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1 已知二次函数图象的顶点是$(1,-2)$，且经过点$(0,-5)$，则二次函数的表达式是
$y=-3(x-1)^2-2$
。答案
1. $y=-3(x-1)^2-2$ 【解析】设二次函数的表达式为$y=a(x-1)^2-2(a≠0).$
∵ 其图象经过点$(0,-5),$
∴$-5=a(0-1)^2-2,$解得$a=-3,$
∴ 二次函数的表达式是$y=-3(x-1)^2-2.$
∵ 其图象经过点$(0,-5),$
∴$-5=a(0-1)^2-2,$解得$a=-3,$
∴ 二次函数的表达式是$y=-3(x-1)^2-2.$
解析
【分析】
本题已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式设解析式可减少未知量，简化计算。首先回忆二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$是顶点坐标，将已知顶点代入顶点式后仅参数$a$未知；再把函数经过的点的坐标代入含参数的解析式，解方程求出$a$，最后将$a$代回所设解析式即可得到结果。
【解析】
设二次函数的表达式为$y=a(x-1)^2-2(a≠0)$，
∵ 函数图象经过点$(0,-5)$，将$x=0,y=-5$代入解析式得：
$-5=a(0-1)^2-2$，
化简得$-5=a-2$，解得$a=-3$，
将$a=-3$代入所设解析式，可得二次函数表达式为$y=-3(x-1)^2-2$。
【答案】
$y=-3(x-1)^2-2$
【知识点】
二次函数顶点式、待定系数法求解析式、二次函数图象点坐标特征
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式求解，比一般式计算更简便，可降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式设解析式可减少未知量，简化计算。首先回忆二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$是顶点坐标，将已知顶点代入顶点式后仅参数$a$未知；再把函数经过的点的坐标代入含参数的解析式，解方程求出$a$，最后将$a$代回所设解析式即可得到结果。
【解析】
设二次函数的表达式为$y=a(x-1)^2-2(a≠0)$，
∵ 函数图象经过点$(0,-5)$，将$x=0,y=-5$代入解析式得：
$-5=a(0-1)^2-2$，
化简得$-5=a-2$，解得$a=-3$，
将$a=-3$代入所设解析式，可得二次函数表达式为$y=-3(x-1)^2-2$。
【答案】
$y=-3(x-1)^2-2$
【知识点】
二次函数顶点式、待定系数法求解析式、二次函数图象点坐标特征
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式求解，比一般式计算更简便，可降低出错概率。
【难度系数】
0.8
2[2025 山东东营期中]二次函数的图象如图所示，与x轴交点坐标为$(-1,0)$，与y轴交点坐标为$(0,3)$，对称轴为直线$x=1$，则其表达式为
$y=-x^2+2x+3$
。答案
2. $y=-x^2+2x+3$ 【解析】
∵ 二次函数的图象与x轴交点坐标为$(-1,0),$对称轴为直线$x=1,$
∴ 与x轴另一个交点坐标为$(3,0).$设二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-3),$把$(0,3)$代入得$3=-3a,$解得$a=-1,$
∴$y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3,$
∴ 其表达式为$y=-x^2+2x+3,$故答案为$y=-x^2+2x+3.$
∵ 二次函数的图象与x轴交点坐标为$(-1,0),$对称轴为直线$x=1,$
∴ 与x轴另一个交点坐标为$(3,0).$设二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-3),$把$(0,3)$代入得$3=-3a,$解得$a=-1,$
∴$y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3,$
∴ 其表达式为$y=-x^2+2x+3,$故答案为$y=-x^2+2x+3.$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知二次函数与x轴的一个交点、对称轴、与y轴的交点。首先利用二次函数的轴对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，先求出另一个与x轴的交点坐标；因为已知两个x轴交点，优先选择交点式设二次函数解析式，再将y轴交点坐标代入求解参数a，最后整理为一般式即可得到结果。
【解析】
∵ 二次函数的图象对称轴为直线$x=1$，且与x轴的一个交点坐标为$(-1,0)$，
∴ 二次函数与x轴的另一个交点横坐标为$1+[1-(-1)]=3$，即另一个交点坐标为$(3,0)$。
设二次函数的交点式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$），
将与y轴的交点$(0,3)$代入解析式，得$3=a(0+1)(0-3)$，
即$3=-3a$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入交点式展开：$y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$。
【答案】
$y=-x^2+2x+3$
【知识点】
二次函数对称性，待定系数法，二次函数交点式
