初中数学 七年级
10.如图,带有弧线的角是用一副三角尺拼成的,这个角的度数为 ()


A.60°
B.15°
C.45°
D.105°

10.B 由题意可知这个角的度数=60°-45°=15°.故选 B.

【分析】
首先回忆一副标准三角尺的各角度数：其中一个三角尺的角度为30°、60°、90°，另一个为45°、45°、90°。观察图形可得，带弧线的角是两个三角尺的锐角叠放后形成的差角，等于度数较大的锐角减去度数较小的锐角，只要找到对应两个角的度数做减法就能得出结果。
【解析】
解：由图可知，叠放在一起的两个角分别是三角尺的60°角和45°角，带弧线的角为这两个角的差，因此这个角的度数=60°-45°=15°。故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角尺的角度特征，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角尺固定角度的记忆，以及结合图形判断角的组成并进行简单运算的能力，牢记三角尺的各角度数是解题的关键。
【难度系数】
0.8

二册
人教版
11.「2026安徽蚌埠期末」如图，甲从点A出发向北偏东70°10′方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°10′方向走到点C，则∠BAC的度数是（）


A.124°20′
B.124°40′
C.125°
D.125°20′

11.C 如图,

由题意得 ∠BAE = 90°-70°10′ = 19°50′, ∠CAF = 15°10′,
所以 ∠BAC = 19°50′+90°+15°10′ = 125°.故选 C.

【分析】
首先明确方向坐标系的基本规则：上北下南、左西右东，正东、正南、正西、正北相邻两个方向的夹角均为90°。接下来理解两个方向角的含义：①北偏东70°10′是从正北方向向东偏转70°10′得到射线AB，因此可求出AB与正东方向的夹角；②南偏西15°10′是从正南方向向西偏转15°10′得到射线AC，偏转角度就是AC与正南方向的夹角。观察∠BAC的构成，可拆分为AB与正东的夹角、正东到正南的直角、AC与正南的夹角三部分，将三个角度相加即可得到结果，计算时注意度分秒为60进制，满60分要进位为1度。
【解析】
如图，设正东方向为射线AE，正南方向为射线AF。
由题意得：AB的方向为北偏东70°10′，因此AB与正东方向的夹角∠BAE = 90° - 70°10′ = 19°50′；
AC的方向为南偏西15°10′，因此AC与正南方向的夹角∠CAF = 15°10′；
又正东与正南方向的夹角∠EAF = 90°，
所以∠BAC = ∠BAE + ∠EAF + ∠CAF = 19°50′ + 90° + 15°10′ = 125°。
故选C。
【答案】
11.C 如图,
由题意得 ∠BAE = 90°-70°10′ = 19°50′, ∠CAF = 15°10′,
所以 ∠BAC = 19°50′+90°+15°10′ = 125°.故选 C.
【知识点】
方向角的识别；角的和差计算；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是准确理解方向角的定义，正确拆分待求角的组成，计算过程中要注意度分秒的60进制规则，避免因进位错误失分。
【难度系数】
0.8

12.「2026天津和平期末」已知∠A=20°18′，∠B=20°15′30″，∠C=20.5°，那么（）

A.∠A＞∠B＞∠C
B.∠A＞∠C＞∠B
C.∠B＞∠A＞∠C
D.∠C＞∠A＞∠B

12.D ∠A = 20°18′, ∠B = 20°15′30″, ∠C = 20.5° = 20°30′,
因为 20°30′＞20°18′＞20°15′30″,
所以 ∠C＞∠A＞∠B.故选 D.

【分析】
要比较三个角的大小，首先观察到三个角的单位表示形式不统一，无法直接比较，因此第一步需要统一单位。度、分、秒的进率为60，我们可以先将以小数形式表示的∠C换算为度分秒的形式，再对比三个角的度、分、秒数值，度相同的情况下比较分，分相同的情况下比较秒，即可得出大小关系。
【解析】
首先换算∠C的单位：
∵1°=60′，
∴0.5°=0.5×60′=30′，
∴∠C=20.5°=20°30′。
已知∠A=20°18′，∠B=20°15′30″，
三个角的度部分均为20°，比较分部分：30′＞18′＞15′，
因此大小关系为∠C＞∠A＞∠B，故选D。
【答案】
D
【知识点】
度分秒的换算，角的大小比较
【点评】
本题主要考查度分秒的单位换算和角的大小比较，解题核心是先统一单位再按单位层级比较大小，需要注意度、分、秒之间的进率为60，不要和十进制进率混淆。
【难度系数】
0.8

13.「2026江苏盐城月考」钟面上的时间为9:30时，再经过t分钟，时针与分针第一次重合，则t的值为。

13.答案 210/11
解析 时针每分钟转 0.5°,分针每分钟转 6°,时钟上每个大格对应的角度为 30°,在 9:30 时,时针与分针的夹角为 3×30°+30×0.5°= 105°,
因为经过 t 分钟,时针与分针第一次重合,
所以 6t-0.5t = 105,解得 t = 210/11.

