1[中]如图,在$△ ABC$中,BD平分$∠ ABC$,$AD ⊥ BD$,$∠ CAD = ∠ C$,若$AB = 5$,$AD = 2$,则$BC$的长为 ()

A.6
B.7
C.8
D.9

(第1题图)
(第2题图)

1. D 【解析】延长 AD 交 BC 于点 E,如图.
∵ BD平分∠ABC,AD ⊥ BD,
∴ ∠ABD = ∠EBD,
∠ADB = ∠EDB =
90°. 又
∵ BD=BD,
∴ △ABD≌△EBD(ASA),
∴ BE=BA=5,AD=ED=2,
∴ AE=4.
∵ ∠CAD=∠C,
∴ EC=EA=4,
∴ BC=BE+EC=9. 故选 D.

2[2026吉林长春质检,中]如图,在$△ ABC$中,以点$B$为圆心,适当长为半径画弧,分别交边$AB$, $BC$于点$D$,$E$.分别以点$D$,$E$为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$长为半径画弧,交$△ ABC$内部于点$F$,连接$AF$, $CF$,连接$BF$并延长交$AC$于点$G$,添加下列条件,不能使$AG=CG$成立的是 ()

A.$BA=BC$
B.$∠ BAG + ∠ CBG=90°$
C.$BA=BG$
D.$∠ BAF = ∠ BCF$

2. C 【解析】A 选项,
∵ BA=BC,
∴ △ABC 是等腰三角形. 由题意可知,BG 是∠ABC 的平分线,
∴ AG=CG,故该选项不符合题意. B 选项,由题意可知,BG 是∠ABC 的平分线,
∴ ∠ABG=∠CBG.
∵ ∠BAG + ∠CBG = 90°,
∴ ∠BAG + ∠ABG = 90°,
∴ ∠AGB = 90°,
∴ ∠AGB = ∠BGC=90°. 又
∵ BG=BG,∠ABG=∠CBG,
∴ △ABG≌△CBG(ASA),
∴ AG=CG,故该选项不符合题意. C 选项,
∵ BA=BG,
∴ ∠BAG=∠BGA,无法证明 AG=CG,故该选项符合题意. D 选项,由题意可知,BG 是∠ABC 的平分线,
∴ ∠ABG = ∠CBG. 又
∵ ∠BAF = ∠BCF,BF=BF,
∴ △BAF≌△BCF(AAS),
∴ AB=BC,
∴ △ABC 是等腰三角形,
∴ AG=CG,故该选项不符合题意. 故选 C.

3[中]如图，$AC=DC=3$，$BD$垂直于$∠ BAC$的平分线$AD$，$E$为$AC$的中点，则图中两个阴影三角形（$△ OBD$与$△ OAE$）的面积之差的最大值为。

3. $\boldsymbol{\frac{9}{2}}$ 【解析】如图,延长BD,AC 交于点 H.
∵ AD ⊥BH,
∴ ∠ADB = ∠ADH =
90°,
∴ ∠ABD + ∠BAD = 90°,∠H + ∠HAD =
90°.
∵ AD 是∠BAC 的平分线,
∴ ∠BAD =
∠HAD,
∴ ∠ABD=∠H,
∴ AB=AH.
∵ AD ⊥
BH,
∴ BD=DH.
∵ DC=CA,
∴ ∠CDA=
∠CAD.
∵ ∠CAD+∠H=90°,∠CDA+∠CDH=
90°,
∴ ∠CDH=∠H,
∴ CD=CH=AC. 又
∵ AE=
EC,BD=DH,
∴ $S_{△ ABE} = \frac{1}{4}S_{△ ABH}$, $S_{△ CDH} =$
$\frac{1}{4}S_{△ ABH}$,
∴ $S_{△ ABE}=S_{△ CDH}$.
∵ $S_{△ OBD}-S_{△ AOE}=S_{△ ADB}-S_{△ ABE}=S_{△ ADH}-S_{△ CDH}=S_{△ ACD}$, $AC=CD=3$,
∴ 当$DC⊥AC$ 时,△ACD 的面积最大,最大面积为
$\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$. 故答案为$\frac{9}{2}$.