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，利用对称性求出另一个x轴交点是解题的关键，选择交点式设解析式能简化计算，需熟练掌握二次函数不同形式解析式的适用场景。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：已知二次函数与x轴的一个交点、对称轴、与y轴的交点。首先利用二次函数的轴对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，先求出另一个与x轴的交点坐标；因为已知两个x轴交点，优先选择交点式设二次函数解析式，再将y轴交点坐标代入求解参数a，最后整理为一般式即可得到结果。
【解析】
∵ 二次函数的图象对称轴为直线$x=1$，且与x轴的一个交点坐标为$(-1,0)$，
∴ 二次函数与x轴的另一个交点横坐标为$1+[1-(-1)]=3$，即另一个交点坐标为$(3,0)$。
设二次函数的交点式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$），
将与y轴的交点$(0,3)$代入解析式，得$3=a(0+1)(0-3)$，
即$3=-3a$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入交点式展开：$y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$。
【答案】
$y=-x^2+2x+3$
【知识点】
二次函数对称性，待定系数法，二次函数交点式
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，利用对称性求出另一个x轴交点是解题的关键，选择交点式设解析式能简化计算，需熟练掌握二次函数不同形式解析式的适用场景。
【难度系数】
0.7
3[2025新疆乌鲁木齐期中]如图，隧道的截面由部分抛物线和长方形构成.长方形的长为12 m，宽为5 m，抛物线的最高点C与路面$AA_1$的距离为8 m，过$AA_1$的中点O建立如图所示的平面直角坐标系，则该抛物线的函数表达式为
$y=-\frac{1}{12}x^2+8$
。答案
3. $y=-\frac{1}{12}x^2+8$ 【解析】由题意可得,点C的坐标为$(0,8),$点B的坐标为$(-6,5).$设此抛物线的表达式为$y=ax^2+8,$将$B(-6,5)$代入,得$5=a×(-6)^2+8,$解得$a=-\frac{1}{12},$
∴ 此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{12}x^2+8,$故答案为$y=-\frac{1}{12}x^2+8.$
∴ 此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{12}x^2+8,$故答案为$y=-\frac{1}{12}x^2+8.$
解析
【分析】
首先观察坐标系特点，抛物线的对称轴为y轴，顶点C的坐标为(0,8)，因此选择顶点式设抛物线解析式最为简便。再结合长方形的长和宽确定抛物线上点B的坐标，将点B坐标代入所设解析式求出未知参数a，即可得到抛物线的函数表达式。
【解析】
由题意可知：抛物线的最高点C的坐标为$(0,8)$，长方形长为12m，故OA长度为6m，长方形宽为5m，因此点B的坐标为$(-6,5)$。
因为抛物线顶点为$(0,8)$且对称轴为y轴，设抛物线的表达式为$y=ax^2+8$，
将$B(-6,5)$代入表达式得：
$5=a× (-6)^2 +8$
$36a=5-8$
$36a=-3$
解得$a=-\frac{1}{12}$，
因此该抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}x^2+8$。
【答案】
$y=-\frac{1}{12}x^2+8$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是结合几何图形的性质确定抛物线上的关键点坐标，选择简便的解析式形式代入计算即可，能够很好地考查学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察坐标系特点，抛物线的对称轴为y轴，顶点C的坐标为(0,8)，因此选择顶点式设抛物线解析式最为简便。再结合长方形的长和宽确定抛物线上点B的坐标，将点B坐标代入所设解析式求出未知参数a，即可得到抛物线的函数表达式。
【解析】
由题意可知：抛物线的最高点C的坐标为$(0,8)$，长方形长为12m，故OA长度为6m，长方形宽为5m，因此点B的坐标为$(-6,5)$。
因为抛物线顶点为$(0,8)$且对称轴为y轴，设抛物线的表达式为$y=ax^2+8$，
将$B(-6,5)$代入表达式得：
$5=a× (-6)^2 +8$
$36a=5-8$
$36a=-3$
解得$a=-\frac{1}{12}$，
因此该抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}x^2+8$。
【答案】
$y=-\frac{1}{12}x^2+8$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是结合几何图形的性质确定抛物线上的关键点坐标，选择简便的解析式形式代入计算即可，能够很好地考查学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
4[2025甘肃平凉期中]已知二次函数$y=ax^2+bx+c$中，函数$y$与自变量$x$的部分对应值如下表：
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)写出这个二次函数图象的顶点坐标.
