登录
10. [2026 阜阳期中]已知二次函数 $y = -2(x + m)^2$，当 $x ＜ -3$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x ＞ -3$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，则当 $x = 1$ 时，$y$ 的值为（
A.$-12$
B.$12$
C.$32$
D.$-32$
D
）A.$-12$
B.$12$
C.$32$
D.$-32$
答案
10 D 由题意可得$-m = -3$(抛物线的对称轴是直线$x=-3$),解得$m=3$,所以$y=-2(x+3)^2$.当$x=1$时,$y=-2×4^2=-32$.
11. 教材P26练习T1变式 一题多解 在同一平面直角坐标系中,一次函数$y = ax + c$和二次函数$y = a(x + c)^2$的图象可能是 (
B
)答案
11 B 直线$y=ax+c$经过点$(0,c)$,抛物线$y=a(x+c)^2$的对称轴是直线$x=-c$.当$c＞0$时,直线$y=ax+c$交$y$轴于正半轴,抛物线$y=a(x+c)^2$的对称轴在$y$轴左侧,选项A,D不符合题意;当$c＜0$时,直线$y=ax+c$交$y$轴于负半轴,抛物线$y=a(x+c)^2$的对称轴在$y$轴右侧,选项C不符合题意.
当$a＞0$时,一次函数$y=ax+c$的图象经过第一、第三象限,二次函数$y=a(x+c)^2$的图象开口向上,排除选项A;当$a＜0$时,一次函数$y=ax+c$的图象经过第二、第四象限,二次函数$y=a(x+c)^2$的图象开口向下,排除选项D;对于选项C,一次函数$y=ax+c$交$y$轴于负半轴,因此$c＜0$,而二次函数$y=a(x+c)^2$的图象的对称轴在$y$轴左侧,因此$-c＜0$,所以$c＞0$,互相矛盾,排除选项C.
当$a＞0$时,一次函数$y=ax+c$的图象经过第一、第三象限,二次函数$y=a(x+c)^2$的图象开口向上,排除选项A;当$a＜0$时,一次函数$y=ax+c$的图象经过第二、第四象限,二次函数$y=a(x+c)^2$的图象开口向下,排除选项D;对于选项C,一次函数$y=ax+c$交$y$轴于负半轴,因此$c＜0$,而二次函数$y=a(x+c)^2$的图象的对称轴在$y$轴左侧,因此$-c＜0$,所以$c＞0$,互相矛盾,排除选项C.
12. [2026杭州采荷实验中学期中]设二次函数$y_1 = -(x - m)^2$，$y_2 = -(x - n)^2$，直线$x=1$与函数$y_1,y_2$的图象分别交于点$A(1,a_1),B(1,a_2)$，得（
A.若$1＜m＜n$，则$a_1＜a_2$
B.若$m＜1＜n$，则$a_1＜a_2$
C.若$m＜n＜1$，则$a_1＜a_2$
D.若$m＜1＜n$，则$a_1＞a_2$
C
）A.若$1＜m＜n$，则$a_1＜a_2$
B.若$m＜1＜n$，则$a_1＜a_2$
C.若$m＜n＜1$，则$a_1＜a_2$
D.若$m＜1＜n$，则$a_1＞a_2$
答案
12 C 如图1,若$1＜m＜n$,则$a_1＞a_2$,故选项A错误;如图2,若$m＜1＜n$,则$a_1＞a_2$或$a_1=a_2$或$a_1＜a_2$,故选项B,D错误;如图3,若$m＜n＜1$,则$a_1＜a_2$,故选项C正确.(数形结合,事半功倍)
13. [2025池州贵池区段考] 将抛物线 $ y = -2x^2 $ 左右平移，使得它与x轴交于点A，与y轴交于点B，若△ABO的面积为27，则平移后抛物线的表达式为
$y = -2(x - 3)^2$ 或 $y = -2(x + 3)^2$
。答案
13 $y = -2(x - 3)^2$ 或 $y = -2(x + 3)^2$ 设平移后抛物线的表达式为$y=-2(x-h)^2$,则点A的坐标为$(h,0)$,点B的坐标为$(0,-2h^2)$.$\because △ AOB$的面积为27,$\therefore \frac{1}{2}|h|·|-2h^2|=27$,解得$h=\pm3$,$\therefore$ 平移后抛物线的表达式为$y=-2(x-3)^2$或$y=-2(x+3)^2$.
14.已知一条抛物线$y=a(x+h)^2$的开口方向和开口大小与抛物线$y=2x^2$相同，而顶点与抛物线$y=(x-2)^2$相同.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)将(1)中的抛物线向右平移3个单位长度，会得到怎样的抛物线？
(3)直接写出将(2)中的抛物线沿x轴翻折后得到的抛物线的表达式.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)将(1)中的抛物线向右平移3个单位长度，会得到怎样的抛物线？
(3)直接写出将(2)中的抛物线沿x轴翻折后得到的抛物线的表达式.
