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1[2026上海静安区质检，中]用换元法解分式方程$x^2+\frac{1}{x^2}-3x-\frac{3}{x}=7$，若设$\frac{1}{x}+x=y$，则方程可化为关于$y$的整式方程（
A.$y^2-3y-5=0$
B.$y^2-3y-7=0$
C.$y^2-3y+5=0$
D.$y^2-3y-9=0$
D
）A.$y^2-3y-5=0$
B.$y^2-3y-7=0$
C.$y^2-3y+5=0$
D.$y^2-3y-9=0$
答案
1.D 【解析】$\because (\frac{1}{x}+x)^2=\frac{1}{x^2}+x^2+2=y^2$,$\therefore \frac{1}{x^2}+x^2=y^2-2$. $\because x^2+\frac{1}{x^2}-3x-\frac{3}{x}=x^2+\frac{1}{x^2}-3(x+\frac{1}{x})=7$,$\therefore$ 方程可化为 $y^2-3y-2=7$,即$y^2-3y-9=0$. 故选 D.
2[中]若关于x的分式方程$\frac{mx}{x-3}-2=\frac{2m}{x-3}$无解，则m的值为（
A.0
B.2
C.0或2
D.无法确定
C
）A.0
B.2
C.0或2
D.无法确定
答案
2.C 【解析】方程两边同时乘$(x-3)$,得 $mx-2(x-3)=2m$,即$(m-2)x=2m-6$. $\because$ 关于x的分式方程$\frac{mx}{x-3}-2=\frac{2m}{x-3}$无解,$\therefore x-3=0$ 或 $m-2=0$,即$x=3$ 或 $m=2$,$\therefore 3(m-2)=2m-6$,解得 $m=0$,$\therefore m$ 的值为 0 或 2. 故选 C.
3[2025河北石家庄质检,中]已知关于x的方程$\frac{mx}{3x-6}=1$,下列说法错误的是 (
A.当$m=1$时,$x=3$
B.当$m=3$时,方程无解
C.当x为正数时,$m＜3$
D.当x为负整数时,m有4个整数值
C
)A.当$m=1$时,$x=3$
B.当$m=3$时,方程无解
C.当x为正数时,$m＜3$
D.当x为负整数时,m有4个整数值
答案
3.C 【解析】原方程整理得$(m-3)x=-6$. A 选项,当 $m=1$ 时,$-2x=-6$,解得 $x=3$,经检验,$x=3$ 是原方程的解,$\therefore$ 原方程的解为 $x=3$,故选项 A 正确,不符合题意; B 选项,当 $m=3$时,方程无解,故选项 B 正确,不符合题意;
C 选项,当x为正数时,$m-3＜0$,且 $3×\frac{-6}{m-3}-6≠0$,$\therefore m＜3$ 且 $m≠0$,故选项 C 错误,符合题意; D 选项,当x为负整数,m为整数时,$x=\frac{-6}{m-3}$为负整数,则 $x=-1$ 或 $-2$ 或 $-3$ 或 $-6$,$\therefore m-3=6$ 或 3 或 2 或 1,$\therefore m=9$ 或 6 或 5 或 4,$\therefore m$ 有 4 个整数值,故选项 D 正确,不符合题意,故选 C.
C 选项,当x为正数时,$m-3＜0$,且 $3×\frac{-6}{m-3}-6≠0$,$\therefore m＜3$ 且 $m≠0$,故选项 C 错误,符合题意; D 选项,当x为负整数,m为整数时,$x=\frac{-6}{m-3}$为负整数,则 $x=-1$ 或 $-2$ 或 $-3$ 或 $-6$,$\therefore m-3=6$ 或 3 或 2 或 1,$\therefore m=9$ 或 6 或 5 或 4,$\therefore m$ 有 4 个整数值,故选项 D 正确,不符合题意,故选 C.
4[中]分式方程$\frac{2x}{x-1} - 2 = \frac{m}{(x-1)(x+2)}$有增根，则m的值为
6或0
。答案
4. 6或0 【解析】$\frac{2x}{x-1}-2=\frac{m}{(x-1)(x+2)}$去分母得 $2x(x+2)-2(x-1)(x+2)=m$,$2x^2+4x-2x^2-2x+4=m$,解得 $x=\frac{1}{2}m-2$. $\because$ 分式方程有增根,$\therefore x=1$ 或 $x=-2$,$\therefore \frac{1}{2}m-2=1$ 或 $\frac{1}{2}m-2=-2$,$\therefore m=6$ 或 0.
