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7.一副三角尺如图放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为
15°或60°
。答案
7.15°或60°
8.(2025·海安模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,将△ABC绕点C顺时针旋转,得到△FEC,点B的对应点E落在AD上,若∠ACE=10°,则∠AEF的度数为
80
°.答案
8.80
9.如图,点 A 在射线 OX 上,OA=a.如果 OA 绕点 O 逆时针旋转$n°(0＜n≤360)$到$OA'$,那么点$A'$的位置可以用$(a,n°)$表示.
(1)按上述表示方法,若$a=3,n=37$,则点$A'$的位置可以表示为
(2)在(1)的条件下,已知点 B 的位置用$(3,74°)$表示,连接$A'A,A'B$,求证:$A'A=A'B$.
(1)按上述表示方法,若$a=3,n=37$,则点$A'$的位置可以表示为
(3,37°)
;(2)在(1)的条件下,已知点 B 的位置用$(3,74°)$表示,连接$A'A,A'B$,求证:$A'A=A'B$.
答案
9.(1)(3,37°)
(2)证明:如答图，
∵A'(3,37°),B(3,74°),
∴∠AOA'=37°,∠AOB=74°,OA=OB=3,
∴∠A'OB=∠AOB−∠AOA'=74°−37°=37°,
∴∠A'OB=∠AOA'.
∵OA'=OA,
∴△AOA'≌△BOA'(SAS),
∴A'A=A'B.
10.如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后得到△ABQ，连接EQ。
求证：(1)EA是∠QED的平分线；
(2)$EF^2=BE^2+DF^2$。
求证：(1)EA是∠QED的平分线；
(2)$EF^2=BE^2+DF^2$。
答案
10.证明:
∵△ADF绕点A顺时针旋转90°后得到△ABQ,
且四边形ABCD是正方形,
∴∠QAF=∠BAD=90°,BQ=DF,AQ=AF,∠ABQ=∠ADF=45°.
(1)
∵∠EAF=45°,
∴∠EAQ=45°.
在△AQE和△AFE中,AQ=AF,∠EAQ=∠EAF,AE=AE,
∴△AQE≌△AFE,
∴∠AEQ=∠AEF,
∴EA是∠QED的平分线.
(2)由(1)中△AQE≌△AFE,得EQ=EF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABD=45°.
又
∵∠ABQ=45°,
∴∠QBE=90°.
在Rt△QBE中,由勾股定理得EQ²=BE²+BQ²,
∴EF²=BE²+DF².
∵△ADF绕点A顺时针旋转90°后得到△ABQ,
且四边形ABCD是正方形,
∴∠QAF=∠BAD=90°,BQ=DF,AQ=AF,∠ABQ=∠ADF=45°.
(1)
∵∠EAF=45°,
∴∠EAQ=45°.
在△AQE和△AFE中,AQ=AF,∠EAQ=∠EAF,AE=AE,
∴△AQE≌△AFE,
∴∠AEQ=∠AEF,
∴EA是∠QED的平分线.
(2)由(1)中△AQE≌△AFE,得EQ=EF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABD=45°.
又
∵∠ABQ=45°,
∴∠QBE=90°.
在Rt△QBE中,由勾股定理得EQ²=BE²+BQ²,
∴EF²=BE²+DF².
