边$AB$所在的直线相切；
(3) 当$r=6\ \mathrm{cm}$时，$CD＜r$，
∴$\odot C$与边$AB$所在的直线相交。
【答案】
(1) 相离；(2) 相切；(3) 相交
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 勾股定理逆定理
3. 等面积法求线段长
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础典型题，解题关键是掌握直线与圆位置关系的判定逻辑：通过比较圆心到直线的距离和半径的大小判断位置关系，其中利用等面积法求直角三角形斜边上的高是常用的解题技巧，能很好地考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
要判断⊙C与AB所在直线的位置关系，核心是先求出圆心C到直线AB的距离，再将该距离与半径r比较大小即可。首先根据三角形三边长度，用勾股定理逆定理确认△ABC是直角三角形，∠C为直角；再利用等面积法，通过直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），求出斜边AB上的高，也就是圆心C到AB的距离；最后根据直线与圆的位置关系判定规则，分别对应三种r的取值判断位置关系即可。
【解析】
先验证△ABC为直角三角形：
∵$AB=10\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm},AC=8\ \mathrm{cm}$，
∴$AB^2=10^2=100$，$BC^2+AC^2=6^2+8^2=100$，
∴$AB^2=BC^2+AC^2$，由勾股定理逆定理得$∠ ACB=90°$。
过点$C$作$CD ⊥ AB$于点$D$，$CD$即为圆心$C$到直线$AB$的距离。
由三角形面积公式可得$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC$，
代入数值计算：$\frac{1}{2} × 10 × CD = \frac{1}{2} × 8 × 6$，
解得$CD=\frac{8 × 6}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$。
分情况判断：
(1) 当$r=4\ \mathrm{cm}$时，$CD＞r$，
∴$\odot C$与边$AB$所在的直线相离；
(2) 当$r=4.8\ \mathrm{cm}$时，$CD=r$，
∴$\odot C$与边$AB$所在的直线相切；
(3) 当$r=6\ \mathrm{cm}$时，$CD＜r$，
∴$\odot C$与边$AB$所在的直线相交。
【答案】
(1) 相离；(2) 相切；(3) 相交
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 勾股定理逆定理
3. 等面积法求线段长
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础典型题，解题关键是掌握直线与圆位置关系的判定逻辑：通过比较圆心到直线的距离和半径的大小判断位置关系，其中利用等面积法求直角三角形斜边上的高是常用的解题技巧，能很好地考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
6 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5$，$AB=13$。
若以点$C$为圆心、$r$为半径的圆与$AB$所在直线相交，则$r$的值可能为 （
A.3
B.4
C.$\frac{60}{13}$
D.5
若以点$C$为圆心、$r$为半径的圆与$AB$所在直线相交，则$r$的值可能为 （
D
）A.3
B.4
C.$\frac{60}{13}$
D.5
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确直线与圆相交的判定规则：若圆心到直线的距离为d，圆半径为r，当d＜r时，直线与圆相交。因此我们需要先求出圆心C到AB所在直线的距离（即Rt△ABC斜边AB上的高），再找出选项中大于该距离的r值即可。
【解析】
1. 先求Rt△ABC的直角边BC的长度：
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
2. 求点C到AB的距离d（即斜边AB上的高h）：
利用三角形面积相等，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·h$，代入数值：
$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13×h$
解得$h=\frac{60}{13}\approx4.62$，即$d=\frac{60}{13}$
3. 根据直线与圆相交的条件：$r＞d$，即$r＞\frac{60}{13}$，对比选项，只有5满足条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 直线与圆相交的判定
2. 勾股定理
3. 面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题的核心是先求出圆心到直线的距离，再结合相交的判定规则筛选符合条件的半径值，掌握基础判定规则和直角三角形相关计算即可快速作答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确直线与圆相交的判定规则：若圆心到直线的距离为d，圆半径为r，当d＜r时，直线与圆相交。因此我们需要先求出圆心C到AB所在直线的距离（即Rt△ABC斜边AB上的高），再找出选项中大于该距离的r值即可。