5[2026江苏盐城质检,中]若关于x的分式方程$\frac{x}{x-2}+\frac{m+1}{2-x}=2$的解的取值范围为$x≤3$，则m的取值范围是
$m≥0$且$m≠1$
。答案
5.$m≥0$ 且 $m≠1$ 【解析】原方程整理得$\frac{x}{x-2}-\frac{m+1}{x-2}=2$,解得 $x=3-m$. $\because$ 方程的解的取值范围为 $x≤3$,$\therefore 3-m≤3$,$\therefore m≥0$. $\because$ 分母不能为0,$\therefore x-2≠0$,把$x=3-m$代入,得 $3-m-2≠0$,解得 $m≠1$,$\therefore m$ 的取值范围是 $m≥0$ 且 $m≠1$.
6[2026云南昆明校级期末,中]若任意三个正数a,b,c满足:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$,则称这三个正数为“快乐三数组”.
(1)下列是“快乐三数组”的有
①3,4,5;②$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{5}$.
(2)若关于x的分式方程$\frac{2x}{x-1}+\frac{3m}{1-x}=-1$的解、关于y的方程$(m-3)y-1=3(m-y)$的解与1为“快乐三数组”,求m的值.
(1)下列是“快乐三数组”的有
②
(填序号).①3,4,5;②$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{5}$.
(2)若关于x的分式方程$\frac{2x}{x-1}+\frac{3m}{1-x}=-1$的解、关于y的方程$(m-3)y-1=3(m-y)$的解与1为“快乐三数组”,求m的值.
答案
6.【解】(1)①$\because \frac{1}{4}+\frac{1}{5}≠\frac{1}{3}$,$\therefore 3,4,5$ 不是“快乐三数组”;②$\because 2+3=5$,$\therefore \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{5}$是“快乐三数组”. 故答案为②.
(2)将分式方程两边同时乘$(x-1)$得 $2x-3m=1-x$,$\therefore x=\frac{1+3m}{3}(m≠\frac{2}{3})$. 解方程$(m-3)y-1=3(m-y)$得 $y=\frac{1+3m}{m}(m≠0)$. 依题意得 $x$,$y$,$1$ 是“快乐三数组”,$\therefore$ 有以下三种情况:
①当$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$ 时,$\frac{3}{1+3m}+\frac{m}{1+3m}=1$,解得 $m=1$,经检验,$m=1$ 是该方程的解. ②当$\frac{1}{x}+1=\frac{1}{y}$时,$\frac{3}{1+3m}+1=\frac{m}{1+3m}$,解得 $m=-2$,经检验,$m=-2$ 是该方程的解. 当 $m=-2$ 时,$x=\frac{1+3m}{3}=\frac{1+3×(-2)}{3}=-\frac{5}{3}$,不符合“快乐三数组”的定义,舍去. ③当$\frac{1}{y}+1=\frac{1}{x}$ 时,$\frac{m}{1+3m}+1=\frac{3}{1+3m}$,解得 $m=0.5$,经检验,$m=0.5$ 是该方程的解. 综上所述,$m$ 的值为 1 或 0.5.
(2)将分式方程两边同时乘$(x-1)$得 $2x-3m=1-x$,$\therefore x=\frac{1+3m}{3}(m≠\frac{2}{3})$. 解方程$(m-3)y-1=3(m-y)$得 $y=\frac{1+3m}{m}(m≠0)$. 依题意得 $x$,$y$,$1$ 是“快乐三数组”,$\therefore$ 有以下三种情况:
①当$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$ 时,$\frac{3}{1+3m}+\frac{m}{1+3m}=1$,解得 $m=1$,经检验,$m=1$ 是该方程的解. ②当$\frac{1}{x}+1=\frac{1}{y}$时,$\frac{3}{1+3m}+1=\frac{m}{1+3m}$,解得 $m=-2$,经检验,$m=-2$ 是该方程的解. 当 $m=-2$ 时,$x=\frac{1+3m}{3}=\frac{1+3×(-2)}{3}=-\frac{5}{3}$,不符合“快乐三数组”的定义,舍去. ③当$\frac{1}{y}+1=\frac{1}{x}$ 时,$\frac{m}{1+3m}+1=\frac{3}{1+3m}$,解得 $m=0.5$,经检验,$m=0.5$ 是该方程的解. 综上所述,$m$ 的值为 1 或 0.5.
