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6. 观察下面几幅图,画出下一个图形,然后根据你发现的规律计算,第$n$个图形中有多少个圆片?第50个图形中有多少个圆片?
答案
$1+(n+1)×n$
$1+(50+1)×50=2551$(个)
7. 先观察，找出规律，再运用规律解决问题。
(
(1)如图，涂色部分有几个小正方形？填一填。
(2)如果大正方形每边有10个小正方形，那么最外圈涂色的小正方形有(
(3)如果大正方形每边有n个小正方形，那么最外圈涂色的小正方形有(
(4)如果最外圈涂色的一共有96个小正方形，那么大正方形中一共有(
(
4
)个 (8
)个 (16
)个(1)如图，涂色部分有几个小正方形？填一填。
(2)如果大正方形每边有10个小正方形，那么最外圈涂色的小正方形有(
36
)个。(3)如果大正方形每边有n个小正方形，那么最外圈涂色的小正方形有(
$4(n-1)$
)个。(4)如果最外圈涂色的一共有96个小正方形，那么大正方形中一共有(
625
)个小正方形。答案
(1)4 8 16
(2)36
(3)$4(n-1)$
(4)625
(2)36
(3)$4(n-1)$
(4)625
8. 下列排列有规律的图案都是由正方形和直径为1 cm的半圆构成的。根据图形的排列规律,推导出图ⓝ的周长(写出简单的推导过程)。
答案
图①的周长是2个直径为1 cm的圆的周长之和,图②的周长是3个直径为1 cm的圆的周长之和,图③的周长是4个直径为1 cm的圆的周长之和,所以图$n$的周长是$(n+1)$个直径为1 cm的圆的周长之和,是$(n+1)×3.14×1=3.14(n+1)(\mathrm{cm})$。
9. 有一根弯曲的铁丝,按如图所示的方式剪开,观察规律并填写下表。
第1次
第3次……
第2次
剪的次数 1 2 3 … 10 … a
分成的段数 4
… … …
第1次
第3次……第2次
剪的次数 1 2 3 … 10 … a
分成的段数 4
… … …答案
7 10 31 $3a+1$
提示:因为铁丝弯曲成三折,所以每次剪都会剪断3处,每剪断一处就会增加一段,故每剪一次增加3段,剪$a$次一共有$(3a+1)$段。
提示:因为铁丝弯曲成三折,所以每次剪都会剪断3处,每剪断一处就会增加一段,故每剪一次增加3段,剪$a$次一共有$(3a+1)$段。
10. 如图,每个圆柱底面圆的直径都是8 cm,捆一定数量的圆柱所用绳子的长度与圆柱的个数、底面圆的周长和直径有什么关系?
序号 ① ② ③ …
图形
…
圆柱个数 1 3 6 …
绳子长度/cm $8π$ $8π + 8×3$ $8π + 8×6$ …
(1)若按此规律继续摆,图④中有(
(2)若按此规律继续摆,图⑤中绳子长度是(
序号 ① ② ③ …
图形
…圆柱个数 1 3 6 …
绳子长度/cm $8π$ $8π + 8×3$ $8π + 8×6$ …
(1)若按此规律继续摆,图④中有(
10
)个圆柱,图⑨中有(45
)个圆柱,图ⓝ中有($\dfrac{n×(n+1)}{2}$
)个圆柱。(2)若按此规律继续摆,图⑤中绳子长度是(
$8π+8×12$
)cm,图ⓝ中绳子长度是($8π+8×3(n-1)$
)cm。答案
(1)10 45 $\dfrac{n×(n+1)}{2}$
提示:根据规律,图④中圆柱的个数是$1+2+3+4=10$,图⑨中圆柱的个数是$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$,图 $n$ 中圆柱的个数是$1+2+3+\dots+n=\dfrac{n×(n+1)}{2}$。
(2)$8π+8×12$ $8π+8×3(n-1)$
提示:图⑤中,3条曲线部分合起来是一个圆的周长,3条直线部分合起来是$(5-1)×3=12$(个)直径的长度,绳子长度是$(8π+8×12)\mathrm{cm}$。图 $n$ 中,绳子长度为1个圆的周长再加上$[(n-1)×3]$个直径的长度,即$[8π+8×3(n-1)]\mathrm{cm}$。
提示:根据规律,图④中圆柱的个数是$1+2+3+4=10$,图⑨中圆柱的个数是$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$,图 $n$ 中圆柱的个数是$1+2+3+\dots+n=\dfrac{n×(n+1)}{2}$。
(2)$8π+8×12$ $8π+8×3(n-1)$
提示:图⑤中,3条曲线部分合起来是一个圆的周长,3条直线部分合起来是$(5-1)×3=12$(个)直径的长度,绳子长度是$(8π+8×12)\mathrm{cm}$。图 $n$ 中,绳子长度为1个圆的周长再加上$[(n-1)×3]$个直径的长度,即$[8π+8×3(n-1)]\mathrm{cm}$。
11. 数形结合 按照字母表顺序不断写下去(写完Z后回到A),第5幅图中最后一个字母是(
$U$
),第10幅图中最后一个字母是($M$
),第n幅图中一共写了($n^2-n+1$
)个字母。答案
$U$ $M$ $n^2-n+1$
提示:观察题图可以发现,这些字母是按照正方形的形状螺旋排列,第1幅图是1行1列的正方形,第2幅图差1个字母是2行2列的正方形,第3幅图差2个字母是3行3列的正方形,第4幅图差3个字母是4行4列的正方形,据此可以发现规律:第$n$幅图差$(n-1)$个字母是$n$行$n$列的正方形,因此第$n$幅图中的字母数量为$n^2-(n-1)$,即有$(n^2-n+1)$个字母。第5幅图一共有21个字母,故最后一个字母是$U$;第10幅图一共有91个字母,$91÷26=3\dots\dots13$,故最后一个字母是$M$。
提示:观察题图可以发现,这些字母是按照正方形的形状螺旋排列,第1幅图是1行1列的正方形,第2幅图差1个字母是2行2列的正方形,第3幅图差2个字母是3行3列的正方形,第4幅图差3个字母是4行4列的正方形,据此可以发现规律:第$n$幅图差$(n-1)$个字母是$n$行$n$列的正方形,因此第$n$幅图中的字母数量为$n^2-(n-1)$,即有$(n^2-n+1)$个字母。第5幅图一共有21个字母,故最后一个字母是$U$;第10幅图一共有91个字母,$91÷26=3\dots\dots13$,故最后一个字母是$M$。