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)写出这个二次函数图象的顶点坐标.
答案
4.【解】(1)把$(0,1),(1,-2),(2,1)$代入$y=ax^2+bx+c,$得$\begin{cases} c=1, \\ a+b+c=-2, \\4a+2b+c=1, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=3, \\b=-6, \\c=1, \end{cases}$所以抛物线的表达式为$y=3x^2-6x+1.$
(2)$y=3x^2-6x+1=3(x^2-2x)+1=3(x^2-2x+1-1)+1=3(x-1)^2-2,$所以抛物线的顶点坐标为$(1,-2).$
(2)$y=3x^2-6x+1=3(x^2-2x)+1=3(x^2-2x+1-1)+1=3(x-1)^2-2,$所以抛物线的顶点坐标为$(1,-2).$
解析
【分析】
(1) 二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$有3个未知系数$a、b、c$，因此从表格中选取3组计算简便的对应值（如$x=0,1,2$对应的$y$值），代入一般式得到三元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
(2) 求二次函数顶点坐标，可通过配方法将求得的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，即可直接得到顶点坐标为$(h,k)$，方法简单易操作，符合当前学段知识要求。
【解析】
(1) 选取表格中$(0,1),(1,-2),(2,1)$三组值代入$y=ax^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases} c=1, \\ a+b+c=-2, \\4a+2b+c=1, \end{cases}$
将$c=1$代入后两个方程，化简得$\begin{cases}a+b=-3\\4a+2b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases} a=3, \\b=-6, \\c=1, \end{cases}$
因此二次函数的表达式为$y=3x^2-6x+1$。
(2) 对一般式进行配方：
$\begin{aligned}y&=3x^2-6x+1\\&=3(x^2-2x)+1\\&=3(x^2-2x+1-1)+1\\&=3(x-1)^2-3+1\\&=3(x-1)^2-2\end{aligned}$
根据顶点式的性质，可得二次函数图象的顶点坐标为$(1,-2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=3x^2-6x+1}$
(2) $\boldsymbol{(1,-2)}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；配方法转化二次函数解析式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考察待定系数法求解析式和顶点坐标的求解方法，属于二次函数章节必须掌握的基础内容，熟练掌握解方程组的方法、配方法技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$有3个未知系数$a、b、c$，因此从表格中选取3组计算简便的对应值（如$x=0,1,2$对应的$y$值），代入一般式得到三元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
(2) 求二次函数顶点坐标，可通过配方法将求得的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，即可直接得到顶点坐标为$(h,k)$，方法简单易操作，符合当前学段知识要求。
【解析】
(1) 选取表格中$(0,1),(1,-2),(2,1)$三组值代入$y=ax^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases} c=1, \\ a+b+c=-2, \\4a+2b+c=1, \end{cases}$
将$c=1$代入后两个方程，化简得$\begin{cases}a+b=-3\\4a+2b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases} a=3, \\b=-6, \\c=1, \end{cases}$
因此二次函数的表达式为$y=3x^2-6x+1$。
(2) 对一般式进行配方：
$\begin{aligned}y&=3x^2-6x+1\\&=3(x^2-2x)+1\\&=3(x^2-2x+1-1)+1\\&=3(x-1)^2-3+1\\&=3(x-1)^2-2\end{aligned}$
根据顶点式的性质，可得二次函数图象的顶点坐标为$(1,-2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=3x^2-6x+1}$
(2) $\boldsymbol{(1,-2)}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；配方法转化二次函数解析式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考察待定系数法求解析式和顶点坐标的求解方法，属于二次函数章节必须掌握的基础内容，熟练掌握解方程组的方法、配方法技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5[2026辽宁大连质检]如图(1)是一座抛物线形拱桥,按如图(2)所示方式建立平面直角坐标系,在正常水位时水面宽AB=30米,拱顶O到水面的距离为9米,当水位上升5米时,水面宽CD为 (
A.10米
B.15米
C.18米
D.20米
D
)A.10米
B.15米
C.18米
D.20米
答案
5.D 【解析】由题可知点A的坐标为$(-15,-9),$设抛物线表达式为$y=ax^2,$则$225a=-9,$解得$a=-\frac{1}{25},$
∴ 抛物线表达式为$y=-\frac{1}{25}x^2.$当水位上升5米时,水面所在直线为$y=-4,$令$-\frac{1}{25}x^2=-4,$解得$x=±10,$
∴ 水面宽CD为$10-(-10)=20$(米).故选D.
