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三、解答题
11.解方程组：$\begin{cases} x+2y=7, \\ 3x-4y=1. \end{cases}$
11.解方程组：$\begin{cases} x+2y=7, \\ 3x-4y=1. \end{cases}$
答案
11.$\begin{cases} x=3, \\ y=2. \end{cases}$
解析
【分析】
本题是求解二元一次方程组，核心解题思路是消元，将二元转化为一元来求解。观察方程组中两个方程的系数，发现y的系数分别是2和-4，存在倍数关系，因此可以选择加减消元法：将第一个方程两边乘2，使y的系数变为4，和第二个方程的y系数-4互为相反数，两式相加即可消去y，先求出x的值，再代入任意一个原方程求出y的值，最后验证解是否正确即可。也可以选择代入消元法，从第一个方程中用含y的式子表示x，代入第二个方程求解。
【解析】
解：给方程组标号为：
$\begin{cases} x+2y=7 \ \ \ ①, \\ 3x-4y=1 \ \ ②. \end{cases}$
将①×2，得：$2x + 4y = 14 \ \ \ ③$
用③+②，消去y，可得：
$2x + 4y + 3x - 4y = 14 + 1$
合并同类项得：$5x = 15$
解得：$x = 3$
把$x=3$代入①，得：
$3 + 2y = 7$
移项计算得：$2y = 4$，即$y=2$
将$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$代入原方程组验证，两个方程左右两边均相等，解成立。
【答案】
$\begin{cases} x=3, \\ y=2. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组求解的基础题，重点考察消元思想的应用，解题时可根据方程系数的特点灵活选择消元方法，简化计算过程。
【难度系数】
0.85
本题是求解二元一次方程组，核心解题思路是消元，将二元转化为一元来求解。观察方程组中两个方程的系数，发现y的系数分别是2和-4，存在倍数关系，因此可以选择加减消元法：将第一个方程两边乘2，使y的系数变为4，和第二个方程的y系数-4互为相反数，两式相加即可消去y，先求出x的值，再代入任意一个原方程求出y的值，最后验证解是否正确即可。也可以选择代入消元法，从第一个方程中用含y的式子表示x，代入第二个方程求解。
【解析】
解：给方程组标号为：
$\begin{cases} x+2y=7 \ \ \ ①, \\ 3x-4y=1 \ \ ②. \end{cases}$
将①×2，得：$2x + 4y = 14 \ \ \ ③$
用③+②，消去y，可得：
$2x + 4y + 3x - 4y = 14 + 1$
合并同类项得：$5x = 15$
解得：$x = 3$
把$x=3$代入①，得：
$3 + 2y = 7$
移项计算得：$2y = 4$，即$y=2$
将$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$代入原方程组验证，两个方程左右两边均相等，解成立。
【答案】
$\begin{cases} x=3, \\ y=2. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组求解的基础题，重点考察消元思想的应用，解题时可根据方程系数的特点灵活选择消元方法，简化计算过程。
【难度系数】
0.85
12.补全推理过程：
如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,点E在AB上,EF⊥BC于点F,过点D作直线DG交AC于点G,交EF的延长线于点H,∠B=50°,∠1+∠2=180°.求∠H的度数.
解:∵AD⊥BC,EF⊥BC,(已知)
∴AD//EF.(
∴∠2+∠EAD=180°.(
∵∠1+∠2=180°,(已知)
∴∠1=∠
∴AE//HG.(
∴∠B=∠BDH.(
∵∠B=50°,(已知)
∴∠BDH=50°.(等量代换)
∵AD⊥BC,(已知)
∴∠ADB=90°.(
∵∠1+∠BDH+∠ADB=180°,(平角定义)
∴∠1=180°−∠BDH−∠ADB=40°,(等式性质)
∵AD//EF,(已证)
∴∠H=∠1=
如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,点E在AB上,EF⊥BC于点F,过点D作直线DG交AC于点G,交EF的延长线于点H,∠B=50°,∠1+∠2=180°.求∠H的度数.
解:∵AD⊥BC,EF⊥BC,(已知)
∴AD//EF.(
在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行
)∴∠2+∠EAD=180°.(
两直线平行,同旁内角互补
)∵∠1+∠2=180°,(已知)
∴∠1=∠
EAD
.(同角的补角相等)∴AE//HG.(
内错角相等,两直线平行
)∴∠B=∠BDH.(
两直线平行,内错角相等
)∵∠B=50°,(已知)
∴∠BDH=50°.(等量代换)
∵AD⊥BC,(已知)
∴∠ADB=90°.(
垂直的定义
)∵∠1+∠BDH+∠ADB=180°,(平角定义)
∴∠1=180°−∠BDH−∠ADB=40°,(等式性质)
∵AD//EF,(已证)
∴∠H=∠1=
40
.(两直线平行,同位角相等
)答案
12.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;两直线平行,同旁内角互补;EAD;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;垂直的定义;40;两直线平行,同位角相等.