【解析】
1. 先求Rt△ABC的直角边BC的长度：
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
2. 求点C到AB的距离d（即斜边AB上的高h）：
利用三角形面积相等，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·h$，代入数值：
$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13×h$
解得$h=\frac{60}{13}\approx4.62$，即$d=\frac{60}{13}$
3. 根据直线与圆相交的条件：$r＞d$，即$r＞\frac{60}{13}$，对比选项，只有5满足条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 直线与圆相交的判定
2. 勾股定理
3. 面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题的核心是先求出圆心到直线的距离，再结合相交的判定规则筛选符合条件的半径值，掌握基础判定规则和直角三角形相关计算即可快速作答。
【难度系数】
0.7
7 如图，有两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3。若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB长的取值范围是
$8≤ AB≤10$
。答案
$8≤ AB≤10$
解析
【分析】
首先明确弦AB与小圆有公共点等价于直线AB与小圆相交或相切。先找AB的最大值：大圆内最长的弦是直径，因此AB的最大值为大圆的直径。再找AB的最小值：当AB与小圆相切时，AB长度最小，此时可通过垂径定理结合勾股定理计算最小弦长，最终确定AB的取值范围。
【解析】
1. 求AB的最大值：
大圆中最长的弦是直径，因此当AB为大圆直径时，AB最长，此时$AB=2×5=10$，该情况下AB与小圆有公共点，符合要求。
2. 求AB的最小值：
当AB与小圆相切时，AB长度最小，此时AB与小圆仅有1个公共点，满足“有公共点”的条件。过圆心O作$OC⊥AB$于点C，根据切线的性质，OC等于小圆半径3。
由垂径定理可知，C为AB的中点，即$AB=2AC$。
在$Rt△AOC$中，$OA=5$，$OC=3$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，因此$AB=2×4=8$。
若$AB＜8$，则圆心O到AB的距离大于小圆半径3，直线AB与小圆相离，没有公共点，不符合要求。
综上，弦AB长的取值范围是$8≤ AB≤10$。
【答案】
$8≤ AB≤10$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系
【点评】
本题解题的关键是明确弦长的最值对应的位置，需注意“有公共点”同时包含相交、相切两种情况，不要遗漏端点值，结合圆的性质和直角三角形的相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先明确弦AB与小圆有公共点等价于直线AB与小圆相交或相切。先找AB的最大值：大圆内最长的弦是直径，因此AB的最大值为大圆的直径。再找AB的最小值：当AB与小圆相切时，AB长度最小，此时可通过垂径定理结合勾股定理计算最小弦长，最终确定AB的取值范围。
【解析】
1. 求AB的最大值：
大圆中最长的弦是直径，因此当AB为大圆直径时，AB最长，此时$AB=2×5=10$，该情况下AB与小圆有公共点，符合要求。
2. 求AB的最小值：
当AB与小圆相切时，AB长度最小，此时AB与小圆仅有1个公共点，满足“有公共点”的条件。过圆心O作$OC⊥AB$于点C，根据切线的性质，OC等于小圆半径3。
由垂径定理可知，C为AB的中点，即$AB=2AC$。
在$Rt△AOC$中，$OA=5$，$OC=3$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，因此$AB=2×4=8$。
若$AB＜8$，则圆心O到AB的距离大于小圆半径3，直线AB与小圆相离，没有公共点，不符合要求。
综上，弦AB长的取值范围是$8≤ AB≤10$。
【答案】
$8≤ AB≤10$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系
【点评】
本题解题的关键是明确弦长的最值对应的位置，需注意“有公共点”同时包含相交、相切两种情况，不要遗漏端点值，结合圆的性质和直角三角形的相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=4\sqrt{3}$,$BC=4$,以点$C$为圆心画$\odot C$.
(1) 要使$\odot C$与边$AB$所在的直线相切,求$\odot C$的半径.
(2) 若$\odot C$的半径为3,则$\odot C$与边$AB$所在的直线有怎样的位置关系?请说明理由.
(3) 若$\odot C$与斜边$AB$有两个公共点,直接写出$\odot C$的半径$r$的取值范围.
(1) 要使$\odot C$与边$AB$所在的直线相切,求$\odot C$的半径.
(2) 若$\odot C$的半径为3,则$\odot C$与边$AB$所在的直线有怎样的位置关系?请说明理由.
(3) 若$\odot C$与斜边$AB$有两个公共点,直接写出$\odot C$的半径$r$的取值范围.