∴ 抛物线表达式为$y=-\frac{1}{25}x^2.$当水位上升5米时,水面所在直线为$y=-4,$令$-\frac{1}{25}x^2=-4,$解得$x=±10,$
∴ 水面宽CD为$10-(-10)=20$(米).故选D.
解析
【分析】
本题是二次函数在抛物线形拱桥场景下的实际应用，解题思路如下：首先观察坐标系特征，抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，因此可设抛物线解析式为最简形式$y=ax^2$；再结合正常水位的水面宽度、拱顶到水面的距离确定点A的坐标，代入解析式求出参数a，得到完整的抛物线解析式；最后根据水位上升的高度，求出此时水面对应的纵坐标，代入解析式得到对应的横坐标，两个横坐标的差就是水面宽CD。
【解析】
设抛物线的表达式为$y=ax^2$，
由题意可知，正常水位时水面宽$AB=30$米，拱顶O到水面AB的距离为9米，因此点A的坐标为$(-15,-9)$，
将$A(-15,-9)$代入$y=ax^2$，可得：
$a× (-15)^2=-9$，即$225a=-9$，
解得$a=-\frac{1}{25}$，
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{25}x^2$。
当水位上升5米时，水面到拱顶的距离为$9-5=4$米，即水面所在直线为$y=-4$，
令$y=-\frac{1}{25}x^2=-4$，
解得$x=\pm10$，
因此水面宽CD为$10-(-10)=20$米。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数性质
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题核心是结合坐标系特征简化抛物线解析式的设置，再用待定系数法求出解析式，最后代入对应函数值求解即可，解题时要注意坐标的正负不要混淆。
【难度系数】
0.75
本题是二次函数在抛物线形拱桥场景下的实际应用，解题思路如下：首先观察坐标系特征，抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，因此可设抛物线解析式为最简形式$y=ax^2$；再结合正常水位的水面宽度、拱顶到水面的距离确定点A的坐标，代入解析式求出参数a，得到完整的抛物线解析式；最后根据水位上升的高度，求出此时水面对应的纵坐标，代入解析式得到对应的横坐标，两个横坐标的差就是水面宽CD。
【解析】
设抛物线的表达式为$y=ax^2$，
由题意可知，正常水位时水面宽$AB=30$米，拱顶O到水面AB的距离为9米，因此点A的坐标为$(-15,-9)$，
将$A(-15,-9)$代入$y=ax^2$，可得：
$a× (-15)^2=-9$，即$225a=-9$，
解得$a=-\frac{1}{25}$，
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{25}x^2$。
当水位上升5米时，水面到拱顶的距离为$9-5=4$米，即水面所在直线为$y=-4$，
令$y=-\frac{1}{25}x^2=-4$，
解得$x=\pm10$，
因此水面宽CD为$10-(-10)=20$米。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数性质
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题核心是结合坐标系特征简化抛物线解析式的设置，再用待定系数法求出解析式，最后代入对应函数值求解即可，解题时要注意坐标的正负不要混淆。
【难度系数】
0.75
6[2026湖北咸宁质检]如图，要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管AB，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，若水管高度为$\frac{8}{3}$ m，要使水柱落地处在水池内，水池半径至少应为
4
m. 答案
6.4 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的表达式为$y=a(x-h)^2+k.$由题意可知抛物线的顶点坐标为$(1,3),$
∴$y=a(x-1)^2+3.$
∵ 抛物线与y轴的交点坐标为$(0,\frac{8}{3}),$
∴$\frac{8}{3}=a×(0-1)^2+3,$解得$a=-\frac{1}{3},$
∴ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{3}(x-1)^2+3.$当$y=0$时,$0=-\frac{1}{3}×(x-1)^2+3,$解得$x=4$(负根已舍去),
∴ 水池半径至少应为4 m,故答案为4.
