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1. [2025哈尔滨中考]抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2 +4$的顶点坐标是（
A.$(3,4)$
B.$(-3,4)$
C.$(-3,-4)$
D.$(3,-4)$
A
）A.$(3,4)$
B.$(-3,4)$
C.$(-3,-4)$
D.$(3,-4)$
答案
1 A 抛物线$y = a(x - h)^2 + k$ 的顶点坐标为$(h,k)$.
2. [2026阜阳期中]若二次函数$y=2(x-m)^2 -1$在$x＜4$时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（
A.$m=4$
B.$m＞4$
C.$m≥4$
D.$m≤4$
C
）A.$m=4$
B.$m＞4$
C.$m≥4$
D.$m≤4$
答案
2 C 因为抛物线的对称轴为直线$x=m$,抛物线开口向上,所以当$x ＜ m$时,$y$随$x$的增大而减小. 又因为当$x ＜ 4$时,$y$随$x$的增大而减小,所以 $m≥4$(此处容易忽略等号).
3. [2025合肥瑶海区段考]已知抛物线$y=a(x+1)^2 -k$与x轴交于点$A(4,0)$，$B(m,0)$，则$A$，$B$两点之间的距离是（
A.4
B.6
C.8
D.10
D
）A.4
B.6
C.8
D.10
答案
3 D $\because$ 点$A$和点$B$的纵坐标相同,$\therefore$ 点$A(4,0)$与点$B(m,0)$关于抛物线$y = a(x + 1)^2 - k$ 的对称轴即直线$x = -1$对称,$\therefore A,B$两点之间的距离为$2|4 - (-1)| = 10$.
4. ▶一题多解 [2025威海中考]已知点$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$都在二次函数$y=-(x-2)^2 +c$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是 (
A.$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
B.$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
C.$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
D.$y_3 ＞ y_2 ＞ y_1$
C
)A.$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
B.$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
C.$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
D.$y_3 ＞ y_2 ＞ y_1$
答案
4 C 通解(增减性比较法) $\because$ 抛物线$y = -(x - 2)^2 + c$的开口向下,对称轴为直线$x = 2$,$\therefore$ 当$x ＞ 2$时,$y$随$x$的增大而减小. 点$(-2,y_1)$关于直线$x = 2$的对称点为$(6,y_1)$(当点不都在对称轴的同侧时,可利用抛物线的对称性将点转化到对称轴的同侧再比较大小). $\because 3 ＜ 6 ＜ 7$,$\therefore y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$.
另解(根据点到对称轴的距离比较大小) 抛物线$y = -(x - 2)^2 + c$的开口向下,对称轴为直线$x = 2$,则抛物线上的点到直线$x = 2$的距离越大,其相应的函数值越小. $\because |3 - 2| ＜ |-2 - 2| ＜ |7 - 2|$,$\therefore y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$.
另解(根据点到对称轴的距离比较大小) 抛物线$y = -(x - 2)^2 + c$的开口向下,对称轴为直线$x = 2$,则抛物线上的点到直线$x = 2$的距离越大,其相应的函数值越小. $\because |3 - 2| ＜ |-2 - 2| ＜ |7 - 2|$,$\therefore y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$.
5. [2026蚌埠六中期中]已知抛物线的对称轴为直线$x=3$，$y$的最大值为$-5$，且与$y=\frac{1}{2}x^2$的图象开口大小相同，则这条抛物线的表达式为
$y = -\frac{1}{2}(x - 3)^2 -5$
。答案
5 $y = -\frac{1}{2}(x - 3)^2 -5$ 设抛物线的表达式为$y = a(x - h)^2 + k$. 因为抛物线的对称轴为直线$x = 3$,$y$的最大值为$-5$,所以$h = 3$,$k = -5$,且抛物线的开口向下. 又因为抛物线与$y = \frac{1}{2}x^2$的图象开口大小相同,所以$a = -\frac{1}{2}$,所以这条抛物线的表达式为$y = -\frac{1}{2}(x - 3)^2 -5$.
6. [2026阜阳段考]已知二次函数$y=-(x-1)^2 +5$的图象如图所示.
(1)该抛物线与y轴的交点坐标是
(2)当$0＜x＜3$时,求y的取值范围.
(1)该抛物线与y轴的交点坐标是
$(0,4)$
.(2)当$0＜x＜3$时,求y的取值范围.
答案
6 解:(1)$(0,4)$
$\because$ 当$x = 0$时,$y = 4$,$\therefore$ 该抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,4)$.
(2)由抛物线的对称轴为直线$x = 1$可知,当$x = 1$时,$y$取得最大值5.
$\because 1 - 0 ＜ 3 - 1$,
$\therefore$ 当$x = 3$时,$y$取得最小值,为$-(3 - 1)^2 + 5 = 1$,
$\therefore$ 当$0 ＜ x ＜ 3$时,$y$的取值范围是$1 ＜ y ≤ 5$.
$\because$ 当$x = 0$时,$y = 4$,$\therefore$ 该抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,4)$.
(2)由抛物线的对称轴为直线$x = 1$可知,当$x = 1$时,$y$取得最大值5.
$\because 1 - 0 ＜ 3 - 1$,
$\therefore$ 当$x = 3$时,$y$取得最小值,为$-(3 - 1)^2 + 5 = 1$,
$\therefore$ 当$0 ＜ x ＜ 3$时,$y$的取值范围是$1 ＜ y ≤ 5$.
7. [2026呼和浩特期中]将抛物线$y=2x^2$向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（
）
）答案
7 B 由平移规律可知平移后抛物线的表达式为$y = 2(x + 2)^2 -1$,其开口向上,顶点坐标为$(-2,-1)$,故选项B符合题意.
8. [2026巴中平昌中学考]抛物线$y=(x+2)^2 -1$是由某个抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则原抛物线的表达式为（
A.$y=(x-2)^2 +5$
B.$y=(x+2)^2 -1$
C.$y=(x+1)^2 +1$
D.$y=(x-1)^2 +1$
C
）A.$y=(x-2)^2 +5$
B.$y=(x+2)^2 -1$
C.$y=(x+1)^2 +1$
D.$y=(x-1)^2 +1$
答案
8 C 由题意可知,将抛物线$y = (x + 2)^2 -1$向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度就能得到原抛物线,其表达式为$y = (x + 2 -1)^2 -1 + 2$,即$y = (x + 1)^2 + 1$.
变式 一题多解 已知抛物线$y=(x+2)^2 -1$向左平移$h$个单位长度，再向下平移$k$个单位长度，得到的抛物线的表达式为$y=(x+3)^2 -4$，则$h=$
1
，$k=$3
。答案
变式 1 3 通解 因为抛物线$y = (x + 2)^2 -1$的顶点坐标是$(-2,-1)$,所以向左平移$h$个单位长度,再向下平移$k$个单位长度后的顶点坐标为$(-2 - h,-1 - k)$,所以平移后抛物线的表达式为$y = (x + 2 + h)^2 -1 - k$. 因为平移后抛物线的表达式为$y = (x + 3)^2 -4$,所以$2 + h = 3$,$-1 -k = -4$,所以$h = 1$,$k = 3$.
另解 由抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”得到平移后的抛物线的表达式为$y = (x + 2 + h)^2 -1 -k = (x + 3)^2 -4$,所以$2 + h = 3$,$-1 -k = -4$,所以$h = 1$,$k = 3$.
另解 由抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”得到平移后的抛物线的表达式为$y = (x + 2 + h)^2 -1 -k = (x + 3)^2 -4$,所以$2 + h = 3$,$-1 -k = -4$,所以$h = 1$,$k = 3$.