7 核心素养运算能力[2026湖南株洲期末,较难]阅读材料:对于非零实数$a,b$,若关于$x$的分式$\frac{(x-a)(x-b)}{x}$的值为零,则解得$x_1=a,x_2=b$.又因为$\frac{(x-a)(x-b)}{x}=\frac{x^2-(a+b)x+ab}{x}=x+\frac{ab}{x}-(a+b)$,所以关于$x$的方程$x+\frac{ab}{x}=a+b$的解为$x_1=a,x_2=b$.
【理解应用】(1)方程$x+\frac{2}{x}=5+\frac{2}{5}$的解为$x_1=\_\_\_\_\_\_,x_2=$
【知识迁移】(2)若关于$x$的方程$x+\frac{3}{x}=7$的解为$x_1=a,x_2=b$,求$a^2+b^2$的值;
【拓展提升】(3)若关于$x$的方程$x+\frac{6}{x-1}=k$的解为$x_1=t+1,x_2=t^2+2$,求$t^3-t^2+k$的值.
【理解应用】(1)方程$x+\frac{2}{x}=5+\frac{2}{5}$的解为$x_1=\_\_\_\_\_\_,x_2=$
$\frac{2}{5}$
;【知识迁移】(2)若关于$x$的方程$x+\frac{3}{x}=7$的解为$x_1=a,x_2=b$,求$a^2+b^2$的值;
【拓展提升】(3)若关于$x$的方程$x+\frac{6}{x-1}=k$的解为$x_1=t+1,x_2=t^2+2$,求$t^3-t^2+k$的值.
答案
7.【解】(1)根据题意可得 $x+\frac{2}{x}=5+\frac{2}{5}$ 的解为$x_1=5$,$x_2=\frac{2}{5}$,故答案为 $5,\frac{2}{5}$.
(2)$\because$ 方程 $x+\frac{3}{x}=7$ 的解为 $x_1=a$,$x_2=b$,$\therefore a+b=7$,$ab=3$,$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=49-6=43$.
(3)方程 $x+\frac{6}{x-1}=k$ 整理,得 $x-1+\frac{6}{x-1}=k-1$,设 $y=x-1$,则方程可变形为 $y+\frac{6}{y}=k-1$,$\therefore y_1· y_2=6$,$y_1+y_2=k-1$. $\because y_1=x_1-1$,$y_2=x_2-1$,$x_1=t+1$,$x_2=t^2+2$,$\therefore y_1=t+1-1=t$,$y_2=t^2+2-1=t^2+1$,$\therefore t(t^2+1)=6$,$t+t^2+1=k-1$,$\therefore k=t^2+t+2$,$t^3=6-t$. 将 $t^3=6-t$,$k=t^2+t+2$ 代入可得原式$=(6-t)-t^2+(t^2+t+2)=8$.
(2)$\because$ 方程 $x+\frac{3}{x}=7$ 的解为 $x_1=a$,$x_2=b$,$\therefore a+b=7$,$ab=3$,$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=49-6=43$.
(3)方程 $x+\frac{6}{x-1}=k$ 整理,得 $x-1+\frac{6}{x-1}=k-1$,设 $y=x-1$,则方程可变形为 $y+\frac{6}{y}=k-1$,$\therefore y_1· y_2=6$,$y_1+y_2=k-1$. $\because y_1=x_1-1$,$y_2=x_2-1$,$x_1=t+1$,$x_2=t^2+2$,$\therefore y_1=t+1-1=t$,$y_2=t^2+2-1=t^2+1$,$\therefore t(t^2+1)=6$,$t+t^2+1=k-1$,$\therefore k=t^2+t+2$,$t^3=6-t$. 将 $t^3=6-t$,$k=t^2+t+2$ 代入可得原式$=(6-t)-t^2+(t^2+t+2)=8$.
