登录
1.「2026河南洛阳期中」根据下列表格中二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的自变量$x$与函数$y$的对应值，可以判定关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个解$x$的取值范围是（
A.$1.2＜x＜1.3$
B.$1.1＜x＜1.2$
C.$1＜x＜1.1$
D.$0.5＜x＜1$
B
）A.$1.2＜x＜1.3$
B.$1.1＜x＜1.2$
C.$1＜x＜1.1$
D.$0.5＜x＜1$
答案
1.B 由题表知,当x=1.2时,y=0.84＞0,当x=1.1时,y=-0.59＜0,
∴方程$ax^2+bx+c=0$的一个解x在1.1和1.2之间,故选B.
∴方程$ax^2+bx+c=0$的一个解x在1.1和1.2之间,故选B.
解析
【分析】
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的自变量$x$的值。因为二次函数的图象是连续的曲线，所以当$y$的值在某个$x$区间内由负变正（或由正变负）时，这个区间内一定存在一个$x$使得$y=0$，也就是方程的一个根，接下来只需观察表格中$y$值正负变化对应的$x$区间即可。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象是连续的曲线，方程$ax^2+bx+c=0$的根对应函数中$y=0$时的$x$值。
观察表格数据：
当$x=1.1$时，$y=-0.59＜0$；
当$x=1.2$时，$y=0.84＞0$。
说明在$1.1＜x＜1.2$这个区间内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的取值范围是$1.1＜x＜1.2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.一元二次方程近似根估算
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题关键是抓住函数值由负到正的变化区间，无需计算方程的准确根即可判断根的范围，解题思路直观易掌握。
【难度系数】
0.85
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的自变量$x$的值。因为二次函数的图象是连续的曲线，所以当$y$的值在某个$x$区间内由负变正（或由正变负）时，这个区间内一定存在一个$x$使得$y=0$，也就是方程的一个根，接下来只需观察表格中$y$值正负变化对应的$x$区间即可。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象是连续的曲线，方程$ax^2+bx+c=0$的根对应函数中$y=0$时的$x$值。
观察表格数据：
当$x=1.1$时，$y=-0.59＜0$；
当$x=1.2$时，$y=0.84＞0$。
说明在$1.1＜x＜1.2$这个区间内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的取值范围是$1.1＜x＜1.2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.一元二次方程近似根估算
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题关键是抓住函数值由负到正的变化区间，无需计算方程的准确根即可判断根的范围，解题思路直观易掌握。
【难度系数】
0.85
2.「2025广西柳州三模」如图所示的是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，点$A(2.18,-0.56)$，$B(2.68,0.54)$在图象上，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的一个根可能是（
A.2.18
B.2.68
C.-0.56
D.2.45
D
）A.2.18
B.2.68
C.-0.56
D.2.45
答案
2.D 从函数图象看,y=0时,x的一个值在2.18和2.68之间,
∴关于x的方程$ax^2+bx+c=0$的一个根在2.18和2.68之间.
故选D.
∴关于x的方程$ax^2+bx+c=0$的一个根在2.18和2.68之间.
故选D.
