1 下列四边形的四个顶点,一定在同一个圆上的是（）

A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.梯形

1.B 【解析】四个顶点在同一个圆上的四边形,一定满足有一点到它的四个顶点的距离都相等,因而A、C、D都是错误的.
∵矩形对角线相等且互相平分,
∴四个顶点到对角线交点的距离相等,
∴矩形的四个顶点一定在同一个圆上.故选B.

【分析】
要判断四边形的四个顶点是否共圆，核心依据是圆的定义：若四个点到同一个点的距离都相等，则这四个点在同一个圆上。因此我们只需要分析各选项中四边形是否存在一个点到四个顶点的距离相等即可，可结合不同特殊四边形的对角线性质逐一判断。
【解析】
若四边形四个顶点在同一个圆上，则存在一点到四个顶点的距离均相等。
A. 平行四边形的对角线仅互相平分，长度不一定相等，因此对角线交点到四个顶点的距离不一定相等，四个顶点不一定共圆，不符合要求；
B. 矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线的交点到四个顶点的距离都等于对角线长度的一半，距离均相等，所以矩形的四个顶点一定在以对角线交点为圆心、半对角线长为半径的圆上，符合要求；
C. 菱形的对角线仅互相平分且垂直，长度不一定相等，因此对角线交点到四个顶点的距离不一定相等，四个顶点不一定共圆，不符合要求；
D. 普通梯形不具备对角线相等且平分的性质，不存在到四个顶点距离都相等的点，四个顶点不一定共圆，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 四点共圆的判定
2. 矩形的性质
3. 圆的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合圆的定义理解四点共圆的特征，再结合各类特殊四边形的性质逐一排查即可。
【难度系数】
0.9

2 如图，点A,D,G,M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形。设BC=a，EF=b，NH=c，则a,b,c三者间的大小关系为（）

A.$a＞b＞c$
B.$a=b=c$
C.$c＞a＞b$
D.$b＞c＞a$

2.B
思路分析
连接→OM, OD, OA
↓
比较→OM = OD = OA
↓
转化→HN = EF = BC
【解析】连接 OM, OD, OA, 如图.
∵ 点 A, D, M 在半圆上,
∴ OM = OD = OA.
∵ 四边形 ABOC, DEOF, HMNO 均为矩形,
∴ OM = NH, OD = EF, OA = BC,
∴ BC = EF = HN, 即 a = b = c. 故选 B.

【分析】
解题时首先观察题干给出的三个四边形均为矩形，回忆矩形对角线相等的性质；其次注意到三个矩形的一个顶点都在圆心O处，相对的顶点均在半圆上，因此可连接三个矩形对应在圆上的顶点与圆心O得到三条半径，根据同圆的半径相等，可将a、b、c三条线段分别转化为圆的半径，进而比较三者大小。
【解析】
连接OM、OD、OA，如图。
∵ 点A、D、M在半圆O上，
∴ OM、OD、OA均为半圆O的半径，即OM=OD=OA。
又
∵ 四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得：
BC=OA，EF=OD，NH=OM，
∴ BC=EF=NH，即a=b=c。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，圆的基本性质，等量代换
【点评】
本题是典型的几何转化类题目，不需要复杂计算，只需结合矩形对角线相等和同圆半径相等的性质，将待比较的线段转化为相等的半径即可得出结论，解题的关键是正确作出连接半径的辅助线。
【难度系数】
0.8

3[2026上海静安区调研]到点A(1,1)距离为1的点的轨迹是.

3.以点A为圆心,1为半径的圆 【解析】根据圆的定义可知,到定点A的距离为1的点的轨迹是以点A为圆心,1为半径的圆,故答案为以点A为圆心,1为半径的圆.
关键点拨
圆是指同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合,所以到定点A的距离为1的点的轨迹是圆.