【分析】
解决本题首先要明确时针和分针的转动角速度，再计算9:30时二者的初始夹角，最后将时针分针重合问题转化为追及问题：分针需要比时针多走初始夹角的度数才能重合，据此列一元一次方程即可求解。
【解析】
解：时针每分钟转动的角度为：$360°÷(12×60)=0.5°$，
分针每分钟转动的角度为：$360°÷60=6°$，
钟面每个大格对应角度为：$360°÷12=30°$。
9:30时，分针指向6，时针在9和10正中间，二者夹角为：
$3×30°+30×0.5°=105°$。
经过t分钟二者第一次重合，说明t分钟内分针比时针多转了105°，列方程得：
$6t-0.5t=105$
合并同类项得$5.5t=105$
解得$t=\frac{210}{11}$。
【答案】
$\frac{210}{11}$
【知识点】
钟面角计算、一元一次方程的应用、角度运算
【点评】
本题是钟面追及类典型题型，解题核心是熟练掌握时针、分针的转动速度，准确计算初始夹角，结合追及问题的等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6

14.计算:
(1)$33°15'16''×5$.
(2)$180°-(34°54'+21°33')$.
(3)$72°35'÷2+18°33'×4$.

14.解析 (1)33°15′16″×5 = 165°75′80″=166°16′20″.
(2)180°-(34°54′+21°33′)= 180°-55°87′= 180°-56°27′= 179°60′-56°27′= 123°33′.
(3)72°35′÷2+18°33′×4 = 72°34′60″÷2+72°132′
= 36°17′30″+74°12′= 110°29′30″.

【分析】
度、分、秒采用60进制，换算关系为$1°=60'$，$1'=60''$，运算规则如下：①乘法：分别用乘数乘度、分、秒，每一级结果满60就向上一级进1；②加法：同单位相加，满60进1；③减法：若某一级数值不够减，向上一级借1当60后再相减；④除法：从最高单位“度”开始除，余数乘60转为下一级单位，与下一级原有数值相加后继续除。
(1)直接用5分别乘度、分、秒，再按60进制进位化简即可；
(2)先计算括号内的角度和，进位化简后，将180°转化为含分的形式再做减法；
(3)先分别计算除法和乘法，各自化简后再相加得到最终结果。
【解析】
(1) $33°15'16''×5$
$=33°×5 + 15'×5 + 16''×5$
$=165°75'80''$
$=166°16'20''$
(2) $180°-(34°54'+21°33')$
$=180° - 55°87'$
$=180° - 56°27'$
$=179°60' - 56°27'$
$=123°33'$
(3) $72°35'÷2+18°33'×4$
$=72°34'60''÷2 + 72°132'$
$=36°17'30'' + 74°12'$
$=110°29'30''$
【答案】
(1)$166°16'20''$；(2)$123°33'$；(3)$110°29'30''$
【知识点】
度分秒的换算，角度的四则运算
【点评】
本题重点考查度分秒的运算能力，核心是熟练掌握60进制的进位、借位规则，计算时注意对齐同单位运算，可有效避免换算错误。
【难度系数】
0.7

15.「2025安徽合肥肥西期末」如图,已知$∠ AOB=120°$,OC是$∠ AOB$内的一条射线,且$∠ AOC:∠ BOC=1:2$.
(1)求$∠ AOC$和$∠ BOC$的度数.
(2)作射线OM平分$∠ AOC$,在$∠ BOC$内作射线ON,使得$∠ CON:∠ BON=1:3$,求$∠ MON$的度数.

15.解析 (1)因为∠AOC:∠BOC=1:2,
所以设∠AOC=α,∠BOC=2α,
因为∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°,
所以α+2α=120°,所以α=40°,
所以∠AOC=40°,∠BOC=2×40°=80°.
(2)因为 OM 平分∠AOC,
所以∠MOC=1/2∠COA=1/2×40°=20°,
因为∠CON:∠BON=1:3,
所以∠NOC=1/4∠COB=1/4×80°=20°,
所以∠MON=∠COM+∠CON=20°+20°=40°.