解析
【分析】
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的近似根，首先明确一元二次方程的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。已知图象上A、B两点的坐标，可通过两点的函数值正负判断x轴交点的横坐标范围，再对照选项选出符合范围的结果即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。
已知点$A(2.18,-0.56)$，此时$y=-0.56＜0$；点$B(2.68,0.54)$，此时$y=0.54＞0$。由于二次函数图象是连续的曲线，因此在$2.18＜x＜2.68$的范围内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即方程的一个根在2.18到2.68之间。
观察选项：A选项2.18、B选项2.68为两点横坐标，不符合要求；C选项-0.56是点A的纵坐标，不是方程的根；只有D选项2.45在2.18和2.68之间，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程，近似根估算，二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题关键是理解函数值由负变正的区间内必然存在使函数值为0的点，体现了数形结合的思想，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的近似根，首先明确一元二次方程的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。已知图象上A、B两点的坐标，可通过两点的函数值正负判断x轴交点的横坐标范围，再对照选项选出符合范围的结果即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。
已知点$A(2.18,-0.56)$，此时$y=-0.56＜0$；点$B(2.68,0.54)$，此时$y=0.54＞0$。由于二次函数图象是连续的曲线，因此在$2.18＜x＜2.68$的范围内，必然存在一个$x$使得$y=0$，即方程的一个根在2.18到2.68之间。
观察选项：A选项2.18、B选项2.68为两点横坐标，不符合要求；C选项-0.56是点A的纵坐标，不是方程的根；只有D选项2.45在2.18和2.68之间，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程，近似根估算，二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题关键是理解函数值由负变正的区间内必然存在使函数值为0的点，体现了数形结合的思想，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
3.「2026 浙江绍兴元培中学月考」已知函数$y=(x+1)^2 -4$,请按要求填空或解答问题:
(1)函数图象的对称轴是直线
(2)画出该二次函数的大致图象,并结合图象回答:当$x$取何值时,函数值$y＜0$?
(3)利用第(2)小题得到的图象,直接写出方程$(x+1)^2 -4=2$的近似解(精确到0.1).
(1)函数图象的对称轴是直线
x=-1
,顶点坐标是(-1,-4)
.(2)画出该二次函数的大致图象,并结合图象回答:当$x$取何值时,函数值$y＜0$?
(3)利用第(2)小题得到的图象,直接写出方程$(x+1)^2 -4=2$的近似解(精确到0.1).
答案
3.解析
(1)$x=-1;(-1,-4)$.
(2)列表：
|x|-3|-2|-1|0|1|
|---|---|---|---|---|---|
|y|0|-3|-4|-3|0|
描点,连线,如图
，由图象可知,当-3＜x＜1时,函数值y＜0.
(3)方程$(x+1)^2 -4=2$的近似解即为抛物线$y=(x+1)^2 -4$与直线y=2的交点的横坐标,由图象可知$x_1≈-3.4,x_2≈1.4$.
解析
【分析】
本题围绕二次函数顶点式展开考查，解题思路如下：
1. 第(1)问：回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，直接对应题干解析式的参数即可求解。
2. 第(2)问：画二次函数图象优先选取顶点、与坐标轴交点等关键点，列表计算对应坐标后描点连线；求$y＜0$的$x$范围，即找图象位于x轴下方部分对应的x取值区间即可。
3. 第(3)问：将方程变形为$(x+1)^2-4=2$，即求二次函数$y=(x+1)^2-4$的函数值为2时的自变量x值，对应图象上抛物线与直线$y=2$交点的横坐标，结合图象估算即可。
【解析】
(1) 已知函数解析式为顶点式$y=(x+1)^2-4$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$的参数，可得$h=-1$，$k=-4$，因此对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
(2) 第一步列表取关键点：
|x|-3|-2|-1|0|1|
|---|---|---|---|---|---|
|y|0|-3|-4|-3|0|