【分析】
拿到本题首先明确要求的是满足“到定点A(1,1)的距离等于1”的所有点组成的图形，即点的轨迹。回忆相关几何定义：圆的本质就是同一平面内到定点距离等于定长的点的集合，其中定点为圆心，定长为半径。结合题中给出的定点是A，定长为1，即可对应得出轨迹的形状和相关要素。
【解析】
根据圆的定义：同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径。
本题中，定点为A(1,1)，定长（即点到A的距离）为1，因此满足条件的所有点的轨迹就是以点A为圆心，1为半径的圆。
【答案】
以点A为圆心,1为半径的圆
【知识点】
1.圆的定义 2.点的轨迹
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对圆的定义的直接应用，只要准确掌握圆的基本定义就能快速解题，是巩固圆相关基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.9

4[2026安徽合肥质检]下列说法:①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦.
其中正确的说法为（）

A.①③④
B.①③⑤
C.②③⑤
D.③④⑤

4.B 【解析】①直径是弦,故原说法正确;②弦不一定是直径,故原说法错误;③半圆是弧,但弧不一定是半圆,故原说法正确;④在同圆或等圆中,优弧一定大于劣弧,故原说法错误;⑤直径是圆中最长的弦,故原说法正确.综上所述,正确的说法有①③⑤.故选B.

【分析】
本题考查圆的相关概念辨析，解题时需逐一核对每个说法对应的定义与性质：首先回忆弦、直径的定义判断①②⑤；再回忆弧、半圆、优弧、劣弧的定义与比较规则判断③④，最终选出全部正确的选项。
【解析】
我们逐个判断5个说法的正误：
①弦的定义是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心且两端点在圆上的线段，符合弦的定义，故①正确；
②只有过圆心的弦才是直径，普通的弦不一定过圆心，因此弦不一定是直径，故②错误；
③半圆是直径的两个端点所对的弧，属于弧的一种；除了半圆外，弧还包括大于半圆的优弧和小于半圆的劣弧，因此弧不一定是半圆，故③正确；
④优弧是大于半圆的弧，劣弧是小于半圆的弧，二者长度比较的前提是在同圆或等圆中，缺少该前提时说法不成立，故④错误；
⑤圆内的弦长最大值等于直径的长度，因此直径是圆中最长的弦，故⑤正确。
综上，正确的说法为①③⑤，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
弦的概念；弧的分类；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的核心是准确掌握各概念的内涵以及相关性质的适用前提，尤其要注意优弧与劣弧比较大小必须限定在同圆或等圆中，避免因忽略前提条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7

5[2026浙江温州调研]如图,在$\odot O$中,点$B,O,C$和点$A,O,D$分别在同一条直线上,点$A,B,C,E$在$\odot O$上,则图中是弦,是直径,是以$A$为端点的劣弧,是以$A$为端点的优弧.(把满足要求的答案全部填上)

5.AB,BC,CE BC $\overgroup{AB},\overgroup{AE},\overgroup{AC}$ $\overgroup{ACE},\overgroup{ACB},\overgroup{ABC}$

【分析】
解题前需先明确圆的相关基础概念：①弦是连接圆上任意两点的线段，需满足两个端点都在圆上、是图中存在的线段两个条件；②直径是经过圆心的特殊弦；③劣弧是小于半圆的弧，一般用两个端点字母表示；④优弧是大于半圆的弧，一般用三个字母（两个端点+弧上任意一点）表示。解题时按照概念逐一筛选符合条件的对象即可。
【解析】
1. 找弦：观察图中的线段，端点均在圆上的有AB（端点A、B在圆上）、BC（端点B、C在圆上）、CE（端点C、E在圆上），故这三条为弦；
2. 找直径：上述弦中只有BC经过圆心O，符合直径的定义，故BC是直径；
3. 找以A为端点的劣弧：劣弧小于半圆，以A为端点的劣弧有$\overgroup{AB}$、$\overgroup{AE}$、$\overgroup{AC}$；
4. 找以A为端点的优弧：优弧大于半圆，需用三个字母表示，符合条件的有$\overgroup{ACE}$、$\overgroup{ACB}$、$\overgroup{ABC}$。
【答案】
AB,BC,CE；BC；$\overgroup{AB},\overgroup{AE},\overgroup{AC}$；$\overgroup{ACE},\overgroup{ACB},\overgroup{ABC}$
【知识点】
弦的概念；直径的概念；弧的分类
【点评】
本题考查圆的相关基础概念，解题核心是准确把握不同概念的区别，注意劣弧和优弧的表示方法差异，避免漏写符合要求的对象。
【难度系数】
0.8

6 如图,在扇形AOB中,D为$\overset{\frown}{AB}$上的点,连接AD并延长与OB的延长线交于点C.若$CD=OA$,$∠ O=75°$,则$∠ A$的度数为 ()

A.$35°$
B.$52.5°$
C.$70°$
D.$72°$

(第6题图)
(第7题图)
(第9题图)

6.C 【解析】连接 OD,如图. 设$∠ C$的度数为 n.
∵ CD = OA = OD,
∴ $∠ C = ∠ DOC = n$, $∠ OAD = ∠ ADO$.
∵ $∠ ADO = ∠ DOC + ∠ C = 2n$,
∴ $∠ OAD = 2n$.
∵ $∠ AOC + ∠ C + ∠ OAD = 180°$, $∠ AOC = 75°$,
∴ $75° + n + 2n = 180°$, 解得 n = 35°,
∴ $∠ OAD = 2n = 70°$. 故选 C.

