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1[2025湖南娄底期中]如图所示，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE//AB，交BC于点E，若CE=4，DE=3，则边BC的长为（
A.6
B.7
C.8
D.9
（第1题图）
（第2题图）
B
）A.6
B.7
C.8
D.9
（第1题图）（第2题图）
答案
1. B 【解析】
∵ BD 是△ABC 的角平分线，
∴ ∠ABD= ∠EBD.
∵ DE // AB,
∴ ∠ABD = ∠EDB,
∴ ∠EBD= ∠EDB,
∴ DE=BE.
∵ CE=4,DE=3,
∴ BC=BE+CE=DE+CE=3+4=7.
故选 B.
∵ BD 是△ABC 的角平分线，
∴ ∠ABD= ∠EBD.
∵ DE // AB,
∴ ∠ABD = ∠EDB,
∴ ∠EBD= ∠EDB,
∴ DE=BE.
∵ CE=4,DE=3,
∴ BC=BE+CE=DE+CE=3+4=7.
故选 B.
2[2025江苏南京质检]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠ B=40°$,若某个三角形能与$△ ABC$拼成一个等腰三角形(无重叠),则拼成的三角形共有(
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
C
)A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
答案
2. C 【解析】如图所示，拼成的三角形共有7个，故选 C.
3 [2026 陕西西安质检]如图所示，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，$BD$平分$∠ ABC$，点$E$在边$AB$上，且$BE=BD$，则图中等腰三角形的个数为（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
3. B 【解析】
∵ 在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,
∴ △ABC 是等腰三角形, ∠ABC = ∠ACB = $\frac{180°-36°}{2}=72°$.
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD=
$∠CBD = \frac{1}{2}∠ABC = 36°$,
∴ ∠ABD = ∠A,
$∠BDC=180°-∠CBD-∠ACB=72°=∠BCD$,
∴ BD=AD,BC=BD,
∴ △ABD,△CBD 均为等腰三角形.
∵ BE=BD,
∴ BE=BC,
∴ △BCE 为等腰三角形. 综上所述,题图中等腰三角形的个数为4,故选 B.
∵ 在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,
∴ △ABC 是等腰三角形, ∠ABC = ∠ACB = $\frac{180°-36°}{2}=72°$.
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD=
$∠CBD = \frac{1}{2}∠ABC = 36°$,
∴ ∠ABD = ∠A,
$∠BDC=180°-∠CBD-∠ACB=72°=∠BCD$,
∴ BD=AD,BC=BD,
∴ △ABD,△CBD 均为等腰三角形.
∵ BE=BD,
∴ BE=BC,
∴ △BCE 为等腰三角形. 综上所述,题图中等腰三角形的个数为4,故选 B.
4[2026浙江宁波期中]如图,已知$△ ABC$.
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线交BC于D(保留作图痕迹).
(2)若$∠ C=2∠ B$,连接AD,判断$△ ADC$的形状,并说明理由.
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线交BC于D(保留作图痕迹).
(2)若$∠ C=2∠ B$,连接AD,判断$△ ADC$的形状,并说明理由.
答案
4.【解】(1)如图.
(2)△ADC 是等腰三角形.
理由如下:
∵ D 是 AB 的垂直平分线上的点,
∴ DA = DB,
∴ ∠B=∠BAD. 设∠B = x,则∠C = 2x, ∠ADC = ∠B + ∠BAD = 2x,
∴ ∠ADC=∠C,
∴ △ADC 是等腰三角形.
5[2025广东深圳期中]由下列尺规作图可得△ABC为等腰三角形，且AB=BC的是 (
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
C
)A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
答案
5. C 【解析】①根据作图得∠A = ∠C,故 AB = BC,符合题意;②根据作图得 AB = AC,不符合题意;③如图. 根据作图得 AC 平分∠BAD,BC//AD,
∴ ∠BAC=∠CAD,∠BCA=
∠CAD,
∴ ∠BAC=∠BCA,
∴ BA=BC,符合题意;④根据作图得 CA=CB,不符合题意,故符合题意的有①③,故选 C.
6[2025黑龙江齐齐哈尔期中]在平面直角坐标系中,已知$A(4,1)$,在坐标轴上确定一点$P$使得$△ AOP$为等腰三角形,则满足条件的点$P$有 (
A.4个
B.6个
C.8个
D.7个
C
)A.4个
B.6个
C.8个
D.7个
答案
6. C 【解析】如图,①以A 为圆心,OA 长为半径作圆,交坐标轴于 $P_1,P_2$ 两点(O 除外);
②以 O 为圆心,OA 长为半径作圆,交坐标轴于 $P_3,P_4,P_5,P_6$ 四点;
③作线段 AO 的垂直平分线,交坐标轴于 $P_7$,$P_8$ 两点,
∴ 满足条件的点 P 有 2+4+2=8(个),故选 C.
刷有所得 两圆一中垂构造等腰三角形
如图,已知线段 AB,在平面内找一点 C,使得△ABC 为等腰三角形.
①当 AB=AC 时,点 C 在以点A 为圆心,AB 长为半径的圆上(不与点 B,M 重合);
②当 AB=BC 时,点 C 在以点B 为圆心,AB 长为半径的圆上(不与点 A,N 重合);
③当 AC=BC 时,点 C 在线段 AB 的垂直平分线上(不在线段 AB 上).
7[2025浙江杭州质检]如图,在宽和长分别为3 cm和4 cm的长方形ABCD中作等腰三角形,其中等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点,第三个顶点落在长方形的边上,请画出三种满足上述条件的等腰三角形(全等的等腰三角形视为一种),并分别求出所画三角形的面积.
答案
7.【解】如图(1),作 BC 边的垂直平分线,交 AD于点 P,
∴ PB = PC,即△PBC 为等腰三角形,
△PBC 的面积为$\frac{1}{2}×4×3=6(\mathrm{cm}^2)$;
如图(2),作 AB 边的垂直平分线,交 CD 于点E,
∴ EA=EB,即△ABE 为等腰三角形,△ABE的面积为$\frac{1}{2}×3×4=6(\mathrm{cm}^2)$;
如图(3),以点 B 为圆心,BA 长为半径画弧,交 BC 于点 F,
∴ BA=BF,即△ABF 为等腰三角形,△ABF 的面积为$\frac{1}{2}×3×3=4.5(\mathrm{cm}^2)$.
(答案不唯一)
思路分析
分别作 BC 边、AB 边的垂直平分线,由垂直平分线的性质可得等腰三角形,或以点 B为圆心,BA 长为半径画弧交BC 于点 F,也可得等腰三角形,最后根据三角形的面积公式可得答案.
方法技巧
由角平分线与高重合构造等腰三角形.
