1. (2026·运城期末)项目化学习
项目背景:学校为了让学生观察植物的生长习性,打算在校区建立一个如图所示的试验田(矩形ABCD),请你和数学小组一起参与试验田的设计.
数据测量:该试验田两面靠墙(AD位置的墙最大可用27米,AB位置的墙最大可用15米),另外两边用栅栏围成,中间也用栅栏隔开,分成两个场地及一个1米宽的通道,两个场地分别留出一个1米宽的门(不用栅栏),建成后栅栏总长为45米.设试验田CD的长为x米.
问题解决:
(1)AD的长为米(用含x的式子表示);
(2)若试验田(矩形ABCD)的面积为180平方米,求x的值;
(3)通过计算说明该试验田的面积能否为240平方米.

1. (1)(48-3x) 解析:由题意得AD=45-2(x-1)-x+1=(48-3x)米.
(2)由题意得x(48-3x)=180,整理得x²-16x+60=0,解得x=6或x=10,当x=6时,48-3x=48-3×6=30＞27,不符合题意,舍去;当x=10＜15时,48-3x=48-3×10=18＜27,符合题意.则x的值为10.
(3)假设该试验田的面积能为240平方米,则x(48-3x)=240,整理得x²-16x+80=0,
∵Δ=(-16)²-4×1×80=-64＜0,方程没有实数根,
∴假设不成立.答:该试验田的面积不能为240平方米.

2. (2026·广州月考)如图①为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图.取水平线OE为x轴,铅垂线OD为y轴,建立平面直角坐标系.运动员以速度v(m/s)从D点滑出,运动轨迹近似抛物线$y=-ax^2+2x+20(a≠0)$.某运动员7次试跳的轨迹如图②.在着陆坡CE上设置点K(与DO相距32 m)作为标准点,着陆点在K点或超过K点视为成绩达标.
(1)求线段CE的函数解析式(写出x的取值范围).
(2)当$a=\frac{1}{9}$时,着陆点为P,求P的横坐标并判断成绩是否达标.
(3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关,进一步探究,测算得7组a与$v^2$的对应数据,在平面直角坐标系中描点如图③.
①猜想a关于$v^2$的函数类型,并用一个比较接近的函数解析式来表达它们的函数.
②当v(m/s)为多少时,运动员的成绩恰能达标?(精确到1 m/s)

(1)由题图②可知C(8,16),E(40,0),设CE的函数解析式为y=kx+b(k≠0),将C(8,16),E(40,0)代入y=kx+b(k≠0),得$\begin{cases}16=8k+b,\\0=40k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2},\\b=20,\end{cases}$
∴线段CE的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+20(8≤ x≤40)$.
(2)当$a=\dfrac{1}{9}$时,$y=-\dfrac{1}{9}x^2+2x+20$,由题意得$-\dfrac{1}{9}x^2+2x+20=-\dfrac{1}{2}x+20$,解得$x_1=0$(舍去),$x_2=22.5$.
∴P的横坐标为22.5.
∵22.5＜32,
∴成绩未达标.
(3)①猜想a与$v^2$成反比例函数关系.
∴设$a=\dfrac{m}{v^2}(m≠0)$,将(100,0.250)代入得$0.250=\dfrac{m}{100}$,解得m=25,
∴$a=\dfrac{25}{v^2}$.将(150,0.167)代入$a=\dfrac{25}{v^2}$,验证:$\dfrac{25}{150}≈0.167$,
∴$a=\dfrac{25}{v^2}$.
②由K在线段$y=-\dfrac{1}{2}x+20$上,得K(32,4),代入y=$-ax^2+2x+20$,得$a=\dfrac{5}{64}$,由$a=\dfrac{25}{v^2}$得$v^2=320$,又
∵v＞0,
∴v=$8\sqrt{5}≈18$,
∴当v≈18 m/s时,运动员的成绩恰能达标.