第二步在坐标系中描出上述点，用平滑曲线连线得到函数图象，如图。
观察图象可知，当函数图象位于x轴下方时，对应的x取值范围是$-3＜x＜1$，即当$-3＜x＜1$时，函数值$y＜0$。
(3) 方程$(x+1)^2-4=2$的解，等价于抛物线$y=(x+1)^2-4$与直线$y=2$交点的横坐标，观察图象估算可得两个交点的横坐标约为$-3.4$和$1.4$。
【答案】
(1) $x=-1$；$(-1,-4)$
(2) 图象见，当$-3＜x＜1$时，$y＜0$
(3) $x_1≈-3.4$，$x_2≈1.4$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数与不等式；二次函数与方程关系
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，核心考查数形结合思想的运用，需要熟练掌握二次函数顶点式的相关性质，学会通过图象分析不等式的解集、估算方程的解。
【难度系数】
0.7
本题围绕二次函数顶点式展开考查，解题思路如下：
1. 第(1)问：回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，直接对应题干解析式的参数即可求解。
2. 第(2)问：画二次函数图象优先选取顶点、与坐标轴交点等关键点，列表计算对应坐标后描点连线；求$y＜0$的$x$范围，即找图象位于x轴下方部分对应的x取值区间即可。
3. 第(3)问：将方程变形为$(x+1)^2-4=2$，即求二次函数$y=(x+1)^2-4$的函数值为2时的自变量x值，对应图象上抛物线与直线$y=2$交点的横坐标，结合图象估算即可。
【解析】
(1) 已知函数解析式为顶点式$y=(x+1)^2-4$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$的参数，可得$h=-1$，$k=-4$，因此对称轴是直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
(2) 第一步列表取关键点：
|x|-3|-2|-1|0|1|
|---|---|---|---|---|---|
|y|0|-3|-4|-3|0|
第二步在坐标系中描出上述点，用平滑曲线连线得到函数图象，如图
。观察图象可知，当函数图象位于x轴下方时，对应的x取值范围是$-3＜x＜1$，即当$-3＜x＜1$时，函数值$y＜0$。
(3) 方程$(x+1)^2-4=2$的解，等价于抛物线$y=(x+1)^2-4$与直线$y=2$交点的横坐标，观察图象估算可得两个交点的横坐标约为$-3.4$和$1.4$。
【答案】
(1) $x=-1$；$(-1,-4)$
(2) 图象见
，当$-3＜x＜1$时，$y＜0$(3) $x_1≈-3.4$，$x_2≈1.4$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数与不等式；二次函数与方程关系
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，核心考查数形结合思想的运用，需要熟练掌握二次函数顶点式的相关性质，学会通过图象分析不等式的解集、估算方程的解。
【难度系数】
0.7
4. 聚焦中考过程性学习「2026北京四十四中月考，★☆」某班“数学兴趣小组”对函数$y=x^2 - 2|x|$的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整。
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，$m=$
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分。
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质。
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有
②方程$x^2 - 2|x|=2$有
③关于x的方程$x^2 - 2|x|=a$有4个实数根时，a的取值范围是
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，$m=$
0
。(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分。
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质。
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有
3
个交点，所以对应的方程$x^2 - 2|x|=0$有3
个实数根；②方程$x^2 - 2|x|=2$有
2
个实数根；③关于x的方程$x^2 - 2|x|=a$有4个实数根时，a的取值范围是
-1＜a＜0
。答案
4.解析
(1)0.
(2)如图所示：
(3)函数$y=x^2-2|x|$的图象关于y轴对称.当x＞1时,y随x的增大而增大.
(4)①由函数图象知,函数图象与x轴有3个交点,所以方程$x^2-2|x|=0$有3个实数根.故填3;3.
②由图可知函数图象与直线y=2有两个交点,所以$x^2-2|x|=2$有2个实数根.故填2.
③$-1＜a＜0$.
