1.聚焦中考
直接经验学习「2026重庆联考」【感知】如图①,在△ABC中,∠C=90°,∠A=40°,则∠B=°.

【感知】50.

【操作】如图②，点D，E分别在图①中的△ABC的边AC，AB上，且均不与△ABC的顶点重合，连接DE，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'始终落在四边形BCDE的外部，A'D交边AB于点F，且点A'与点C在直线AB的异侧，则∠BED+∠CDE=°。
【探究】如图③，设图②中的∠CDF=∠1，∠A'EF=∠2。
(1)求∠1-∠2的度数。
(2)当△A'DE的某条边与BC平行时，求∠ADE的度数。

【操作】220.
详解:
∵ ∠BED=∠A+∠ADE, ∠CDE=180°−∠ADE,
∴ ∠BED+∠CDE=180°+∠A,
∵ ∠A=40°,
∴ ∠BED+∠CDE=220°.
【探究】(1)由折叠的性质得∠A'=∠A=40°,
∵ ∠1=∠A+∠AFD, ∠2=∠AFD−∠A',
∴ ∠1−∠2=∠A+∠A'=40°+40°=80°.
(2)①当EA'//BC时,∠2=∠B=50°,
∵ ∠1−∠2=80°,
∴ ∠1=80°+∠2=80°+50°=130°,
由折叠的性质得∠ADE=∠A'DE=(180°−130°)/2=25°;
②当DA'//BC时,∠1=180°−∠C=90°,
∴ ∠ADE=∠A'DE=(180°−90°)/2=45°;
③
∵ 点A'与点C在直线AB的异侧,
∴ 当DE//BC时,不符合题意.
综上所述,∠ADE的大小为45°或25°.

2.「2026江苏无锡月考」【问题情境】如图1,在△ABC中,AB＞AC,怎样判断∠C与∠B的大小关系呢?
解:将△ABC沿AD折叠,使AC落在边AB上,点C的对应点为C',由折叠的性质可得∠AC'D=∠C,∵∠AC'D＞∠B,∴∠C＞∠B.
结论:在三角形中,大边对大角;反之,大角对大边.
(1)若∠CAB=60°,∠C=80°,求∠C'DB的度数.
(2)若∠C=2∠B,判断AC,AB与CD之间的数量关系,并说明理由.
【变式探究】
(3)如图2,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线.设AC=a,AB=b,求BD的长(用含a,b的代数式表示).

(1)
∵ 在△ABC中,∠CAB=60°,∠C=80°,
∴ ∠B=180°−(∠CAB+∠C)=40°,
由折叠的性质可得∠AC'D=∠C=80°,
∵ ∠AC'D=∠B+∠C'DB,
∴ ∠C'DB=∠AC'D−∠B=40°.
(2)AC+CD=AB.理由如下:
由折叠的性质得AC'=AC, C'D=CD, ∠AC'D=∠C,
∵ ∠C=2∠B,
∴ ∠AC'D=2∠B,
∵ ∠AC'D=∠B+∠C'DB,
∴ 2∠B=∠B+∠C'DB,
∴ ∠B=∠C'DB,
∴ C'B=C'D=CD,
∴ AC+CD=AC'+C'B=AB.
(3)如图,将△ABC沿AD折叠,使AC落在边AB上,点C的对应点为C',
由折叠的性质得AC'=AC,C'D=CD,∠AC'D=∠C,
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,
∴ ∠C=60°,
∴ ∠AC'D=60°,
∵ ∠AC'D=∠B+∠C'DB,
∴ ∠C'DB=30°=∠B,
∴ C'B=C'D=CD=AB−AC'=AB−AC,
∵ AC=a,AB=b,
∴ CD=b−a,
在Rt△ABC中,∠B=30°,
∴ BC=2AC=2a,
∴ BD=BC−CD=2a−(b−a)=3a−b.