答案
过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ 于点 $D.$ 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中, $AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = 8.$ $\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC,$
$\therefore CD = \frac{AC · BC}{AB} = 2\sqrt{3}.$ (1) $\because$ 要使$\odot C$ 与边 $AB$ 所在的直线相切,$\therefore \odot C$ 的半径为 $2\sqrt{3}$ (2) 相离 理由:$\because 3＜2\sqrt{3}$,$\therefore \odot C$ 与边 $AB$ 所在的直线相离. (3) $2\sqrt{3}＜r≤4$
$\therefore CD = \frac{AC · BC}{AB} = 2\sqrt{3}.$ (1) $\because$ 要使$\odot C$ 与边 $AB$ 所在的直线相切,$\therefore \odot C$ 的半径为 $2\sqrt{3}$ (2) 相离 理由:$\because 3＜2\sqrt{3}$,$\therefore \odot C$ 与边 $AB$ 所在的直线相离. (3) $2\sqrt{3}＜r≤4$
解析
【分析】
解决直线与圆位置关系的核心是比较圆心到直线的距离$d$和半径$r$的大小：$d＞r$时相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。本题首先需要求出圆心$C$到$AB$所在直线的距离：先用勾股定理计算斜边$AB$的长度，再用三角形面积法求出斜边上的高$CD$，$CD$即为$d$。
(1) 圆与$AB$所在直线相切时$r=d$，直接代入$d$的数值即可；
(2) 比较半径3和$d$的大小，即可判断位置关系；
(3) 要使圆与斜边$AB$（线段）有两个公共点，首先要满足直线$AB$与圆相交即$r＞d$，同时要保证两个交点都落在线段$AB$上，因此半径不能超过点$C$到线段$AB$较近端点$B$的距离，由此可得半径的取值范围。
【解析】
过点$C$作$CD ⊥ AB$于点$D$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4\sqrt{3}$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{48+16}=\sqrt{64}=8$。
根据三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值得：
$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=\frac{1}{2}×8× CD$，解得$CD=\frac{4\sqrt{3}×4}{8}=2\sqrt{3}$，即圆心$C$到$AB$所在直线的距离$d=2\sqrt{3}$。
(1) 若$\odot C$与$AB$所在直线相切，则半径$r=d=2\sqrt{3}$。
(2) $\odot C$与$AB$所在直线相离，理由如下：
已知$\odot C$半径$r=3$，$d=2\sqrt{3}\approx3.464$，可得$3＜2\sqrt{3}$，即$r＜d$，因此$\odot C$与$AB$所在直线相离。
(3) 当$\odot C$与斜边$AB$有两个公共点时：
首先需满足直线$AB$与圆相交，即$r＞d=2\sqrt{3}$；
当$r=BC=4$时，圆经过点$B$，此时圆与$AB$有2个公共点，若$r＞4$，则点$B$落在圆内，线段$AB$与圆仅存在1个公共点，因此$r≤4$。
综上，$r$的取值范围为$2\sqrt{3}＜r≤4$。
【答案】
(1) $\boxed{2\sqrt{3}}$
(2) 相离，理由见解析
(3) $\boxed{2\sqrt{3}＜r≤4}$
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查直线与圆位置关系的判定，解题关键是明确位置关系与圆心到直线距离、半径的对应规则，注意第三问的研究对象是斜边$AB$线段，不要忽略端点的限制，避免漏记半径的上限。
【难度系数】
0.7
解决直线与圆位置关系的核心是比较圆心到直线的距离$d$和半径$r$的大小：$d＞r$时相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。本题首先需要求出圆心$C$到$AB$所在直线的距离：先用勾股定理计算斜边$AB$的长度，再用三角形面积法求出斜边上的高$CD$，$CD$即为$d$。
(1) 圆与$AB$所在直线相切时$r=d$，直接代入$d$的数值即可；
(2) 比较半径3和$d$的大小，即可判断位置关系；
(3) 要使圆与斜边$AB$（线段）有两个公共点，首先要满足直线$AB$与圆相交即$r＞d$，同时要保证两个交点都落在线段$AB$上，因此半径不能超过点$C$到线段$AB$较近端点$B$的距离，由此可得半径的取值范围。
【解析】
过点$C$作$CD ⊥ AB$于点$D$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4\sqrt{3}$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{48+16}=\sqrt{64}=8$。
根据三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值得：
$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=\frac{1}{2}×8× CD$，解得$CD=\frac{4\sqrt{3}×4}{8}=2\sqrt{3}$，即圆心$C$到$AB$所在直线的距离$d=2\sqrt{3}$。
(1) 若$\odot C$与$AB$所在直线相切，则半径$r=d=2\sqrt{3}$。
(2) $\odot C$与$AB$所在直线相离，理由如下：
已知$\odot C$半径$r=3$，$d=2\sqrt{3}\approx3.464$，可得$3＜2\sqrt{3}$，即$r＜d$，因此$\odot C$与$AB$所在直线相离。
(3) 当$\odot C$与斜边$AB$有两个公共点时：
首先需满足直线$AB$与圆相交，即$r＞d=2\sqrt{3}$；
当$r=BC=4$时，圆经过点$B$，此时圆与$AB$有2个公共点，若$r＞4$，则点$B$落在圆内，线段$AB$与圆仅存在1个公共点，因此$r≤4$。
综上，$r$的取值范围为$2\sqrt{3}＜r≤4$。
【答案】
(1) $\boxed{2\sqrt{3}}$
(2) 相离，理由见解析
(3) $\boxed{2\sqrt{3}＜r≤4}$
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查直线与圆位置关系的判定，解题关键是明确位置关系与圆心到直线距离、半径的对应规则，注意第三问的研究对象是斜边$AB$线段，不要忽略端点的限制，避免漏记半径的上限。
【难度系数】
0.7
