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13 新考法 新定义问题（2025·扬州一模）给出一种运算：对于$y=x^n$，规定$y'=nx^{n-1}$。例如：若$y=x^4$，则有$y'=4x^3$。已知$y=x^3$，则命题“方程$y'=12$的解是$x=2$或$x=-2$”是
真
命题。答案
13.真
14 若$(a^2 + b^2 - 3)^2 = 25$，则$a^2 + b^2 =$
$8$
.答案
14.8
15 整体思想（2026·扬州江都区期中）关于$x$的方程$a(x+m)^2 + b=0$的解是$x_1=-5,x_2=3(a,m,b$均为常数，$a≠0)$，则方程$a(2x + m -1)^2 + b=0$的解是________。
答案
15.$x_1=-2,x_2=2$ [解析]由题意知$2x-1=-5$或$2x-1=3$,解得$x_1=-2,x_2=2.$
素养考向 本题考查整体思想与化归能力,通过换元将新方程转化为已知方程求解,体现数学建模与转化素养.
素养考向 本题考查整体思想与化归能力,通过换元将新方程转化为已知方程求解,体现数学建模与转化素养.
16 新考法 新定义问题 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为$a*b=a^2 - b^2$，根据这个规则，求方程$(x+1)*3=0$的解。
答案
16.$\because(x+1)*3=0,\therefore(x+1)^2-3^2=0,$
$\therefore(x+1)^2=9,x+1=\pm3,$
解得$x_1=2,x_2=-4.$
解题通法 本题考查了解一元二次方程——直接开平方法:如果方程化成$x^2=p$的形式,那么可得$x=\pm\sqrt{p}$;如果方程能化成$(nx+m)^2=p(p≥0)$的形式,那么$nx+m=\pm\sqrt{p}.$
$\therefore(x+1)^2=9,x+1=\pm3,$
解得$x_1=2,x_2=-4.$
解题通法 本题考查了解一元二次方程——直接开平方法:如果方程化成$x^2=p$的形式,那么可得$x=\pm\sqrt{p}$;如果方程能化成$(nx+m)^2=p(p≥0)$的形式,那么$nx+m=\pm\sqrt{p}.$
17 新考法 解题方法型阅读理解题 阅读理解:我们把$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$称作二阶行列式,规定它的运算法则为$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$.如$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}=2×5-3×4=-2$.如果$\begin{vmatrix} x+1 & x-1 \\ 1-x & x+1 \end{vmatrix}=6$,求$x$的值.
答案
17. 根据题意,得$\begin{vmatrix} x+1 & x-1 \\ 1-x & x+1 \end{vmatrix}=(x+1)^2-(1-x)(x-1)=6,$整理,得$x^2=2,$两边直接开平方,得$x=\pm\sqrt{2}.$
18 新考法 解题方法型阅读理解题 阅读与思考：
下面是八(1)班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务。
研究一元二次方程的新解法
讨论一种关于一元二次方程的新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解。
例如：解一元二次方程 $x^2 - 4x - 6 = 0$，
设 $x = y + m$（$m$ 为常数），
将原方程化为 $(y + m)^2 - 4(y + m) - 6 = 0$，①
方程①整理，得 $y^2 + $
$(m - 4)y + m^2 - 4m - 6 = 0$，②
令 $2m - 4 = 0$，解得 $m = 2$。
当 $m = 2$ 时，$m^2 - 4m - 6 = 2^2 - 4×2 - 6 = -10$，
∴方程②化为 $y^2 - 10 = 0$，解得 $y_1 = \sqrt{10}$，$y_2 = -\sqrt{10}$，
∴$x_1 = y_1 + m = \_\_\_\_\_\_$，$x_2 = y_2 + m = \_\_\_\_\_\_$。
任务：
(1)直接写出材料中方程的解 $x_1 = \_\_\_\_\_\_$，$x_2 = \_\_\_\_\_\_$。
(2)按照材料中例题的方法，解一元二次方程 $3x^2 + 12x + 1 = 0$。
下面是八(1)班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务。
研究一元二次方程的新解法
讨论一种关于一元二次方程的新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解。
例如：解一元二次方程 $x^2 - 4x - 6 = 0$，
设 $x = y + m$（$m$ 为常数），
将原方程化为 $(y + m)^2 - 4(y + m) - 6 = 0$，①
方程①整理，得 $y^2 + $
$(m - 4)y + m^2 - 4m - 6 = 0$，②令 $2m - 4 = 0$，解得 $m = 2$。
当 $m = 2$ 时，$m^2 - 4m - 6 = 2^2 - 4×2 - 6 = -10$，
∴方程②化为 $y^2 - 10 = 0$，解得 $y_1 = \sqrt{10}$，$y_2 = -\sqrt{10}$，
∴$x_1 = y_1 + m = \_\_\_\_\_\_$，$x_2 = y_2 + m = \_\_\_\_\_\_$。
任务：
(1)直接写出材料中方程的解 $x_1 = \_\_\_\_\_\_$，$x_2 = \_\_\_\_\_\_$。
(2)按照材料中例题的方法，解一元二次方程 $3x^2 + 12x + 1 = 0$。
答案
18.(1)$\sqrt{10}+2$ $-\sqrt{10}+2$
(2)设$x=y+m$($m$为常数),
将原方程化为$(y+m)^2+4(y+m)+\frac{1}{3}=0,$①
方程①整理,得$y^2+(2m+4)y+m^2+4m+\frac{1}{3}=0,$②
令$2m+4=0,$解得$m=-2,$
当$m=-2$时,$m^2+4m+\frac{1}{3}=-\frac{11}{3},$
$\therefore$方程②化为$y^2-\frac{11}{3}=0,$
解得$y_1=\frac{\sqrt{33}}{3},y_2=-\frac{\sqrt{33}}{3},$
$\therefore x_1=y_1+m=\frac{\sqrt{33}}{3}-2,x_2=y_2+m=-\frac{\sqrt{33}}{3}-2.$
素养考向 该方法适用于解一般一元二次方程,本质是通过换元消去一次项,体现了换元化归的数学思想.
(2)设$x=y+m$($m$为常数),
将原方程化为$(y+m)^2+4(y+m)+\frac{1}{3}=0,$①
方程①整理,得$y^2+(2m+4)y+m^2+4m+\frac{1}{3}=0,$②
令$2m+4=0,$解得$m=-2,$
当$m=-2$时,$m^2+4m+\frac{1}{3}=-\frac{11}{3},$
$\therefore$方程②化为$y^2-\frac{11}{3}=0,$
解得$y_1=\frac{\sqrt{33}}{3},y_2=-\frac{\sqrt{33}}{3},$
$\therefore x_1=y_1+m=\frac{\sqrt{33}}{3}-2,x_2=y_2+m=-\frac{\sqrt{33}}{3}-2.$
素养考向 该方法适用于解一般一元二次方程,本质是通过换元消去一次项,体现了换元化归的数学思想.