关键点拨
证明两个阴影三角形的面积之差 = $S_{△ ACD}$,再根据 $DC ⊥ AC$ 时,△ACD的面积最大求解.

4[2025浙江宁波校级期末,中]如图(1),P为∠AOB的平分线OC上一点,过点P作PD//OB交OA于点D,易得△POD为等腰三角形.
(1)【基本运用】如图(2),把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,AB'交CD于点E,△ACE是等腰三角形吗?为什么?
(2)【类比探究】如图(3),△ABC中,内角∠ABC与外角∠ACG的平分线交于点O,过点O作OD//BC分别交AB,AC于点D,E,试探究线段BD,DE,CE之间的数量关系并说明理由.
(3)【拓展提升】如图(4),四边形ABCD中,AD//BC,E为CD边的中点,AE平分∠BAD,
连接BE,求证:AE⊥BE.

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4. (1)【解】△ACE 是等腰三角形. 理由:在长方形 ABCD 中,
∵ DC//AB,
∴ ∠ACD=∠BAC. 由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC,
∴ ∠ACD=∠B'AC,
∴ AE=CE,
∴ △ACE 是等腰三角形.
(2)【解】BD = DE + CE. 理由:
∵ CO 平分∠ACG,DO//BC,
∴ ∠OCG=∠ECO=∠EOC,
∴ CE=OE. 同理可证 BD=OD,
∴ BD=DO=DE+EO=DE+CE.
(3)【证明】如图,延长 AE 交 BC的延长线于 F.
∵ AD // BC,
∴ ∠F = ∠DAE,∠D = ∠ECF.
∵ AE 平分∠BAD,
∴ ∠BAF =
∠DAF,
∴ ∠BAF=∠F,
∴ BA=BF.
∵ E 是 CD
的中点,
∴ DE=CE. 在△ADE 和△FCE 中,
$\begin{cases} ∠DAE=∠CFE, \\ ∠ADE=∠FCE, \\ DE=CE, \end{cases}$
∴ △ADE≌△FCE(AAS),
∴ AE=EF,
∴ 点 E 是 AF 的中点,
∴ AE⊥BE.

5 思想方法分类讨论[较难](1)如图(1),线段OA的一个端点O在直线l上,且与直线l所成的锐角为50°,以OA为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点P在直线l上,这样的等腰三角形能画个.
(2)如图(2),△ABC中,∠A=20°,∠B=50°,过顶点C作一条直线,把该三角形分割出一个小等腰三角形,这样的直线最多可以画条.
(3)如图(3),在△ABC中,∠BAC=10°,若存在过点C的一条直线,能把该三角形分成两个小等腰三角形,试求∠B的度数.

5.【解】(1)如图(1),①AO=OP₁,②AO=AP₂,③AO=OP₃,④AP₄=OP₄,故这样的等腰三角形能画4个. 故答案为4.

(2)如图(2),①AC=AF,②BC=BE,③CB=CG,④AD=CD,⑤BH=HC,故过顶点 C 作一条直线,把该三角形分割出一个小等腰三角形,这样的直线最多可以画5条. 故答案为5.

(3)如图(3),当 AD=CD 时,∠ACD=∠A=
10°,
∴ ∠CDB=20°,
∴ ①当 CD=BD 时,∠B=
∠BCD=80°;②当 CD=BC 时,∠B=∠CDB=
20°;③当 BD=BC 时,∠B=180°-20°-20°=
140°. 如图(4),当 AC=AE,CE=BE 时,
∵ ∠A=
10°,
∴ ∠ACE=∠AEC=85°,
∴ ∠B=∠BCE=
42.5°. 如图(5),当 AC=CF,CF=BF 时,
∵ ∠A=
10°,
∴ ∠AFC=∠A=10°,
∴ ∠B=∠BCF=
5°. 综上所述,∠B 的度数为 80°或 20°或 140°
或 42.5°或 5°.

关键点拨
根据已知条件得出 $A_2B_2=2^2$,$A_3B_3=2^3$,$A_4B_4=2^4$,进而得出规律是解题关键.