【分析】
解题时首先抓住扇形半径相等这一隐含条件，结合已知CD=OA，可通过连接OD构造等腰三角形，将边的关系转化为角的关系。随后利用三角形外角性质表示出相关角的度数，最后结合三角形内角和定理列方程求解即可。
【解析】
连接OD，如图。设$∠ C$的度数为$n$。
∵ $CD = OA$，$OA$、$OD$均为扇形AOB的半径，即$OA=OD$，
∴ $CD=OD$，
∴ $∠ C = ∠ DOC = n$，且$△ OAD$中$OA=OD$，故$∠ OAD = ∠ ADO$。
∵ $∠ ADO$是$△ ODC$的外角，根据三角形外角性质可得$∠ ADO = ∠ DOC + ∠ C = 2n$，
∴ $∠ OAD = 2n$。
在$△ AOC$中，根据三角形内角和为$180°$，$∠ AOC + ∠ C + ∠ OAD = 180°$，已知$∠ AOC=75°$，
代入得：$75° + n + 2n = 180°$，解得$n=35°$，
∴ $∠ OAD = 2n = 70°$，即$∠ A$的度数为$70°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题的关键是通过连接半径构造等腰三角形，将已知边相等的条件转化为角的等量关系，再结合三角形相关性质计算，能较好地考察学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

7 如图,在$\odot O$中,AB是弦,C是弧AB上一点.若$∠ OAB=25°$,$∠ OCA=40°$,则$∠ BOC$的度数为（）

A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$

7.A 【解析】
∵ OA = OB, $∠ OAB = 25°$,
∴ $∠ OBA = ∠ OAB = 25°$,
∴ $∠ AOB = 180° - ∠ OAB - ∠ OBA = 130°$.
∵ OA = OC, $∠ OCA = 40°$,
∴ $∠ OAC = ∠ OCA = 40°$,
∴ $∠ AOC = 180° - ∠ OAC - ∠ OCA = 100°$,
∴ $∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 130° - 100° = 30°$, 故选 A.

【分析】
本题是圆中角度计算问题，解题思路如下：首先回忆同圆的半径相等，可得OA=OB=OC，即△OAB、△OAC均为等腰三角形；先利用等腰三角形两底角相等的性质，结合已知的∠OAB的度数，通过三角形内角和定理算出∠AOB的度数；再结合已知的∠OCA的度数，同理算出∠AOC的度数；最后观察图形中角的和差关系，用∠AOB减去∠AOC即可得到∠BOC的度数。
【解析】
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA=OB，
又
∵ ∠OAB=25°，
∴ ∠OBA=∠OAB=25°，
由三角形内角和为180°可得：$∠ AOB=180°-∠ OAB-∠ OBA=180°-25°-25°=130°$。
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，
又
∵ ∠OCA=40°，
∴ ∠OAC=∠OCA=40°，
同理可得$∠ AOC=180°-∠ OAC-∠ OCA=180°-40°-40°=100°$，
∴ $∠ BOC=∠ AOB-∠ AOC=130°-100°=30°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题型，核心是利用同圆半径相等得到等腰三角形，将圆的性质和三角形角度计算结合起来，只要掌握等腰三角形性质和三角形内角和定理，理清角之间的和差关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7

8[2026江苏宿迁期末]在$\odot O$中，弦$AB=3$，圆心角$∠ AOB=60°$，则$\odot O$的半径为。

8.3 【解析】如图,
∵ OA = OB, $∠ AOB = 60°$,
∴ $△ AOB$ 是等边三角形,
∴ OA = AB = 3. 故答案为 3.