【分析】
（1）第一问已知∠AOB的总度数和∠AOC、∠BOC的比例关系，可通过设未知数，利用两个角相加等于∠AOB的和差关系列方程求解。
（2）第二问先根据角平分线的定义求出∠MOC的度数，再结合∠CON和∠BON的比例关系求出∠CON的度数，最后根据∠MON是∠MOC与∠CON的和，相加即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$∠ AOC:∠ BOC=1:2$，设$∠ AOC=α$，则$∠ BOC=2α$。
因为$∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB=120°$，
代入得$α+2α=120°$，解得$α=40°$，
所以$∠ AOC=40°$，$∠ BOC=2×40°=80°$。
(2) 因为OM平分$∠ AOC$，根据角平分线的性质，
$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
又因为$∠ CON:∠ BON=1:3$，可得$∠ CON$占$∠ BOC$的$\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$，
所以$∠ CON=\frac{1}{4}∠ BOC=\frac{1}{4}×80°=20°$，
由图可知$∠ MON=∠ MOC+∠ CON=20°+20°=40°$。
【答案】
(1) $∠ AOC=40°$，$∠ BOC=80°$；(2) $∠ MON=40°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，按比例求角度
【点评】
本题属于角的计算基础题，解题核心是理清图中各角的数量关系，结合比例性质和角平分线的定义逐步推导即可，计算时注意不要混淆各角的比例对应关系。
【难度系数】
0.8

16.「2026湖南益阳期末」如图，$∠ AOB = 114°$，$OF$是$∠ AOB$的平分线，$∠ 1$和$∠ 2$互余，则$∠ 1$的度数为________。

16.答案 33°
解析 因为 OF 是∠AOB 的平分线,∠AOB=114°,
所以∠BOF=∠2=1/2∠AOB=57°,
因为∠1 和∠2 互余,所以∠1+∠2=90°,
所以∠1=90°-∠2=90°-57°=33°.

【分析】
解题时先梳理已知条件：已知∠AOB的度数、OF是∠AOB的平分线、∠1与∠2互余，要求∠1的度数。首先要明确：要求∠1，需要先求出∠2的度数，因为∠1和∠2互余，二者和为90°；而∠2是∠AOB被角平分线平分得到的角，根据角平分线的定义可直接求出∠2，最后代入互余的关系就能算出∠1。
【解析】
解：
∵ OF是∠AOB的平分线，∠AOB=114°，
∴ $∠ 2=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×114°=57°$，
∵ ∠1和∠2互余，
∴ $∠ 1+∠ 2=90°$，
∴ $∠ 1=90°-∠ 2=90°-57°=33°$。
【答案】
33°
【知识点】
角平分线的定义，余角的定义，角度运算
【点评】
本题属于角的计算基础题，围绕角平分线和余角的基础概念设计，逻辑链短，解题步骤清晰，掌握相关基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

17.「2025甘肃武威期末」一个角的余角比它的补角的$\frac{2}{3}$还少$40°$,则这个角为度.

17.答案 30
解析 设这个角的度数为 x 度,则其余角为(90-x)度,补角为(180-x)度,根据题意得 90-x=2/3(180-x)-40,解得 x=30.故这个角为 30 度.

【分析】
本题属于角度计算类问题，解题思路如下：首先回忆余角、补角的定义：两个角的和为90°则互余，两个角的和为180°则互补。我们可以通过设未知数列方程的方法求解：第一步设这个角的度数为x，第二步用含x的式子分别表示出它的余角和补角，第三步根据题干给出的“余角比补角的$\frac{2}{3}$还少40°”的等量关系列一元一次方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
设这个角的度数为$x$度。
根据余角定义，它的余角为$(90-x)$度；根据补角定义，它的补角为$(180-x)$度。
根据题意列方程：
$90-x=\frac{2}{3}(180-x)-40$
展开并化简方程右边：
$90-x=120-\frac{2}{3}x-40$
$90-x=80-\frac{2}{3}x$
移项、合并同类项：
$-x+\frac{2}{3}x=80-90$
$-\frac{1}{3}x=-10$
系数化为1得：
$x=30$
【答案】
30
【知识点】
余角补角定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是角度计算的基础常考题，解题核心是熟练掌握余角、补角的表示方法，能将题干中的数量关系转化为方程求解，考察了几何与代数结合的应用能力。
【难度系数】
0.8