解析
【分析】
本题属于二次函数的实际应用类问题，解题思路如下：首先结合题意建立平面直角坐标系，已知抛物线的顶点坐标，因此选择设二次函数的顶点式简化计算；再将水管顶端A的坐标代入所设解析式，求出未知系数得到完整的函数表达式；最后水柱落地时高度为0，代入y=0求解x的正数值，该值就是水池所需的最小半径。
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的表达式为$y=a(x-h)^2+k$。
由题意得抛物线的顶点坐标为$(1,3)$，代入得：$y=a(x-1)^2+3$。
已知抛物线与y轴交点（即水管顶端）的坐标为$(0,\frac{8}{3})$，将其代入表达式：
$\frac{8}{3}=a×(0-1)^2+3$，解得$a=-\frac{1}{3}$。
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-1)^2+3$。
当水柱落地时$y=0$，代入解析式得：
$0=-\frac{1}{3}(x-1)^2+3$，
整理得$(x-1)^2=9$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$，结合实际意义舍去负根，得$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是抛物线在实际生活中应用的典型基础题，解题关键是将实际问题转化为二次函数数学模型，再结合实际意义对解进行取舍，主要考查学生的建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
本题属于二次函数的实际应用类问题，解题思路如下：首先结合题意建立平面直角坐标系，已知抛物线的顶点坐标，因此选择设二次函数的顶点式简化计算；再将水管顶端A的坐标代入所设解析式，求出未知系数得到完整的函数表达式；最后水柱落地时高度为0，代入y=0求解x的正数值，该值就是水池所需的最小半径。
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的表达式为$y=a(x-h)^2+k$。
由题意得抛物线的顶点坐标为$(1,3)$，代入得：$y=a(x-1)^2+3$。
已知抛物线与y轴交点（即水管顶端）的坐标为$(0,\frac{8}{3})$，将其代入表达式：
$\frac{8}{3}=a×(0-1)^2+3$，解得$a=-\frac{1}{3}$。
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x-1)^2+3$。
当水柱落地时$y=0$，代入解析式得：
$0=-\frac{1}{3}(x-1)^2+3$，
整理得$(x-1)^2=9$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$，结合实际意义舍去负根，得$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是抛物线在实际生活中应用的典型基础题，解题关键是将实际问题转化为二次函数数学模型，再结合实际意义对解进行取舍，主要考查学生的建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
7[2026广东广州期中]某校初三年级的一场篮球比赛中,队员甲正在投篮,已知球出手时距地面$\frac{20}{9}$ m,球出手后沿一条抛物线运动,当球飞行的水平距离为4 m时达到最大高度4 m,建立如图所示的平面直角坐标系(图中所有点均在同一竖直平面内).
(1)抛物线的顶点坐标为
(2)求出抛物线的表达式；
(3)若队员甲与篮圈中心的水平距离为7 m,篮圈距地面3 m,问此球能否准确投中？
(1)抛物线的顶点坐标为
(4,4)
；(2)求出抛物线的表达式；
(3)若队员甲与篮圈中心的水平距离为7 m,篮圈距地面3 m,问此球能否准确投中？
答案
7.【解】(1)根据题意得,抛物线的顶点坐标为$(4,4)$,故答案为$(4,4).$
(2)根据题意得,球出手时所在位置的坐标为$(0,\frac{20}{9}),$设抛物线的表达式为$y=a(x-4)^2+4,$将$(0,\frac{20}{9})$代入可得$16a+4=\frac{20}{9},$解得$a=-\frac{1}{9},$
∴ 抛物线表达式为$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4.$
(3)根据题意得,篮圈中心的坐标为$(7,3).$将$(7,3)$代入抛物线表达式得$3=-\frac{1}{9}(7-4)^2+4,$左边=右边,
∴ 此球能准确投中.