答案
14 解:(1)$\because$ 该抛物线的开口方向和开口大小与抛物线$y=2x^2$相同,$\therefore a=2$.
$\because$ 该抛物线的顶点与抛物线$y=(x-2)^2$相同,$\therefore h=-2$,
$\therefore$ 该抛物线的表达式为$y=2(x-2)^2$.
(2)将(1)中的抛物线向右平移3个单位长度,得到的抛物线的表达式为$y=2(x-2-3)^2=2(x-5)^2$.
(3)将(2)中的抛物线沿$x$轴翻折后得到的抛物线的表达式为$y=-2(x-5)^2$.
得分要点：与二次函数图象关于坐标轴对称的图象的函数表达式:
| |关于x轴对称|关于y轴对称|
|----|----|----|
|$y=a(x+h)^2$|$y=-a(x+h)^2$|$y=a(x-h)^2$|
$\because$ 该抛物线的顶点与抛物线$y=(x-2)^2$相同,$\therefore h=-2$,
$\therefore$ 该抛物线的表达式为$y=2(x-2)^2$.
(2)将(1)中的抛物线向右平移3个单位长度,得到的抛物线的表达式为$y=2(x-2-3)^2=2(x-5)^2$.
(3)将(2)中的抛物线沿$x$轴翻折后得到的抛物线的表达式为$y=-2(x-5)^2$.
得分要点：与二次函数图象关于坐标轴对称的图象的函数表达式:
| |关于x轴对称|关于y轴对称|
|----|----|----|
|$y=a(x+h)^2$|$y=-a(x+h)^2$|$y=a(x-h)^2$|
15. [2025松原期中]如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线$y=(x+h)^2$的顶点为B(2,0),与y轴交于点A,过点A作$AC⊥y$轴,交该抛物线于点C,连接BC,以AC,BC为边作$□ ACBD$.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)求点D的坐标.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)求点D的坐标.
答案
15 解:(1)$\because$ 抛物线$y=(x+h)^2$的顶点为$B(2,0)$,
$\therefore$ 该抛物线的表达式为$y=(x-2)^2$.
(2)当$x=0$时,$y=(0-2)^2=4$,$\therefore A(0,4)$.
由(1)可知抛物线的对称轴为直线$x=2$.
$\because AC⊥ y$轴,$\therefore$ 点$A,C$关于直线$x=2$对称,
$\therefore C(4,4)$,$\therefore AC=4$.
$\because$ 四边形$ACBD$是平行四边形,$\therefore BD=AC=4$,$AC// BD$.
$\because AC⊥ y$轴,$\therefore BD⊥ y$轴.
$\because$ 点$B$在$x$轴上,$\therefore$ 点$D$在$x$轴上.$\because B(2,0)$,$\therefore D(-2,0)$.
$\therefore$ 该抛物线的表达式为$y=(x-2)^2$.
(2)当$x=0$时,$y=(0-2)^2=4$,$\therefore A(0,4)$.
由(1)可知抛物线的对称轴为直线$x=2$.
$\because AC⊥ y$轴,$\therefore$ 点$A,C$关于直线$x=2$对称,
$\therefore C(4,4)$,$\therefore AC=4$.
$\because$ 四边形$ACBD$是平行四边形,$\therefore BD=AC=4$,$AC// BD$.
$\because AC⊥ y$轴,$\therefore BD⊥ y$轴.
$\because$ 点$B$在$x$轴上,$\therefore$ 点$D$在$x$轴上.$\because B(2,0)$,$\therefore D(-2,0)$.
16. 运算能力 [2025马鞍山八中期中] 已知二次函数$y=-(x-h)^2$（$h$为常数），当$2≤ x≤5$时，函数$y$的最大值为$-4$，则$h$的值为
0或7
。答案
16 0或7 抛物线$y=-(x-h)^2$的开口向下,对称轴为直线$x=h$,顶点坐标为$(h,0)$.$\because -4＜0$,$\therefore h＜2$或$h＞5$(由顶点坐标可知,在实数范围内$y$的最大值为0,而题目中$y$的最大值为$-4$,所以$h$在$x$的取值范围的左侧或右侧).若$h＜2$,则当$2≤x≤5$时,$y$随$x$的增大而减小,所以当$x=2$时,$y$取最大值,即$-4=-(2-h)^2$,解得$h=0$或$h=4$(舍去).若$h＞5$,则当$2≤x≤5$时,$y$随$x$的增大而增大,所以当$x=5$时,$y$取最大值,即$-4=-(5-h)^2$,解得$h=3$(舍去)或$h=7$.综上,$h=0$或7.
