1. 如图，$△ ABC$与$△ BDE$都是等腰三角形，$BA=BC$，$BD=BE$，$∠ BAC=∠ BDE$，连接$AD$，$CE$。求证：$∠ BAD=∠ BCE$。

1. 证明:
∵BA=BC,BD=BE,
∴∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED.
∴∠ABC=180°−∠BAC−∠BCA=180°−2∠BAC,∠DBE=180°−∠BDE−∠BED=180°−2∠BDE.
∵∠BAC=∠BDE,
∴∠ABC=∠DBE.
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,即∠ABD=∠CBE. 在△ABD和△CBE中,
∵$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ABD=∠CBE, \\ BD=BE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBE(SAS).
∴∠BAD=∠BCE.

【分析】
要证明∠BAD=∠BCE，可通过证明两角所在的△ABD和△CBE全等来推导。首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知∠BAC=∠BDE，可推出两个等腰三角形的顶角∠ABC=∠DBE；再通过角的和差关系，得到△ABD和△CBE的一组夹角∠ABD=∠CBE；最后结合已知的BA=BC、BD=BE的边相等条件，用SAS判定定理证明△ABD≌△CBE，根据全等三角形对应角相等即可得证结论。
【解析】
证明：
∵BA=BC，BD=BE，
∴∠BAC=∠BCA，∠BDE=∠BED。
由三角形内角和为180°可得：
∠ABC=180°−∠BAC−∠BCA=180°−2∠BAC，
∠DBE=180°−∠BDE−∠BED=180°−2∠BDE。
∵∠BAC=∠BDE，
∴∠ABC=∠DBE。
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE。
在△ABD和△CBE中，
$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ABD=∠CBE, \\ BD=BE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBE（SAS）。
∴∠BAD=∠BCE。
【答案】
∠BAD=∠BCE
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于共顶点等腰三角形（手拉手模型）的典型基础题，核心是通过等腰三角形的性质推导全等所需的夹角相等条件，进而利用全等三角形的性质得到对应角相等，掌握该模型的特征可以快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7

2. 如图，$△ ABC$和$△ ADE$都是等边三角形，点$B$在$ED$的延长线上，连接$CE$.
(1)求证：$△ ABD≌△ ACE$；
(2)若$AE=2$，$CE=3$，求$BE$的长.

2.(1)证明:
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中,
∵$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)解:由(1)知△ABD≌△ACE,
∴BD=CE=3.
∵△ADE是等边三角形,
∴DE=AE=2.
∴BE=BD+DE=5.

【分析】
(1) 要证明△ABD≌△ACE，可先利用等边三角形的性质得到两组对应边相等：AB=AC，AD=AE，再通过角的和差关系推导两边的夹角相等：∠BAC和∠DAE均为60°，同时减去公共角∠DAC即可得到∠BAD=∠CAE，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
(2) 求BE的长，观察线段组成可知BE=BD+DE，首先利用(1)的全等结论可得对应边BD=CE，再结合等边△ADE的性质得DE=AE，代入已知线段长度即可求出BE的值。
【解析】
(1) 证明:
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2) 解:由(1)知△ABD≌△ACE,
∴BD=CE=3.
∵△ADE是等边三角形,
∴DE=AE=2.
∴BE=BD+DE=3+2=5.
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是共顶点等边三角形的典型基础题，核心考察手拉手全等模型的应用，解题时需熟练掌握等边三角形的边、角特征，结合全等的判定和性质转化线段关系即可求解，属于几何部分的常规考点。
【难度系数】
0.7