解析
【分析】
(1) 函数解析式含有绝对值，自变量取互为相反数的两个数时函数值相等，也可直接将x=2代入解析式计算得到m的值。
(2) 由解析式可知该函数是偶函数，图象关于y轴对称，将已画出的y轴一侧图象沿y轴对称翻折即可补全完整图象。
(3) 观察图象可从对称性、增减性、最值等角度总结函数的性质。
(4) 方程的根的个数等价于函数图象与对应水平直线的交点个数：
① 求$x^2-2|x|=0$的根的个数，即统计函数图象与x轴（y=0）的交点个数；
② 求$x^2-2|x|=2$的根的个数，即统计函数图象与直线y=2的交点个数；
③ 方程有4个实数根说明函数图象与直线y=a有4个交点，结合图象最低点纵坐标和x轴对应y值即可确定a的取值范围。
【解析】
(1) 把x=2代入$y=x^2-2|x|$，得$y=2^2-2×|2|=4-4=0$，因此m=0。
(2) 函数图象关于y轴对称，将已有的y轴右侧图象沿y轴翻折即可得到左侧图象，补全后的图象如下：
(3) 观察图象可总结性质：① 函数图象关于y轴对称；② 当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一，如“当x＜-1时，y随x的增大而减小”“函数的最小值为-1”等表述均合理）。
(4) ① 观察图象可得函数与x轴交于$(-2,0)$、$(0,0)$、$(2,0)$，共3个交点，因此方程$x^2-2|x|=0$有3个实数根；
② 作直线y=2，观察得直线与函数图象共有2个交点，因此方程$x^2-2|x|=2$有2个实数根；
③ 要使方程$x^2-2|x|=a$有4个实数根，即函数图象与直线y=a有4个交点，结合图象可知当$-1＜a＜0$时，直线与图象的交点个数为4，因此a的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$
(2)
(3) 函数$y=x^2-2|x|$的图象关于y轴对称；当x＞1时,y随x的增大而增大（合理即可）
(4) ① $\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{3}$
② $\boldsymbol{2}$
③ $\boldsymbol{-1＜a＜0}$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；绝对值函数性质
【点评】
本题结合绝对值函数与二次函数的特征，考查了函数图象绘制、性质归纳、数形结合判断方程根的个数等知识点，能有效锻炼学生的图象分析能力与转化思想，是二次函数应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 函数解析式含有绝对值，自变量取互为相反数的两个数时函数值相等，也可直接将x=2代入解析式计算得到m的值。
(2) 由解析式可知该函数是偶函数，图象关于y轴对称，将已画出的y轴一侧图象沿y轴对称翻折即可补全完整图象。
(3) 观察图象可从对称性、增减性、最值等角度总结函数的性质。
(4) 方程的根的个数等价于函数图象与对应水平直线的交点个数：
① 求$x^2-2|x|=0$的根的个数，即统计函数图象与x轴（y=0）的交点个数；
② 求$x^2-2|x|=2$的根的个数，即统计函数图象与直线y=2的交点个数；
③ 方程有4个实数根说明函数图象与直线y=a有4个交点，结合图象最低点纵坐标和x轴对应y值即可确定a的取值范围。
【解析】
(1) 把x=2代入$y=x^2-2|x|$，得$y=2^2-2×|2|=4-4=0$，因此m=0。
(2) 函数图象关于y轴对称，将已有的y轴右侧图象沿y轴翻折即可得到左侧图象，补全后的图象如下：
(3) 观察图象可总结性质：① 函数图象关于y轴对称；② 当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一，如“当x＜-1时，y随x的增大而减小”“函数的最小值为-1”等表述均合理）。
(4) ① 观察图象可得函数与x轴交于$(-2,0)$、$(0,0)$、$(2,0)$，共3个交点，因此方程$x^2-2|x|=0$有3个实数根；
② 作直线y=2，观察得直线与函数图象共有2个交点，因此方程$x^2-2|x|=2$有2个实数根；
③ 要使方程$x^2-2|x|=a$有4个实数根，即函数图象与直线y=a有4个交点，结合图象可知当$-1＜a＜0$时，直线与图象的交点个数为4，因此a的取值范围是$-1＜a＜0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$
(2)
(3) 函数$y=x^2-2|x|$的图象关于y轴对称；当x＞1时,y随x的增大而增大（合理即可）
(4) ① $\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{3}$
② $\boldsymbol{2}$
③ $\boldsymbol{-1＜a＜0}$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；绝对值函数性质
【点评】
本题结合绝对值函数与二次函数的特征，考查了函数图象绘制、性质归纳、数形结合判断方程根的个数等知识点，能有效锻炼学生的图象分析能力与转化思想，是二次函数应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