【分析】
解题时首先结合圆的性质思考：同圆的所有半径长度相等，因此△AOB中OA=OB，△AOB是等腰三角形；再结合已知条件∠AOB=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△AOB是等边三角形；最后根据等边三角形三边相等的性质，即可得到半径长度等于弦AB的长度，代入数值即可求解。
【解析】
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
又
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=3，即⊙O的半径为3。
【答案】
3
【知识点】
同圆半径相等；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，结合圆的基本性质和特殊三角形的判定进行考查，解题的突破口是判断出△AOB为等边三角形，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

9[2025江苏无锡质检]如图,圆O的周长为$4π$,B是弦CD上任意一点(与C,D不重合),过B作OC的平行线交OD于点E,则$EO+EB$的值为.

9.2 【解析】
∵ 圆 O 的周长为 4π,
∴ OD = 2.
∵ OC = OD,
∴ $∠ C = ∠ D$.
∵ BE // OC,
∴ $∠ EBD = ∠ C$,
∴ $∠ EBD = ∠ D$,
∴ BE = DE,
∴ EO + EB = OD = 2. 故答案为 2.

【分析】
首先根据圆的周长可计算出圆的半径，得到OD的长度；接下来要计算EO+EB的和，需将两条线段转化到同一条线段上：已知OC、OD都是圆的半径，故△OCD为等腰三角形，可得∠C=∠D；结合BE//OC的条件，根据平行线的同位角相等可推出∠EBD=∠C，等量代换得∠EBD=∠D，根据等角对等边可得EB=DE，此时EO+EB即可转化为EO+DE，也就是OD的长度，即可求出结果。
【解析】
解：
∵ 圆O的周长为$4π$，圆的周长公式为$C=2π r$，
∴ 圆O的半径$r=\frac{4π}{2π}=2$，即$OC=OD=2$。
∵ $OC=OD$，
∴ $∠ C=∠ D$。
∵ $BE// OC$，
∴ $∠ EBD=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠ EBD=∠ D$，
∴ $BE=DE$（等角对等边），
∴ $EO+EB=EO+DE=OD=2$。
【答案】
2
【知识点】
圆周长计算，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，核心解题思路是利用角度关系完成线段的等量转化，将分散的两条线段的和转化为圆的半径，考查了基础几何性质的综合运用能力与转化思想。
【难度系数】
0.7

10 如图,在半圆O中,AB是直径,CD是一条弦,若AB=10,则△COD面积的最大值是.

10.12.5 【解析】如图,作 DH ⊥ CO 交 CO 的延长线于 H.
∵ $S_{△ COD} = \frac{1}{2} · OC · DH$, 且 DH ≤ OD,
∴ 当 DH = OD 时, $△ COD$ 的面积最大, 此时 $△ COD$ 是等腰直角三角形, $∠ COD = 90°$. 又
∵ OC = OD = $\frac{1}{2}AB$ = 5,
∴ $△ COD$ 的面积的最大值为 $\frac{1}{2} × 5 × 5 = 12.5$. 故答案为 12.5.
关键点拨
作 $DH ⊥ CO$ 交 $CO$ 的延长线于 $H$. 解题关键是证明当 $DH = OD$ 时, $△ COD$ 的面积最大, 此时 $△ COD$ 是等腰直角三角形.

【分析】
要求△COD的面积最大值，首先由AB是直径且AB=10，可得圆O的半径OC=OD=5，二者为定值。回忆三角形面积公式，可将OC作为固定底，那么△COD的面积大小由点D到直线OC的高决定。根据直角三角形的直角边不大于斜边的性质，点D到直线OC的高DH不会超过OD的长度，当且仅当OD与OC垂直时，高DH等于OD，此时高取最大值，对应的三角形面积也最大，再代入面积公式计算即可。
【解析】
如图，作DH⊥CO交CO的延长线于H。
∵ $S_{△ COD} = \frac{1}{2} · OC · DH$，OC=OD=$\frac{1}{2}AB$=5为定值，
又
∵ DH是点D到直线OC的垂线段，在Rt△OHD中，直角边DH≤斜边OD，
∴ 当DH=OD时，DH取得最大值5，此时$OD ⊥ OC$，即$∠ COD=90°$，
代入面积公式得：$S_{△ COD(max)} = \frac{1}{2} × 5 × 5 = 12.5$。
【答案】
12.5
【知识点】
圆的基本性质，三角形面积计算，几何最值求解
【点评】
本题是几何最值的典型题型，解题的核心是将三角形面积的最值问题转化为高的最值问题，结合圆半径为定值的性质即可快速求解，需要同学们熟练掌握三角形面积公式和几何最值的分析思路。
【难度系数】
0.7

11[2025江苏宿迁期中]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D,E$在边$BC$上,$BD=CE$.过$A,D,E$三点作$\odot O$,连接$AO$并延长,交$BC$于点$F$.
(1)求证:$AF ⊥ BC$;
(2)若$AB=10$,$BC=12$,$BD=2$,求$\odot O$的半径长.