解析
【分析】
这是一道几何推理填空题，解题时先结合已知的两组垂直关系，判定AD与EF平行，再利用平行线的性质得到∠2和∠EAD的互补关系，结合已知∠1+∠2=180°，通过同角的补角相等推出∠1和∠EAD相等，进而判定AB与DG平行，再利用平行线的性质得到∠B和∠BDH相等，结合垂直定义和平角定义算出∠1的度数，最后根据AD与EF平行的性质得到∠H的度数，每一步推理匹配对应的几何定理或定义即可完成补全。
【解析】
我们依次补全推理过程中的空缺内容：
1. 由AD⊥BC，EF⊥BC，判定AD//EF的依据：在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行；
2. 由AD//EF推出∠2+∠EAD=180°的依据：两直线平行,同旁内角互补；
3. 因为∠1+∠2=180°，∠2+∠EAD=180°，根据同角的补角相等，可得∠1=∠EAD；
4. 由∠1=∠EAD推出AE//HG的依据：内错角相等,两直线平行；
5. 由AE//HG推出∠B=∠BDH的依据：两直线平行,内错角相等；
6. 由AD⊥BC推出∠ADB=90°的依据：垂直的定义；
7. 计算得∠1=40°，再由AD//EF推出∠H=∠1=40°，依据是：两直线平行,同位角相等。
【答案】
在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;两直线平行,同旁内角互补;EAD;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;垂直的定义;40;两直线平行,同位角相等
【知识点】
平行线的判定与性质；垂直的定义；补角的性质
【点评】
本题属于基础几何推理题，核心考查平行线判定定理和性质定理的区分与应用，需要理清推导逻辑，明确“由平行推角的数量关系是性质，由角的数量关系推平行是判定”，熟练掌握基础定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
这是一道几何推理填空题，解题时先结合已知的两组垂直关系，判定AD与EF平行，再利用平行线的性质得到∠2和∠EAD的互补关系，结合已知∠1+∠2=180°，通过同角的补角相等推出∠1和∠EAD相等，进而判定AB与DG平行，再利用平行线的性质得到∠B和∠BDH相等，结合垂直定义和平角定义算出∠1的度数，最后根据AD与EF平行的性质得到∠H的度数，每一步推理匹配对应的几何定理或定义即可完成补全。
【解析】
我们依次补全推理过程中的空缺内容：
1. 由AD⊥BC，EF⊥BC，判定AD//EF的依据：在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行；
2. 由AD//EF推出∠2+∠EAD=180°的依据：两直线平行,同旁内角互补；
3. 因为∠1+∠2=180°，∠2+∠EAD=180°，根据同角的补角相等，可得∠1=∠EAD；
4. 由∠1=∠EAD推出AE//HG的依据：内错角相等,两直线平行；
5. 由AE//HG推出∠B=∠BDH的依据：两直线平行,内错角相等；
6. 由AD⊥BC推出∠ADB=90°的依据：垂直的定义；
7. 计算得∠1=40°，再由AD//EF推出∠H=∠1=40°，依据是：两直线平行,同位角相等。
【答案】
在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;两直线平行,同旁内角互补;EAD;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;垂直的定义;40;两直线平行,同位角相等
【知识点】
平行线的判定与性质；垂直的定义；补角的性质
【点评】
本题属于基础几何推理题，核心考查平行线判定定理和性质定理的区分与应用，需要理清推导逻辑，明确“由平行推角的数量关系是性质，由角的数量关系推平行是判定”，熟练掌握基础定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
13.某校为了解七年级600名学生双手垫排球的情况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行双手垫排球测试，并对测试成绩进行统计分析，得到如下尚不完整的统计图和统计表：
请根据尚未完成的统计图表，解答下列问题：
(1)请直接写出$a,b$的值并补全频数分布直方图；
(2)若绘制“七年级学生双手垫排球测试成绩扇形统计图”，则测试成绩在$35＜n≤45$个所对应扇形的圆心角的度数是
(3)若双手垫排球个数超过45个为优秀，则该校七年级学生双手垫排球成绩优秀的约有多少人？
请根据尚未完成的统计图表，解答下列问题：
(1)请直接写出$a,b$的值并补全频数分布直方图；
(2)若绘制“七年级学生双手垫排球测试成绩扇形统计图”，则测试成绩在$35＜n≤45$个所对应扇形的圆心角的度数是
$126°$
.(3)若双手垫排球个数超过45个为优秀，则该校七年级学生双手垫排球成绩优秀的约有多少人？
答案
13.解:(1)抽取的人数为:$9÷15\%=60$(人),
$a=60×25\%=15$,
$b=\dfrac{6}{60}×100\%=10\%$,
补全频数分布直方图略；
(2)$126°$；
(3)$600×(25\%+15\%)=240$(人).