(2)根据题意得,球出手时所在位置的坐标为$(0,\frac{20}{9}),$设抛物线的表达式为$y=a(x-4)^2+4,$将$(0,\frac{20}{9})$代入可得$16a+4=\frac{20}{9},$解得$a=-\frac{1}{9},$
∴ 抛物线表达式为$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4.$
(3)根据题意得,篮圈中心的坐标为$(7,3).$将$(7,3)$代入抛物线表达式得$3=-\frac{1}{9}(7-4)^2+4,$左边=右边,
∴ 此球能准确投中.
解析
【分析】
(1) 抛物线的顶点对应篮球运动的最高点，题目明确说明球飞行水平距离为4m时达到最大高度4m，结合坐标系可直接得到顶点坐标。
(2) 已知抛物线顶点坐标，选择顶点式设解析式可简化计算，再将球出手时的点坐标代入求解系数a，即可得到抛物线表达式。
(3) 判断能否投中的本质是验证篮圈中心对应的坐标是否在抛物线上：先根据水平距离和高度确定篮圈坐标，将横坐标代入解析式，对比计算出的纵坐标是否和篮圈高度一致即可。
【解析】
(1) 由题意，篮球在水平距离4m处达到最大高度4m，对应平面直角坐标系中顶点的横坐标为4，纵坐标为4，故顶点坐标为$(4,4)$。
(2) 球出手时距地面$\frac{20}{9}\ \mathrm{m}$，对应点坐标为$(0,\frac{20}{9})$。
已知抛物线顶点为$(4,4)$，设抛物线的顶点式为$y=a(x-4)^2+4$，
将$(0,\frac{20}{9})$代入解析式得：$16a+4=\frac{20}{9}$，
解得$a=-\frac{1}{9}$，
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4$。
(3) 队员甲与篮圈中心水平距离为7m，篮圈距地面3m，故篮圈中心坐标为$(7,3)$。
将$x=7$代入抛物线表达式得：
$y=-\frac{1}{9}×(7-4)^2+4=-\frac{1}{9}×9+4=3$，
计算结果与篮圈纵坐标相等，说明篮圈中心在抛物线上。
【答案】
(1) $(4,4)$
(2) $y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4$
(3) 此球能准确投中
【知识点】
二次函数顶点式、待定系数法求解析式、二次函数实际应用
【点评】
本题结合投篮场景考察二次函数的基础应用，解题关键是将实际场景中的数据转化为坐标系内的点坐标，合理选择解析式形式代入计算，掌握判断点是否在函数图象上的方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 抛物线的顶点对应篮球运动的最高点，题目明确说明球飞行水平距离为4m时达到最大高度4m，结合坐标系可直接得到顶点坐标。
(2) 已知抛物线顶点坐标，选择顶点式设解析式可简化计算，再将球出手时的点坐标代入求解系数a，即可得到抛物线表达式。
(3) 判断能否投中的本质是验证篮圈中心对应的坐标是否在抛物线上：先根据水平距离和高度确定篮圈坐标，将横坐标代入解析式，对比计算出的纵坐标是否和篮圈高度一致即可。
【解析】
(1) 由题意，篮球在水平距离4m处达到最大高度4m，对应平面直角坐标系中顶点的横坐标为4，纵坐标为4，故顶点坐标为$(4,4)$。
(2) 球出手时距地面$\frac{20}{9}\ \mathrm{m}$，对应点坐标为$(0,\frac{20}{9})$。
已知抛物线顶点为$(4,4)$，设抛物线的顶点式为$y=a(x-4)^2+4$，
将$(0,\frac{20}{9})$代入解析式得：$16a+4=\frac{20}{9}$，
解得$a=-\frac{1}{9}$，
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4$。
(3) 队员甲与篮圈中心水平距离为7m，篮圈距地面3m，故篮圈中心坐标为$(7,3)$。
将$x=7$代入抛物线表达式得：
$y=-\frac{1}{9}×(7-4)^2+4=-\frac{1}{9}×9+4=3$，
计算结果与篮圈纵坐标相等，说明篮圈中心在抛物线上。
【答案】
(1) $(4,4)$
(2) $y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4$
(3) 此球能准确投中
【知识点】
二次函数顶点式、待定系数法求解析式、二次函数实际应用
【点评】
本题结合投篮场景考察二次函数的基础应用，解题关键是将实际场景中的数据转化为坐标系内的点坐标，合理选择解析式形式代入计算，掌握判断点是否在函数图象上的方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