11.(1)【证明】如图,连接 AD, AE.
∵ AB = AC,
∴ $∠ B = ∠ C$.
在 $△ ABD$ 与 $△ ACE$ 中,
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠ B = ∠ C, \\ BD = CE, \end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACE$ (SAS),
∴ AD = AE. 连接 OD, OE, 则 OD = OE.
∵ AO = AO,
∴ $△ ADO ≌ △ AEO$ (SSS),
∴ $∠ DAF = ∠ EAF$,
∴ AF ⊥ BC.
(2)【解】
∵ AB = AC, AF ⊥ BC, BC = 12,
∴ BF = CF = $\frac{1}{2}BC$ = 6,
∴ AF = $\sqrt{AB^2 - BF^2}$ = $\sqrt{10^2 - 6^2}$ = 8.
∵ BD = 2,
∴ DF = 4. 设 DO = AO = x,
∴ OF = AF - OA = 8 - x. 在 Rt $△ ODF$ 中, $OD^2 = OF^2 + DF^2$,
∴ $x^2 = (8 - x)^2 + 4^2$,
∴ x = 5, 即 $\odot O$ 的半径长为 5.

【分析】
(1) 要证$AF⊥BC$，已知$△ ABC$为等腰三角形（$AB=AC$），结合等腰三角形三线合一的性质，只需证明$AF$是$∠ BAC$的角平分线即可。首先利用已知条件证明$△ ABD≌△ ACE$得到$AD=AE$，再结合圆的半径相等，证明$△ ADO≌△ AEO$得到$∠ DAF=∠ EAF$，即可推出$AF$是角平分线，进而得到$AF⊥BC$。
(2) 求$\odot O$的半径，可先利用等腰三角形三线合一求出$BF$和$AF$的长度，再结合$BD$的长度求出$DF$的长度，设半径为$x$，用含$x$的代数式表示$OF$，最后在$\mathrm{Rt}△ ODF$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：如图，连接$AD$，$AE$。
$\because AB = AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$。
在$△ ABD$与$△ ACE$中：
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠ B = ∠ C, \\ BD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD = AE$。
连接$OD$，$OE$，$\because OD$、$OE$是$\odot O$的半径，$\therefore OD = OE$。
在$△ ADO$与$△ AEO$中：
$\begin{cases} AD = AE, \\ OD = OE, \\ AO = AO, \end{cases}$
$\therefore △ ADO ≌ △ AEO \ (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ DAF = ∠ EAF$，
又$\because AD=AE$，$\therefore AF⊥BC$（等腰三角形三线合一）。
(2) 解：$\because AB = AC$，$AF⊥BC$，$BC = 12$，
$\therefore BF = CF = \frac{1}{2}BC = 6$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AB^2 - BF^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
$\because BD = 2$，
$\therefore DF = BF - BD = 6 - 2 = 4$。
设$\odot O$的半径$DO = AO = x$，则$OF = AF - OA = 8 - x$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理得$OD^2 = OF^2 + DF^2$，
代入得：$x^2 = (8 - x)^2 + 4^2$，
展开化简得：$16x=80$，解得$x=5$。
【答案】
(1) 证明：如图,连接 AD, AE.
∵ AB = AC,
∴ $∠ B = ∠ C$.
在 $△ ABD$ 与 $△ ACE$ 中,
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠ B = ∠ C, \\ BD = CE, \end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACE$ (SAS),
∴ AD = AE. 连接 OD, OE, 则 OD = OE.
∵ AO = AO,
∴ $△ ADO ≌ △ AEO$ (SSS),
∴ $∠ DAF = ∠ EAF$,
∴ AF ⊥ BC.
(2) $\odot O$的半径长为5。
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、全等三角形及圆的基本性质，解题时需结合图形逐步推导条件间的关联，第二问利用方程思想结合勾股定理求半径是圆中长度计算的常用方法，需熟练掌握该解题思路。
【难度系数】
0.7