$a=60×25\%=15$,
$b=\dfrac{6}{60}×100\%=10\%$,
补全频数分布直方图略；
(2)$126°$；
(3)$600×(25\%+15\%)=240$(人).
解析
【分析】
解决本题的核心是熟练运用频数、频率、样本容量三者的关系：频率=频数÷样本容量，同时结合扇形统计图圆心角计算、用样本估计总体的方法解题。
1. 求解第(1)问时，先找到已知频数和对应频率的分组，计算出抽取的样本总人数，再根据公式分别计算a的值（频数=样本容量×对应频率）和b的值（频率=对应频数÷样本容量），再根据a的数值补全直方图即可。
2. 求解第(2)问时，先求出35＜n≤45分组对应的频率，再用频率×360°即可得到对应扇形的圆心角度数。
3. 求解第(3)问时，先算出样本中成绩优秀（超过45个）的频率之和，再用七年级总人数乘该频率，即可估计出全年级优秀的总人数。
【解析】
(1) 首先计算抽取的学生总人数：已知某组频数为9，对应频率为15%，因此总人数为 $9÷15\%=60$（人）。
a是频率25%对应的频数，因此 $a=60×25\%=15$；
b是频数为6的组对应的频率，因此 $b=\dfrac{6}{60}×100\%=10\%$；
补全频数分布直方图：在对应区间画出高度为15的长方形即可（补图略）。
(2) 先计算$35＜n≤45$分组对应的频率：所有组频率之和为1，因此该组频率为 $1-10\%-30\%-25\%-15\%=35\%$，对应扇形圆心角度数为 $360°×35\%=126°$。
(3) 成绩超过45个为优秀，样本中优秀的频率和为 $25\%+15\%=40\%$，因此估计七年级优秀总人数为 $600×40\%=240$（人）。
【答案】
(1) $a=15$，$b=10\%$，补全直方图略；
(2) $126°$；
(3) 240人
【知识点】
频数与频率，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题是统计类基础应用题，综合考查频数分布表、频数分布直方图、扇形统计图的相关知识，解题的关键是牢牢把握频数、频率、样本容量三者的换算关系，属于统计板块的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是熟练运用频数、频率、样本容量三者的关系：频率=频数÷样本容量，同时结合扇形统计图圆心角计算、用样本估计总体的方法解题。
1. 求解第(1)问时，先找到已知频数和对应频率的分组，计算出抽取的样本总人数，再根据公式分别计算a的值（频数=样本容量×对应频率）和b的值（频率=对应频数÷样本容量），再根据a的数值补全直方图即可。
2. 求解第(2)问时，先求出35＜n≤45分组对应的频率，再用频率×360°即可得到对应扇形的圆心角度数。
3. 求解第(3)问时，先算出样本中成绩优秀（超过45个）的频率之和，再用七年级总人数乘该频率，即可估计出全年级优秀的总人数。
【解析】
(1) 首先计算抽取的学生总人数：已知某组频数为9，对应频率为15%，因此总人数为 $9÷15\%=60$（人）。
a是频率25%对应的频数，因此 $a=60×25\%=15$；
b是频数为6的组对应的频率，因此 $b=\dfrac{6}{60}×100\%=10\%$；
补全频数分布直方图：在对应区间画出高度为15的长方形即可（补图略）。
(2) 先计算$35＜n≤45$分组对应的频率：所有组频率之和为1，因此该组频率为 $1-10\%-30\%-25\%-15\%=35\%$，对应扇形圆心角度数为 $360°×35\%=126°$。
(3) 成绩超过45个为优秀，样本中优秀的频率和为 $25\%+15\%=40\%$，因此估计七年级优秀总人数为 $600×40\%=240$（人）。
【答案】
(1) $a=15$，$b=10\%$，补全直方图略；
(2) $126°$；
(3) 240人
【知识点】
频数与频率，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题是统计类基础应用题，综合考查频数分布表、频数分布直方图、扇形统计图的相关知识，解题的关键是牢牢把握频数、频率、样本容量三者的换算关系，属于统计板块的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
